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삼각형 (三角形, 영어 : triangle )은 세 개의 모퉁이와 세 개의 모서리 로 이루어진 다각형 이다. 모퉁이는 0차원 점 으로서 꼭짓점 이라고 부르며, 꼭짓점을 잇는 모서리는 1차원 선분 으로서 변이라고 부른다. 두 변이 이루는 각 을 내각 이라고 하며, 삼각형은 세 개의 내각을 가진다. 삼각형에서 세 내각의 합은 항상 180º(또는 π 라디안 )이다. 삼각형은 평면인 내부 영역을 가지는 평면도형 이다. 삼각형의 넓이 는 밑변과 높이의 곱 의 절반이다.
삼각형의 넓이는 여러 가지 공식으로 구할 수 있다. 아래에서
S
{\displaystyle S}
밑변의 길이가
a
{\displaystyle a}
h
{\displaystyle h}
S
=
a
h
2
{\displaystyle S={\frac {ah}{2}}}
세 변의 길이가 각각 a, b, c 이고,
k
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle k={\frac {a+b+c}{2}}}
헤론의 공식 )
S
=
k
(
k
−
a
)
(
k
−
b
)
(
k
−
c
)
{\displaystyle S={\sqrt {k(k-a)(k-b)(k-c)}}}
[ 편집 ] 세 변의 길이가 각각 a, b, c이고, 세 각의 크기가 각각 A, B, C인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.
S
=
b
c
sin
A
2
=
c
a
sin
B
2
=
a
b
sin
C
2
{\displaystyle S={\frac {bc\sin A}{2}}={\frac {ca\sin B}{2}}={\frac {ab\sin C}{2}}}
[ 편집 ] 세 변의 길이가 각각 a, b, c이고, 세 각의 크기가 각각 A, B, C인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.
S
=
a
2
sin
B
sin
C
2
sin
(
B
+
C
)
=
b
2
sin
C
sin
A
2
sin
(
C
+
A
)
=
c
2
sin
A
sin
B
2
sin
(
A
+
B
)
{\displaystyle S={\frac {a^{2}\sin B\sin C}{2\sin(B+C)}}={\frac {b^{2}\sin C\sin A}{2\sin(C+A)}}={\frac {c^{2}\sin A\sin B}{2\sin(A+B)}}}
내접원 의 반지름의 길이를 알 때[ 편집 ] 세 변의 길이가 각각
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
r
{\displaystyle r}
s
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
S
=
r
s
{\displaystyle \ S=rs}
외접원 의 반지름의 길이를 알 때[ 편집 ] 세 변의 길이가 각각
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
R
{\displaystyle R}
S
{\displaystyle S}
S
=
a
b
c
4
R
{\displaystyle S={\frac {abc}{4R}}}
방접원 의 반지름 중 하나의 길이를 알 때[ 편집 ] 세 변의 길이가 각각
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
r
a
{\displaystyle r_{a}}
r
b
{\displaystyle r_{b}}
r
c
{\displaystyle r_{c}}
s
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
S
=
(
s
−
a
)
r
a
=
(
s
−
b
)
r
b
=
(
s
−
c
)
r
c
{\displaystyle \ S=(s-a)r_{a}=(s-b)r_{b}=(s-c)r_{c}}
내접원 의 반지름의 길이를 알 때[ 편집 ] 세 각의 크기가 각각
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
C
{\displaystyle C}
r
{\displaystyle r}
S
{\displaystyle S}
S
=
r
2
(
cot
A
2
+
cot
B
2
+
cot
C
2
)
{\displaystyle S=r^{2}\left(\cot {\frac {A}{2}}+\cot {\frac {B}{2}}+\cot {\frac {C}{2}}\right)}
외접원 의 반지름의 길이를 알 때[ 편집 ] 세 각의 크기가 각각
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
C
{\displaystyle C}
R
{\displaystyle R}
S
{\displaystyle S}
S
=
2
R
2
⋅
sin
A
sin
B
sin
C
{\displaystyle S=2R^{2}\cdot \sin A\sin B\sin C}
내접원의 반지름이
r
{\displaystyle r}
r
a
{\displaystyle r_{a}}
r
b
{\displaystyle r_{b}}
r
c
{\displaystyle r_{c}}
S
=
r
r
a
r
b
r
c
{\displaystyle S={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}}
2차원 직교좌표에서 세 점의 좌표가 (0,0),(x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 )인 삼각형의 넓이는 다음과 같다.
S
=
|
x
1
y
2
−
x
2
y
1
|
2
{\displaystyle S={\frac {|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{2}}}
2차원 극좌표에서 세 점의 좌표가 (0,0),(r 1 ,θ 1 ),(r 2 ,θ 2 )인 삼각형의 넓이는 다음과 같다.
