무한 임펄스 응답

무한 임펄스 응답(infinite impulse response, IIR)은 특정 지점을 지나 정확히 0이 되지 않고 무한히 계속되는 임펄스 응답 $h(t)$ 를 갖는 많은 선형 시불변 시스템에 적용되는 기본적인 특성이다.^[1] 이는 임펄스 응답이 어떤 유한한 $T$ 에 대해 $t>T$ 에서 정확히 0이 되어 유한한 지속 시간을 갖는 유한 임펄스 응답(FIR) 시스템과 대조된다. 선형 시불변 시스템의 일반적인 예로는 대부분의 전자 및 디지털 필터가 있다. 이 속성을 가진 시스템은 IIR 시스템 또는 IIR 필터로 알려져 있다.

실제로 IIR 시스템의 임펄스 응답조차도 일반적으로 0에 가까워지고 특정 지점을 지나면 무시할 수 있다. 그러나 IIR 또는 FIR 응답을 유발하는 물리적 시스템은 서로 다르며, 여기에 이 구분의 중요성이 있다. 예를 들어, 저항, 커패시터 및 인덕터(및 선형 증폭기)로 구성된 아날로그 전자 필터는 일반적으로 IIR 필터이다. 반면에 피드백을 사용하지 않는 탭 지연선을 기반으로 하는 이산 시간 필터(일반적으로 디지털 필터)는 반드시 FIR 필터이다. 아날로그 필터의 커패시터(또는 인덕터)는 "메모리"를 가지고 있으며 임펄스 이후 내부 상태가 완전히 이완되지 않는다 (양자 효과를 무시하는 커패시터 및 인덕터의 고전적 모델 가정). 그러나 후자의 경우, 임펄스가 탭 지연선의 끝에 도달하면 시스템은 해당 임펄스에 대한 추가 메모리가 없으며 초기 상태로 돌아간다. 해당 지점 이후의 임펄스 응답은 정확히 0이다.

구현 및 설계

거의 모든 아날로그 전자 필터는 IIR이지만, 디지털 필터는 IIR 또는 FIR일 수 있다. 이산 시간 필터의 토폴로지(아래에 표시된 블록 다이어그램과 같은)에 피드백이 존재하면 일반적으로 IIR 응답이 생성된다. IIR 필터의 z 영역 전달 함수는 비자명한 분모를 포함하며, 이 분모는 피드백 항을 설명한다. 반면에 FIR 필터의 전달 함수는 아래에 유도된 일반적인 형태에서 볼 수 있듯이 분자만 갖는다. $i>0$ 인 모든 $a_{i}$ 계수(피드백 항)는 0이며 필터는 유한한 극점이 없다.

IIR 아날로그 전자 필터와 관련된 전달 함수는 진폭 및 위상 특성에 대해 광범위하게 연구되고 최적화되었다. 이러한 연속 시간 필터 함수는 라플라스 영역에서 설명된다. 원하는 솔루션은 쌍선형 변환, 임펄스 불변성 또는 극점-영점 매칭 방법과 같은 특정 수학적 기법을 사용하여 z 영역에서 전달 함수가 표현되는 이산 시간 필터의 경우로 전달될 수 있다. 따라서 디지털 IIR 필터는 체비쇼프 필터, 버터워스 필터 및 타원 필터와 같은 아날로그 필터에 대한 잘 알려진 솔루션을 기반으로 할 수 있으며, 해당 솔루션의 특성을 계승한다.

전달 함수 유도

디지털 필터는 출력 신호가 입력 신호와 어떻게 관련되는지 정의하는 차분 방정식의 관점에서 종종 설명되고 구현된다:

{\begin{aligned}y[n]{}=&b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1]+\cdots +b_{P}x[n-P]\\&{}+a_{1}y[n-1]+a_{2}y[n-2]+\cdots +a_{Q}y[n-Q]\end{aligned}}

여기서:

$\ P$ 는 피드포워드 필터 차수이다.
$\ b_{i}$ 는 피드포워드 필터 계수이다.
$\ Q$ 는 피드백 필터 차수이다.
$\ a_{i}$ 는 피드백 필터 계수이다.
$\ x[n]$ 는 입력 신호이다.
$\ y[n]$ 는 출력 신호이다.

