단열 불변량

물리계의 성질 중 기체의 엔트로피와 같이 변화가 천천히 일어날 때 거의 일정하게 유지되는 것을 단열 불변량(영어: Adiabatic invariant)이라고 한다. 이것은 시스템이 두 종점 사이에서 변화할 때, 두 종점 사이의 변화 시간이 무한대로 증가하면 두 종점 사이의 단열 불변량의 변화는 0이 된다는 것을 의미한다.

열역학에서, 단열과정은 열 흐름 없이 발생하는 변화이다; 느리거나 빠를 수 있다. 가역 단열과정은 평형에 도달하는 시간에 비해 느리게 발생하는 단열과정이다. 가역 단열과정에서 시스템은 모든 단계에서 평형 상태에 있으며 엔트로피는 일정하다. 20세기 전반에 걸쳐 양자 물리학을 연구한 과학자들은 가역 단열과정에 "단열"이라는 용어를 사용했으며, 나중에는 시스템이 구성을 조정할 수 있도록 하는 점진적으로 변화하는 모든 조건에 사용했다. 양자역학적 정의는 준정적 과정의 열역학적 개념에 더 가깝고 열역학의 단열과정과는 직접적인 관련이 없다.

역학에서 단열 변화는 해밀토니언의 느린 변형으로, 에너지의 분수 변화율이 궤도 주파수보다 훨씬 느리다. 위상 공간에서 다른 운동에 의해 둘러싸인 영역이 단열 불변량이다.

양자역학에서 단열 변화는 에너지 고유 상태 사이의 주파수 차이보다 훨씬 느린 속도로 발생하는 변화이다. 이 경우 시스템의 에너지 상태는 전이하지 않으므로 양자수는 단열 불변량이다.

초기 양자론은 시스템의 양자수와 고전적 단열 불변량을 동일시하여 공식화되었다. 이것은 보어-조머펠트 양자화 규칙의 형태를 결정했다: 양자수는 고전 궤도의 위상 공간의 면적이다.

열역학

열역학에서 단열 변화는 엔트로피를 증가시키지 않는 변화이다. 이들은 관심 시스템의 다른 특성 시간 규모에 비해 느리게 발생하며 동일한 온도에 있는 물체 사이에서만 열 흐름을 허용한다. 고립된 시스템의 경우 단열 변화는 열이 유입되거나 유출되지 않도록 한다.

이상기체의 단열 팽창

이상기체가 담긴 용기가 순간적으로 팽창하면 기체의 온도는 전혀 변하지 않는다. 이는 분자들의 속도가 전혀 줄어들지 않기 때문이다. 분자들은 운동 에너지를 유지하지만, 이제 기체는 더 큰 부피를 차지하게 된다. 그러나 용기가 천천히 팽창하여 이상기체 압력 법칙이 항상 성립한다면, 기체 분자들은 팽창하는 벽에 일을 하는 속도에 비례하여 에너지를 잃는다. 그들이 하는 일의 양은 압력 곱하기 벽의 면적 곱하기 바깥쪽 변위인데, 이는 압력 곱하기 기체의 부피 변화이다: $$dW=P\,dV={\frac {Nk_{\text{B}}T}{V}}\,dV.$$

기체에 열이 유입되지 않으면 기체 분자의 에너지는 같은 양만큼 감소한다. 정의상, 기체는 온도가 부피가 아닌 입자당 내부 에너지의 함수일 때 이상적이다. 따라서 $$dT={\frac {1}{NC_{v}}}\,dE,$$ 여기서 $C_{v}$는 정적 비열이다. 에너지 변화가 전적으로 벽에 한 일로 인한 경우 온도 변화는 다음과 같이 주어진다: $$NC_{v}\,dT=-dW=-{\frac {Nk_{\text{B}}T}{V}}\,dV.$$

이는 온도와 부피 변화 사이의 미분 관계를 제공하며, 이를 적분하여 불변량을 찾을 수 있다. 상수 $k_{\text{B}}$는 단순히 단위 변환 계수이며 1로 설정할 수 있다: $$d(C_{v}N\log T)=-d(N\log V).$$

따라서 $$C_{v}N\log T+N\log V$$ 는 엔트로피와 관련된 단열 불변량이다: $$S=C_{v}N\log T+N\log V-N\log N=N\log \left({\frac {T^{C_{v}}V}{N}}\right).$$

따라서 엔트로피는 단열 불변량이다. N log(N) 항은 엔트로피를 가산적으로 만들므로 두 기체 부피의 엔트로피는 각 기체의 엔트로피의 합이다.

