Бинарная операция

Бина́рная, или двуме́стная, опера́ция (от лат. bi «два») — математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат (то есть операция с арностью два).

Определение

Пусть $A,\;B,\;C$ — тройка непустых множеств. Бинарной операцией, или бинарной функцией, на паре $A,\;B$ со значениями в $C$ называется отображение $P:A\times B\to C$.

Пусть $A$ — непустое множество. Бинарной операцией на множестве $A$, или внутренней бинарной операцией, называют отображение $P:A\times A\to A$.

Первое определение соответствует франкоязычной традиции, второе — англоязычной. Чаще всего рассматриваются именно внутренние бинарные операции.

Также имеется близкое понятие закона композиции, объединяющее внутренние бинарные операции $P:A\times A\to A$ (внутренние законы композиции) с бинарными операциями вида $P:A\times B\to A$ или $P:B\times A\to A$ (внешними законами композиции).

Замечание

Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами (инфиксная форма записи). Например, для произвольной бинарной операции $\circ$ результат её применения к двум элементам $x$ и $y$ записывается в виде $x\circ y$.

При этом, однако, используются другие формы записи бинарных операций, а именно:

• префиксная (польская запись) — $\circ \,x\;y$;
• постфиксная (обратная польская запись) — $x\;y\,\circ$.

Типы бинарных операций

Коммутативная операция

Основная статья: Коммутативная операция

Бинарная операция $\circ$ называется коммутативной, только когда её результат не зависит от перестановки операндов, то есть

$x\circ y=y\circ x,\quad \forall x,\;y\in M.$

Ассоциативная операция

Основная статья: Ассоциативная операция

Бинарная операция $\circ$ называется ассоциативной, только когда

$(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z),\quad \forall x,\;y,\;z\in M.$

Для ассоциативной операции $\circ$ результат вычисления $x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}$ не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение $x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}$ при $n>2$ однозначно не определено.

Существует также более слабое, чем ассоциативность, свойство: альтернативность.

Примеры

Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на поле вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

Записи

Мультипликативная запись

Если абстрактную бинарную операцию на $M$ называют умноже́нием, то её результат для элементов $x,\;y\in M$ называют их произведе́нием и обозначают $x\cdot y$ или $xy$. В этом случае нейтральный элемент $e\in M$, то есть элемент, удовлетворяющий равенствам

$x\cdot e=e\cdot x=x,\quad \forall x\in M,$

называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.

Аддитивная запись

Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов $x,\;y\in M$ называют су́ммой и обозначают $x+y$. Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0, называют нулевы́м элеме́нтом и пишут

$x+0=0+x=x,\quad \forall x\in M.$

Обратная операция

Если операция обладает биективностью, то у неё существуют обратные операции. Для бинарной операции может быть до двух обратных операций (левая и правая), в случае коммутативной операции — они совпадают.

Теорема 1

Для любой бинарной операции существует не более одного нейтрального элемента, то есть два любых нейтральных элемента на самом деле оказываются совпадающими.

Доказательство

Пусть имеется два нейтральных элемента $e_{1}$ и $e_{2}$. По определению нейтрального элемента, для любого элемента $x$ должно выполняться:

$e_{1}\circ x=x\circ e_{1}=x,$

$e_{2}\circ x=x\circ e_{2}=x.$

Положим в первом из этих равенств $x=e_{2}$, а во втором $x=e_{1}$:

$e_{1}\circ e_{2}=e_{2}\circ e_{1}=e_{2},$

$e_{2}\circ e_{1}=e_{1}\circ e_{2}=e_{1}.$

Так как левые части этих равенств (после перестановки) равны, то равны и правые:

$e_{1}=e_{2}.$

Теорема 2

Если бинарная операция ассоциативна, то для каждого элемента существует не более одного обратного.

Доказательство

Предположим, что у некоторого элемента $a$ есть два обратных элемента $b_{1}$ и $b_{2}$. По определению обратного элемента должны выполняться следующие равенства:

$a\circ b_{1}=b_{1}\circ a=e,$

$a\circ b_{2}=b_{2}\circ a=e.$

Рассмотрим выражение $b_{1}\circ \left(a\circ b_{2}\right)$. Так как $b_{2}$ является обратным элементом к $a$, то имеет место следующее равенство

$b_{1}\circ \left(a\circ b_{2}\right)=b_{1}\circ e=b_{1}$.

С другой стороны, так как операция является ассоциативной, то

$b_{1}\circ \left(a\circ b_{2}\right)=\left(b_{1}\circ a\right)\circ b_{2}=e\circ b_{2}=b_{2}.$

Левые части последних двух равенств равны, — значит, равны и правые, то есть $b_{1}=b_{2}$, что и требовалось доказать.

См. также

• Арность
• Унарная операция
• Тернарная операция

Литература

• Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних и учебных заведений. — М.: Наука, 1988. — 430 с. — ISBN 5-02-013792-8.