h-кобордизм

$h$-кобордизм — бордизм $(W;M,M')$, где $W$ — компактное дифференцируемое многообразие, край которого $\partial W$ — объединение непересекающихся замкнутых многообразий $M$ и $M'$, являющихся деформационными ретрактами $W$. Простейший пример — тривиальный $h$-кобордизм $(M\times [0,1];M\times 0,M\times 1)$.

Многообразия $M$ и $M'$ называются $h$-кобордантными, если существует $h$-кобордизм $(W;M,M')$ соединяющий их.

Теорема об $h$-кобордизме: если $(W;M,M')$ — $h$-кобордизм, где $M$ и $M'$ — односвязные гладкие (или кусочно линейные) многообразия и $\operatorname {dim} W\geqslant 6$, то $W$ диффеоморфно (кусочно линейно изоморфно) тривиальному $h$-кобордизму. В частности, $M$ диффеоморфно $M'$. Результат получен Стивеном Смейлом, который использовал его в доказательстве обобщённой гипотезы Пуанкаре в размерностях, бо́льших четырёх.

Если убрать условие односвязности кобордантных многообразий $M$ и $M'$, то препятствием к тривиальности кобордизма между ними является кручение Уайтхеда. Теорема об $s$-кобордизме гласит, что кобордизм между двумя многообразиями является тривиальным тогда и только тогда, когда кручение Уайтхеда обнуляется.

Литература

• Дж. Милнор. Теорема об $h$-кобордизме. — М.: Мир, 1969. — 116 с.
• С. Смейл. Обобщённая гипотеза Пуанкаре в размерностях, бо́льших четырёх // Математика. — 1962. — Т. 6, вып. 3. — С. 139–155.