분자적 해석에서 S는 에너지 E(T)와 부피 V를 가진 모든 기체 상태의 위상 공간 부피의 로그이다.

단원자 분자 이상기체의 경우, 에너지를 다음과 같이 작성함으로써 쉽게 알 수 있다: $$E={\frac {1}{2m}}\sum _{k}\left(p_{k1}^{2}+p_{k2}^{2}+p_{k3}^{2}\right).$$

총 에너지 E를 가진 기체의 다양한 내부 운동은 반지름이 ${\sqrt {2mE}}$인 3N차원 구의 표면인 구를 정의한다. 구의 부피는 $${\frac {2\pi ^{3N/2}(2mE)^{(3N-1)/2}}{\Gamma (3N/2)}},$$ 여기서 $\Gamma$는 감마 함수이다.

각 기체 분자는 부피 V 내의 어느 곳에나 있을 수 있으므로 에너지 E를 가진 기체 상태가 차지하는 위상 공간의 부피는 다음과 같다: $${\frac {2\pi ^{3N/2}(2mE)^{(3N-1)/2}V^{N}}{\Gamma (3N/2)}}.$$

N개의 기체 분자는 구별할 수 없으므로 위상 공간 부피는 $N!=\Gamma (N+1)$, 즉 N개 분자의 순열 수로 나뉜다.

감마 함수에 대한 스털링 근사를 사용하고 N이 클 때 로그에서 사라지는 요인을 무시하면, $${\begin{aligned}S&=N\left({\tfrac {3}{2}}\log(E)-{\tfrac {3}{2}}\log({\tfrac {3}{2}}N)+\log(V)-\log(N)\right)\\&=N\left({\tfrac {3}{2}}\log \left({\tfrac {2}{3}}E/N\right)+\log \left({\frac {V}{N}}\right)\right).\end{aligned}}$$

단원자 분자 기체의 비열은 3/2이므로, 이는 엔트로피에 대한 열역학적 공식과 동일하다.

빈의 법칙 – 빛 상자의 단열 팽창

양자역학을 무시한 채, 복사 상자의 경우 열 평형 상태에 있는 고전장 에너지는 무한하다. 왜냐하면 에너지 등분배법칙은 각 장 모드가 평균적으로 동일한 에너지를 가져야 하며, 무한히 많은 모드가 있기 때문이다. 이는 모든 에너지가 시간이 지남에 따라 고주파 전자기파로 누출된다는 것을 의미하므로 물리적으로 불합리하다.

여전히 양자역학 없이도, 열역학만으로 평형 분포에 대해 몇 가지 말할 수 있는 것이 있다. 왜냐하면 다른 크기의 상자를 연결하는 단열 불변량의 개념이 여전히 존재하기 때문이다.

상자가 천천히 팽창하면, 벽에서 반사되는 빛의 주파수는 도플러 효과로 계산할 수 있다. 벽이 움직이지 않으면 빛은 같은 주파수로 반사된다. 벽이 천천히 움직인다면, 반사 주파수는 벽이 정지해 있는 프레임에서만 동일하다. 벽이 빛에서 멀어지는 프레임에서는 들어오는 빛이 나가는 빛보다 도플러 이동 계수 v/c의 두 배만큼 파랗다: $$\Delta f={\frac {2v}{c}}f.$$

반면에, 벽이 멀어질 때 빛의 에너지도 감소하는데, 이는 빛이 복사압으로 벽에 일을 하기 때문이다. 빛이 반사되므로 압력은 빛이 운반하는 운동량의 두 배와 같으며, 이는 E/c이다. 압력이 벽에 일을 하는 속도는 속도를 곱하여 구한다: $$\Delta E=v{\frac {2E}{c}}.$$

이는 빛의 주파수 변화가 복사압에 의해 벽에 한 일과 같다는 것을 의미한다. 반사된 빛은 주파수와 에너지 모두에서 같은 양만큼 변한다: $${\frac {\Delta f}{f}}={\frac {\Delta E}{E}}.$$

벽을 천천히 움직이면 열 분포가 고정되어야 하므로, 빛이 주파수 f에서 에너지 E를 가질 확률은 E/f의 함수여야 한다.