차분 방정식의 더 간결한 형태는 다음과 같다:

\ y[n]=\sum _{i=0}^{P}b_{i}x[n-i]+\sum _{i=1}^{Q}a_{i}y[n-i]

필터의 전달 함수를 찾기 위해, 먼저 위 방정식의 각 변에 Z변환을 취하여 다음을 얻는다:

\ Y(z)=X(z)\sum _{i=0}^{P}b_{i}z^{-i}+Y(z)\sum _{i=1}^{Q}a_{i}z^{-i}

재배열 후:

\ Y(z)\left[1-\sum _{i=1}^{Q}a_{i}z^{-i}\right]=X(z)\sum _{i=0}^{P}b_{i}z^{-i}

그런 다음 전달 함수를 다음과 같이 정의한다:

H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{i=0}^{P}b_{i}z^{-i}}{1-\sum _{i=1}^{Q}a_{i}z^{-i}}}

Simple IIR filter block diagram — IIR 필터 블록 다이어그램의 예. $z^{-1}$ 블록은 단위 지연이다.

안정성

전달 함수를 통해 시스템이 유계 입력 유계 출력(BIBO) 안정인지 여부를 판단할 수 있다. 구체적으로 BIBO 안정성 기준은 시스템의 수렴 반경이 단위원을 포함해야 한다고 요구한다. 예를 들어, 인과 시스템의 경우, 전달 함수의 모든 극점은 1보다 작은 절대값을 가져야 한다. 즉, 모든 극점은 $z$ -평면의 단위원 내에 위치해야 한다.

극점은 $H(z)$ 의 분모를 0으로 만드는 $z$ 의 값으로 정의된다:

\ 0=\sum _{j=0}^{Q}a_{j}z^{-j}

분명히, $a_{j}\neq 0$ 이면 극점은 $z$ -평면의 원점에 위치하지 않는다. 이는 모든 극점이 원점에 위치하므로 항상 안정적인 FIR 필터와는 대조적이다.

IIR 필터는 FIR 필터보다 때때로 선호되는데, 이는 IIR 필터가 동일한 차수의 FIR 필터보다 훨씬 더 가파른 천이 영역 롤오프를 달성할 수 있기 때문이다.

예시

이산 시간 필터의 전달 함수 $H(z)$ 가 다음과 같이 주어졌다고 하자:

H(z)={\frac {B(z)}{A(z)}}={\frac {1}{1-az^{-1}}}

매개변수 $a$ ( $0<|a|<1$ 인 실수)에 의해 지배된다. $H(z)$ 는 $a$ 에 극점을 가진 안정적이고 인과적인 시스템이다. 시간 영역 임펄스 응답은 다음과 같이 주어짐을 보일 수 있다:

h(n)=a^{n}u(n)

여기서 $u(n)$ 은 단위 계단 함수이다. $h(n)$ 이 모든 $n\geq 0$ 에 대해 0이 아님이 보이며, 따라서 임펄스 응답은 무한히 계속된다.

장점과 단점

디지털 IIR 필터가 FIR 필터에 비해 갖는 주요 장점은 통과대역, 저지대역, 리플 및 롤오프 측면에서 사양을 충족하기 위한 구현 효율성이다. 이러한 일련의 사양은 동일한 요구 사항을 충족하는 FIR 필터에 필요한 것보다 더 낮은 차수(위 공식에서 Q)의 IIR 필터로 달성할 수 있다. 신호 처리기에 구현될 경우, 이는 시간 단계당 계산 횟수가 그에 상응하게 적다는 것을 의미한다. 계산 비용 절감은 종종 상당히 큰 요인이다.

반면에 FIR 필터는 특정 주파수 응답 요구 사항을 맞추는 등 설계하기 더 쉽다. 이는 특히 요구 사항이 아날로그 필터에 대해 연구되고 최적화된 일반적인 경우(고역 통과, 저역 통과, 노치 등) 중 하나가 아닐 때 더욱 그렇다. 또한 FIR 필터는 쉽게 선형 위상(일정한 군지연 대 주파수)으로 만들 수 있으며, 이는 IIR 필터를 사용해서는 쉽게 충족되지 않으며 근사치로만 가능하다(예: 베셀 필터 사용). 디지털 IIR 필터에 대한 또 다른 문제는 양자화와 결합된 피드백 시스템으로 인해 유휴 상태일 때 극한 주기 궤도 동작의 가능성이다.