S
=
|
r
1
cos
θ
1
r
2
sin
θ
2
−
r
2
cos
θ
2
r
1
sin
θ
1
|
2
=
r
1
r
2
sin
(
|
θ
1
−
θ
2
|
)
2
{\displaystyle S={\frac {|r_{1}\cos \theta _{1}r_{2}\sin \theta _{2}-r_{2}\cos \theta _{2}r_{1}\sin \theta _{1}|}{2}}={\frac {r_{1}r_{2}\sin(|\theta _{1}-\theta _{2}|)}{2}}}
한 점을 두 벡터의 시점으로 하고 각각 다른 벡터를 종점으로 하는 두 벡터를
X
→
,
Y
→
{\displaystyle {\vec {X}},{\vec {Y}}}
n 차원 유클리드 공간에서 표현된 삼각형의 넓이를
S
n
{\displaystyle S_{n}}
S
n
=
1
2
(
|
X
→
|
|
Y
→
|
)
2
−
(
X
→
⋅
Y
→
)
2
{\displaystyle S_{n}={\frac {1}{2}}{\sqrt {(\left|{\vec {X}}\right|\left|{\vec {Y}}\right|)^{2}-({\vec {X}}\cdot {\vec {Y}})^{2}}}}
이 표현을 성분으로 바꾸어서 표현하여
X
→
=
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
.
.
.
,
x
n
)
,
Y
→
=
(
y
1
,
y
2
,
y
3
,
.
.
.
,
y
n
)
{\displaystyle {\vec {X}}=(x_{1}\,,x_{2}\,,x_{3}\,,...\,,x_{n}),\ {\vec {Y}}=(y_{1}\,,y_{2}\,,y_{3}\,,...\,,y_{n})}
S
n
=
1
2
2
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
|
x
i
y
i
x
j
y
j
|
2
{\displaystyle S_{n}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\begin{vmatrix}x_{i}&y_{i}\\x_{j}&y_{j}\end{vmatrix}}^{2}}}}
벡터의 증명은 사인을 이용한 삼각형 넓이 공식과 벡터의 내적을, 성분의 증명은 귀납법을 통해서 증명 가능하다.
성분의 증명에서
n
=
2
{\displaystyle n=2}
#2차원 직교좌표 가 된다.
한 변의 길이가
a
{\displaystyle a}
S
=
3
4
a
2
{\displaystyle S={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}
다음의 성질은 유클리드 기하학 에서 성립한다.
세 내각의 합은 180도이다. 단, 쌍곡면, 구면, 타원면 등에서는 이 법칙이 적용되지 않는다.비유클리드 기하학 문서 참고.
삼각형의 어떤 각의 외각은 그 각을 제외한 다른 두 각의 합과 같다.
그 어떤 삼각형도 어느 한 변의 길이가 나머지 두 변의 길이를 합한 것보다 길거나 같을 수 없다. 예를 들어, 각 변의 길이가 2cm, 3cm, 5cm인 삼각형이나 각 변의 길이가 3cm, 4cm, 10cm인 삼각형 등은 성립할 수 없다.
중점연결정리 피타고라스의 정리 사인 법칙 코사인 법칙 체바 정리 /메넬라오스 정리 지구 위에 그려진 직각삼각형의 예 비유클리드 기하학 에서는 삼각형의 내각의 합이 180도가 되지 않는다. 오른쪽 그림은 지구 위에 직각삼각형 을 그릴 경우 내각의 합이 180도를 초과함을 보여준다.
삼각형의 합동 조건에는 대표적인 4가지가 있다.
SSS 합동: 모든 변의 길이가 같을 때, 삼각형은 서로 합동이다. 변의 길이만으로 모양이 확정되는 다각형은 오직 삼각형밖에 없다.
SAS 합동: 두 변과 한 끼인각을 아는 경우. (두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 각을 알 경우 두 가지 경우가 생기기 때문에 합동이 아닐 수 있다. 이 때, 둘 다 예각삼각형, 또는 직각삼각형, 또는 둔각삼각형이면 합동이다.)
ASA 합동: 두 각과 그 사이의 변의 길이를 아는 경우.
AAS 합동: 두 각과 이웃한 변의 길이를 아는 경우. 삼각형의 내각의 합이 180도라는 것과 ASA 합동으로부터 나온다. RHS 합동: 한 각이 직각이고 빗변과 다른 한 변의 길이가 같은 경우.
RHA 합동: 한 각이 직각이고 빗변과 다른 한 각의 크기가 같은 경우.
변의 수로 나열
1–10변 11–20변 21–30변 31–100변 >257변 다각별
.jpg?lang=ko)