이 함수는 열역학적 추론만으로는 결정될 수 없으며, 빈은 고주파에서 유효한 형태를 추측했다. 그는 고주파 모드의 평균 에너지가 볼츠만과 유사한 인자로 억제된다고 가정했다: $$\langle E_{f}\rangle =e^{-\beta hf}.$$ 이는 등분배 원리에 의해 $1/2\beta$인 모드의 예상 고전적 에너지가 아니라, 고주파 데이터에 맞는 새롭고 정당화되지 않은 가정이었다.

기대 값이 공동의 모든 모드에 걸쳐 추가될 때, 이것은 빈의 분포이며, 고전적 광자 기체의 에너지의 열역학적 분포를 설명한다. 빈의 법칙은 빛이 통계적으로 에너지와 주파수가 같은 방식으로 변하는 묶음으로 구성된다고 암시적으로 가정한다. 빈 기체의 엔트로피는 N개의 묶음 수에 따라 부피에 N 제곱으로 비례한다. 이는 아인슈타인이 빛이 주파수에 비례하는 에너지를 가진 국소화 가능한 입자로 구성되어 있다고 제안하도록 이끌었다. 그러면 빈 기체의 엔트로피는 광자가 있을 수 있는 가능한 위치의 수로 통계적 해석을 할 수 있다.

고전 역학 – 작용 변수

추가 작은 진동을 가진 진자, 여기서 $\omega (t)={\sqrt {g/L(t)}}\approx {\sqrt {g/L_{0}}},$ 및 $L(t)\approx L_{0}+\varepsilon (t).$

해밀턴이 느리게 시간에 따라 변한다고 가정해 보자. 예를 들어, 주파수가 변하는 1차원 조화 진동자: $$H_{t}(p,x)={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega (t)^{2}x^{2}}{2}}.$$

고전 궤도의 작용 J는 위상 공간에서 궤도에 의해 둘러싸인 면적이다: $$J=\int _{0}^{T}p(t)\,{\frac {dx}{dt}}\,dt.$$

J는 전체 주기에 대한 적분이므로 에너지의 함수일 뿐이다. 해밀턴이 시간에 대해 일정하고 J가 시간에 대해 일정할 때, 정준 공액 변수 $\theta$는 일정한 속도로 시간에 따라 증가한다: $${\frac {d\theta }{dt}}={\frac {\partial H}{\partial J}}=H'(J).$$

따라서 상수 $H'$를 사용하여 궤도를 따라 시간 미분을 일정 J에서 $\theta$에 대한 편미분으로 변경할 수 있다. J에 대한 J의 적분을 미분하면 $H'$를 고정하는 항등식이 제공된다: $${\frac {dJ}{dJ}}=1=\int _{0}^{T}\left({\frac {\partial p}{\partial J}}{\frac {dx}{dt}}+p{\frac {\partial }{\partial J}}{\frac {dx}{dt}}\right)\,dt=H'\int _{0}^{T}\left({\frac {\partial p}{\partial J}}{\frac {\partial x}{\partial \theta }}-{\frac {\partial p}{\partial \theta }}{\frac {\partial x}{\partial J}}\right)\,dt.$$

피적분 함수는 x와 p의 푸아송 괄호이다. x와 p와 같은 두 정준 공액량의 푸아송 괄호는 어떤 정준 좌표계에서도 1과 같다. 따라서 $$1=H'\int _{0}^{T}\{x,p\}\,dt=H'T,$$ 그리고 $H'$는 역주기이다. 변수 $\theta$는 모든 J 값에 대해 각 주기마다 동일한 양만큼 증가한다 – 이는 각 변수이다.