설계 방법

임펄스 불변성

임펄스 불변성은 연속 시간 필터의 임펄스 응답을 샘플링하여 이산 시간 시스템의 임펄스 응답을 생성함으로써 연속 시간 필터로부터 이산 시간 무한 임펄스 응답(IIR) 필터를 설계하는 기술이다. 임펄스 불변성은 s-평면에서 z-평면으로의 매핑의 두 가지 기본 요구 사항을 충족하는 데 일반적으로 사용되는 방법 중 하나이다. 이것은 아날로그 필터와 동일한 샘플링 시간에 동일한 출력 값을 갖는 T(z)를 해결함으로써 얻어지며, 입력이 펄스일 때만 적용할 수 있다.
이 방법으로 생성된 디지털 필터의 모든 입력은 매우 정확한 펄스 입력을 제외하고는 근사치라는 점에 유의한다. 이것은 가장 간단한 IIR 필터 설계 방법이다. 저주파수에서 가장 정확하므로 일반적으로 저역 통과 필터에 사용된다.

라플라스 변환 또는 z-변환의 경우, 변환 후 출력은 입력에 해당 변환 함수 T(s) 또는 T(z)를 곱한 것과 같다. Y(s)와 Y(z)는 각각 입력 X(s)와 입력 X(z)의 변환된 출력이다.

Y(s)=T(s)X(s)

Y(z)=T(z)X(z)

단위 임펄스에 라플라스 변환 또는 z-변환을 적용하면 결과는 1이다. 따라서 변환 후 출력 결과는 다음과 같다:

Y(s)=T(s)

Y(z)=T(z)

이제 아날로그 필터의 출력은 시간 영역에서의 역 라플라스 변환이다.

y(t)=L^{-1}[Y(s)]=L^{-1}[T(s)]

t 대신 nT를 사용하면 샘플링 시간에 펄스에서 파생된 출력 y(nT)를 얻을 수 있다. 이것은 y(n)으로도 표현할 수 있다.

y(n)=y(nT)=y(t)|_{t=sT}

이 이산 시간 신호는 z-변환을 적용하여 T(z)를 얻을 수 있다.

T(z)=Y(z)=Z[y(n)]

T(z)=Z[y(n)]=Z[y(nT)]

T(z)=Z\left\{L^{-1}[T(s)]_{t=nT}\right\}

마지막 방정식은 디지털 IIR 필터가 라플라스 변환으로 T(s)로 변환되고 샘플링된 아날로그 신호에 z-변환을 수행하는 것을 수학적으로 설명하며, 이는 일반적으로 다음과 같이 단순화된다:

T(z)=Z[T(s)]*T

공식에 곱셈자 T가 나타나는 사실에 유의해야 한다. 이것은 단위 펄스에 대한 라플라스 변환과 z-변환이 1이라 할지라도 펄스 자체가 반드시 같지는 않기 때문이다. 아날로그 신호의 경우 펄스는 무한한 값을 가지지만 t=0에서 넓이는 1이다. 그러나 이산 시간 펄스는 t=0에서 1이므로, 곱셈자 T의 존재가 필요하다.

계단 불변성

계단 불변성은 임펄스 불변성보다 더 나은 설계 방법이다. 디지털 필터는 샘플링 시 여러 세그먼트의 입력을 가지며, 각 세그먼트에는 다른 상수가 있으며 이는 이산 단계로 구성된다. 계단 불변 IIR 필터는 ADC에 대한 동일한 입력 계단 신호보다 정확도가 떨어진다. 그러나 임펄스 불변성보다 모든 입력에 대해 더 나은 근사치를 제공한다.
계단 불변성은 T(z)와 T(s)가 모두 계단 입력일 때 동일한 샘플 값 문제를 해결한다. 디지털 필터의 입력은 u(n)이고, 아날로그 필터의 입력은 u(t)이다. 이 두 입력에 z-변환과 라플라스 변환을 적용하여 변환된 출력 신호를 얻는다.
계단 입력 $Z[u(n)]={\dfrac {z}{z-1}}$ 에 z-변환을 수행한다.
z-변환 후 변환된 출력 $Y(z)=T(z)U(z)=T(z){\dfrac {z}{z-1}}$
계단 입력 $L[u(t)]={\dfrac {1}{s}}$ 에 라플라스 변환을 수행한다.
라플라스 변환 후 변환된 출력 $Y(s)=T(s)U(s)={\dfrac {T(s)}{s}}$
아날로그 필터의 출력은 Y(s)의 역 라플라스 변환인 y(t)이다. 매 T초마다 샘플링하면 Y(z)의 역 변환인 y(n)이 된다. 이 신호들은 디지털 필터와 아날로그 필터가 샘플링 시간에 동일한 출력을 갖도록 해결하는 데 사용된다.
다음 방정식은 T(z)의 해를 나타내며, 이는 아날로그 필터에 대한 근사 공식이다.

