공 (기하학)

수학에서 공(영어: ball)은 구의 내부를 포함하는 도형이다. 경계인 구를 포함하면 닫힌 공(영어: closed ball), 포함하지 않으면 열린 공(영어: open ball)이라 한다.

3차원 유클리드 공간뿐만 아니라 일반적인 유클리드 공간이나 거리 공간, 위상 공간에서도 공을 정의할 수 있다. n차원 유클리드 공간에서 공은 n-1차원 구 내부의 공간이다. 따라서 예를 들어 2차원 유클리드 평면에서의 공은 1차원 구인 원의 내부 공간, 즉 원판이 된다.

단위공(영어: unit ball)은 반지름이 1인 공이다. 위상수학에서, n차원 유클리드 공간의 닫힌 단위공은 일반적으로 $B^{n}$ 또는 $D^{n}$ 으로 표기하고 열린 단위공은 ${\text{int}}B^{n}$ 또는 ${\text{int}}D^{n}$ 으로 표기한다.

유클리드 공간에서의 공

정의

유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 에서 $a\in \mathbb {R} ^{n}$ 와 실수 $r\in \mathbb {R}$ 이 주어졌다고 하자. $\|\cdot \|$ 은 유클리드 노름이다. 이때 공의 중심(영어: center) $a$ 와 공의 반지름(영어: radius) $r$ 에 대해 공을 다음과 같이 정의한다.

중심이 $a$ , 반지름이 $r$ 인 열린 공 $B_{r}(a)$ 는 다음과 같은 집합이다.
$B_{r}(a)=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\colon \|x-a\|<r\}$
중심이 $a$ , 반지름이 $r$ 인 닫힌 공 $B_{r}[a]$ 는 다음과 같은 집합이다.
$B_{r}[a]=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\colon \|x-a\|\leq r\}$

부피

유클리드 공간에서 반지름이 $r$ 인 닫힌 공의 부피 $V_{n}(r)$ 은 다음과 같다.

V_{n}(r)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma {\left({\frac {n}{2}}+1\right)}}}r^{n}

여기서 $\Gamma$ 는 감마 함수이다.

거리 공간에서의 공

정의

거리 공간 $(X,d)$ 에서 $a\in X$ 와 실수 $r\in \mathbb {R}$ 이 주어졌다고 하자. 이때 공의 중심 $a$ 와 공의 반지름 $r$ 에 대해 공을 다음과 같이 정의한다.

중심이 $a$ , 반지름이 $r$ 인 열린 공 $B_{r}(a)$ 는 다음과 같은 집합이다.
$B_{r}(a)=\{x\in X\colon d(x,a)<r\}$
중심이 $a$ , 반지름이 $r$ 인 닫힌 공 $B_{r}[a]$ 는 다음과 같은 집합이다.
$B_{r}[a]=\{x\in X\colon d(x,a)\leq r\}$

거리 공간에서는 어떤 거리를 주느냐에 따라 공이 '둥근' 형태가 아닐 수 있다. 예를 들어 유클리드 공간에서 체비쇼프 거리를 주면 공은 초입방체가 된다. 한편 일반적으로 닫힌 공이 그에 대응하는 열린 공의 폐포라고 생각할 수 있지만, 그렇지 않은 경우도 있음에 유의해야 한다.

참고 문헌

William R. Wade (2003). 〈3.6 Topology of Rⁿ〉. 《An Introduction to Analysis》 Thi판. Pearson/Prentice Hall. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
William R. Wade (2003). 〈Chapter 10 Metric Spaces〉. 《An Introduction to Analysis》 Thi판. Pearson/Prentice Hall. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

같이 보기

구
초구