J의 단열 불변성

해밀토니언은 J만의 함수이며, 조화 진동자의 간단한 경우, $$H=\omega J.$$

H가 시간 의존성이 없을 때 J는 상수이다. H가 느리게 시간 변화할 때, J의 변화율은 J에 대한 적분을 재표현하여 계산할 수 있다: $$J=\int _{0}^{2\pi }p{\frac {\partial x}{\partial \theta }}\,d\theta .$$

이 양의 시간 미분은 다음과 같다: $${\frac {dJ}{dt}}=\int _{0}^{2\pi }\left({\frac {dp}{dt}}{\frac {\partial x}{\partial \theta }}+p{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial x}{\partial \theta }}\right)\,d\theta .$$

시간 미분을 세타 미분으로 대체하고, $d\theta =\omega \,dt,$를 사용하며, 일반성을 잃지 않고 $\omega :=1$로 설정하면 (결과적인 작용의 시간 미분에서 $\omega$는 전역적인 곱셈 상수임) 다음을 얻는다: $${\frac {dJ}{dt}}=\int _{0}^{2\pi }\left({\frac {\partial p}{\partial \theta }}{\frac {\partial x}{\partial \theta }}+p{\frac {\partial }{\partial \theta }}{\frac {\partial x}{\partial \theta }}\right)\,d\theta .$$

따라서 좌표 J, $\theta$가 한 주기 동안 크게 변하지 않는 한, 이 식은 부분 적분하여 0이 된다. 이는 느린 변화의 경우 궤도에 의해 둘러싸인 면적의 최저 차수 변화가 없음을 의미한다. 이것이 단열 불변량 정리이다 – 작용 변수는 단열 불변량이다.

조화 진동자의 경우, 에너지 E에서의 궤도의 위상 공간 면적은 일정한 에너지 타원의 면적이다: $$E={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}.$$

이 타원의 x 반지름은 ${\sqrt {2E/\omega ^{2}m}},$이고 p 반지름은 ${\sqrt {2mE}}$이다. 곱하면 면적은 $2\pi E/\omega$이다. 따라서 진자의 줄을 천천히 당겨 주파수가 변하면 에너지도 비례하여 변한다.

초기 양자론

플랑크가 빈의 법칙이 복사에 대한 고전적 등분배 법칙과 보간하여 매우 낮은 주파수까지 확장될 수 있음을 확인한 후, 물리학자들은 다른 시스템의 양자 행동을 이해하기를 원했다.

플랑크 복사 법칙은 에너지 단위로 필드 진동자의 운동을 양자화하여 주파수에 비례하게 만들었다: $$E=hf=\hbar \omega .$$

양자는 단열 불변성에 의해 에너지/주파수에만 의존할 수 있으며, 상자를 끝까지 놓을 때 에너지가 가산적이어야 하므로 에너지 준위는 균등하게 간격이 벌어져야 한다.

아인슈타인은 이후 드바이에 의해 양자 역학의 영역을 확장하여 고체 내의 음파 모드를 양자화된 진동자로 간주했다. 이 모델은 고체의 비열이 고전적 에너지 등분배법칙에 의해 예측된 $3k_{\text{B}}$로 고정되지 않고 저온에서 0에 가까워지는 이유를 설명했다.

솔베이 회의에서 다른 운동의 양자화 문제가 제기되었고, 헨드릭 로런츠는 레일리-로렌츠 진자로 알려진 문제를 지적했다. 현이 매우 천천히 짧아지는 양자 진자를 고려하면, 진자의 양자수는 상태 간의 전이를 유발할 만큼 충분히 높은 주파수가 없으므로 변할 수 없다. 그러나 현이 짧아지면 진자의 주파수가 변하여 양자 상태의 에너지가 변한다.

아인슈타인은 천천히 당기면 진자의 주파수와 에너지가 모두 변하지만, 비율은 고정된다고 답했다. 이는 벽의 느린 움직임 아래에서 반사된 파동의 에너지 대 주파수 비율이 일정하다는 빈의 관찰과 유사하다. 결론은 양자화할 양은 단열 불변량이어야 한다는 것이었다.