T(z)={\dfrac {z-1}{z}}Y(z)

T(z)={\dfrac {z-1}{z}}Z[y(n)]

T(z)={\dfrac {z-1}{z}}Z[Y(s)]

T(z)={\dfrac {z-1}{z}}Z[{\dfrac {T(s)}{s}}]

쌍선형 변환

쌍선형 변환은 컨포멀 매핑의 특별한 경우로, 연속 시간 영역의 선형 시불변(LTI) 필터(종종 아날로그 필터라고 함)의 전달 함수 $H_{a}(s)$ 를 이산 시간 영역의 선형 시프트 불변 필터의 전달 함수 $H_{d}(z)$ 로 변환하는 데 자주 사용된다. 쌍선형 변환은 z-평면에서 s-평면으로의 정확한 매핑인 자연 로그 함수의 1차 근사이다. 이산 시간 신호에 라플라스 변환을 수행할 때(이산 시간 시퀀스의 각 요소가 해당 지연된 단위 임펄스에 연결됨), 결과는 다음 치환을 통한 이산 시간 시퀀스의 Z 변환과 정확히 같다.

{\begin{aligned}z&=e^{sT}\\&={\frac {e^{sT/2}}{e^{-sT/2}}}\\&\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}\end{aligned}}

여기서 $T$ 는 쌍선형 변환 유도에 사용된 사다리꼴 규칙의 수치 적분 단계 크기이다. 즉, 샘플링 주기이다. 위의 쌍선형 근사는 $s$ 에 대해 풀 수 있거나 $s=(1/T)\ln(z)$ 에 대한 유사한 근사를 수행할 수 있다.

이 매핑의 역변환(및 그 1차 쌍선형 근사)은 다음과 같다.

{\begin{aligned}s&={\frac {1}{T}}\ln(z)\\&={\frac {2}{T}}\left[{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{5}+{\frac {1}{7}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{7}+\cdots \right]\\&\approx {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\\&={\frac {2}{T}}{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\end{aligned}}

이 관계는 아날로그 필터의 라플라스 전달 함수나 아날로그 필터의 디지털 무한 임펄스 응답(IIR) 필터 T(z)에서 사용된다.
쌍선형 변환은 기본적으로 이 1차 근사를 사용하여 연속 시간 전달 함수 $H_{a}(s)$ 에 치환한다.

s\leftarrow {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}.

즉,

H_{d}(z)=H_{a}(s){\bigg |}_{s={\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}}=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right).\

이는 아날로그 필터의 라플라스 전달 함수에서 시작하여 IIR 디지털 필터를 계산하는 데 사용된다.

같이 보기

각주

↑ Oppenheim, Alan; Schafer, Ronald (2009년 8월 18일). 《Discrete-Time Signal Processing》 3판. Prentice Hall Signal Processing. Pearson. ISBN 978-0131988422.

외부 링크

BORES 신호 처리 DSP 과정의 다섯 번째 모듈 - DSP 소개] - 웨이백 머신 (보관됨 7월 2, 2016)
IIR 디지털 필터 설계 애플릿 - 웨이백 머신 (보관됨 2월 13, 2010)
IIR 디지털 필터 설계 도구 보관됨 2020-08-30 - 웨이백 머신 - 계수, 그래프, 극점, 영점 및 C 코드 생성
EngineerJS 온라인 IIR 설계 도구 - 자바 필요 없음

[1] Oppenheim, Alan; Schafer, Ronald (2009년 8월 18일). 《Discrete-Time Signal Processing》 3판. Prentice Hall Signal Processing. Pearson. ISBN 978-0131988422.

[1]