이러한 논리적 흐름은 좀머펠트에 의해 일반적인 이론으로 확장되었다: 임의의 역학 시스템의 양자수는 단열 작용 변수에 의해 주어진다. 조화 진동자에서 작용 변수는 정수이므로 일반적인 조건은 다음과 같다: $$\int p\,dq=nh.$$

이 조건은 원자 시스템의 정성적 행동을 예측할 수 있었던 초기 양자론의 기초였다. 이 이론은 고전적 개념과 양자적 개념을 혼합하므로 작은 양자수에 대해서는 정확하지 않다. 그러나 새로운 양자론으로 가는 유용한 중간 단계였다.

플라스마 물리학

플라스마 물리학에는 하전 입자 운동의 세 가지 단열 불변량이 있다.

첫 번째 단열 불변량, μ

선회하는 입자의 자기 모멘트는 $$\mu ={\frac {\gamma m_{0}v_{\perp }^{2}}{2B}},$$ 이는 특수 상대성을 존중한다. $\gamma$는 상대론적 로런츠 인자, $m_{0}$는 정지 질량, $v_{\perp }$는 자기장에 수직한 속도, $B$는 자기장의 크기이다.

$\mu$는 $\omega /\omega _{c}$에 대한 전개에서 모든 차수에서 운동의 상수이다. 여기서 $\omega$는 입자가 겪는 모든 변화율, 예를 들어 충돌 또는 자기장의 시간적 또는 공간적 변화로 인한 변화율이다. 결과적으로, 자기 모멘트는 자이로 주파수에 가까운 변화율에서도 거의 일정하게 유지된다. $\mu$가 일정할 때, 수직 입자 에너지는 $B$에 비례하므로 입자는 $B$를 증가시켜 가열할 수 있지만, 이는 "일회성" 작업이다. 왜냐하면 필드를 무한정 증가시킬 수 없기 때문이다. 이는 자기 거울 및 자기 병에 응용된다.

자기 모멘트가 불변이 아닌 몇 가지 중요한 상황이 있다:

자기 펌핑

충돌 주파수가 펌프 주파수보다 크면 μ는 더 이상 보존되지 않는다. 특히, 충돌은 수직 에너지의 일부를 평행 에너지로 전달하여 순 가열을 허용한다.

사이클로트론 가열

B가 사이클로트론 주파수로 진동하면 단열 불변성 조건이 위반되어 가열이 가능하다. 특히, 유도된 전기장은 일부 입자와 위상에 맞춰 회전하고 계속해서 가속시킨다.

자기 첨점

첨점 중앙의 자기장은 사라지므로 사이클로트론 주파수는 모든 변화율보다 자동으로 작다. 따라서 자기 모멘트는 보존되지 않으며 입자는 손실 원뿔로 비교적 쉽게 산란된다.

두 번째 단열 불변량, J

자기 거울에 갇힌 입자의 종방향 불변량은 $$J=\int _{a}^{b}p_{\parallel }\,ds,$$ 여기서 적분은 두 반사점 사이이며, 또한 단열 불변량이다. 이것은 예를 들어 자기권에서 지구 주위를 움직이는 입자가 항상 동일한 자기력선으로 돌아오도록 보장한다. 단열 조건은 전이 시간 자기 펌핑에서 위반된다. 여기서 자기 거울의 길이가 바운스 주파수로 진동하여 순 가열이 발생한다.

세 번째 단열 불변량, Φ

드리프트 표면에 의해 둘러싸인 총 자기 플럭스 $\Phi$는 시스템 축 주위를 드리프트하는 거울에 갇힌 입자의 주기적 운동과 관련된 세 번째 단열 불변량이다. 이 드리프트 운동은 상대적으로 느리기 때문에, $\Phi$는 실제 응용에서 종종 보존되지 않는다.

각주

• Yourgrau, Wolfgang; Stanley Mandelstam (1979). 《Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory》. New York: Dover. §10. ISBN 978-0-486-63773-0. 
• Pauli, Wolfgang (1973). Charles P. Enz (편집). 《Pauli Lectures on Physics》 4. Cambridge, Mass: MIT Press. 85–89쪽. ISBN 978-0-262-66035-8. 
• Jammer, Max (1966년 1월 1일). 《The Conceptual Development of Quantum Mechanics》 Fir판 (영어). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-032275-2. 

외부 링크

• lecture notes on the second adiabatic invariant
• lecture notes on the third adiabatic invariant