교환자 부분군

군론에서, 주어진 군의 교환자 부분군(交換子部分群, 영어: commutator subgroup)은 교환자들로 생성되는 부분군이다.

정의

군 $G$의 교환자 부분군 $G^{(1)}$은 다음과 같은 꼴의 원소들로 구성되는 부분군이다.

$[g_{1},h_{1}][g_{2},h_{2}][g_{3},h_{3}]\dots [g_{n},h_{n}]\in G^{(1)}\subset G$

$g_{1},g_{2},\dots ,g_{n},h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}\in G$

여기서

$[g,h]=g^{-1}h^{-1}gh$

는 군의 교환자이다. 교환자 부분군은 항상 정규 부분군이다.

유도열

군 $G$의 n차 유도 부분군(n次誘導部分群, 영어: nth derived subgroup) $G^{(n)}$은 다음과 같이 정의된다.

$G^{(n+1)}=(G^{(n)})^{(1)}$

즉, 교환자 부분군을 n번 취한 부분군이다. 따라서 다음과 같은 정규 부분군들의 열이 존재한다.

$G=G^{(0)}\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)}\triangleright \cdots$

이를 유도열(誘導列, 영어: derived series)이라고 한다.

유도열을 임의의 순서수에 대하여 다음과 같이 확장할 수 있다.

• $G^{(0)}=G$
• 따름 순서수 $\alpha +1$에 대하여,

  $G^{(\alpha +1)}=(G^{(\alpha )})^{(1)}$

• 극한 순서수 $\alpha$에 대하여,

  $G^{(\alpha )}=\bigcap _{\beta <\alpha }G^{(\beta )}$

이를 초한 유도열(超限誘導列, 영어: transfinite derived series)이라고 한다.

유도열을 사용하여, 다양한 종류의 군들의 모임을 정의할 수 있다.

• 교환자 부분군이 자명군인 군을 아벨 군이라 한다.
• 교환자 부분군이 스스로인 군을 완전군이라고 한다.
• 어떤 자연수 $n\in \mathbb {N}$에 대하여 $G^{(n)}=1$인 군 $G$를 가해군이라고 한다.
• 어떤 순서수 $\alpha \in \operatorname {Ord}$에 대하여 $G^{(\alpha )}=1$인 군 $G$를 준 아벨 군(영어: hypo-Abelian group)이라고 한다.

정의에 따라

아벨 군 ⊊ 가해군 ⊊ 준 아벨 군

임을 알 수 있다.

아벨화

군 $G$가 주어졌을 때, 교환자 부분군 $G^{(1)}$은 그 정규 부분군이며, 이에 대한 몫군

$G^{\operatorname {ab} }=G/G^{(1)}$

은 아벨 군을 이룬다. 이를 아벨화(Abel化, 영어: abelianization)라고 한다. 범주론적으로 이는 군과 군 준동형의 범주 $\operatorname {Grp}$에서 아벨 군과 군 준동형의 범주 $\operatorname {Ab}$로 가는 함자를 이룬다.

$(-)^{\operatorname {ab} }\colon \operatorname {Grp} \to \operatorname {Ab}$

아벨 군은 군의 일종이므로, 포함 함자

$I\colon \operatorname {Ab} \to \operatorname {Grp}$

가 존재한다. 아벨화 함자는 포함 함자의 왼쪽 수반 함자이다.

$(-)^{\operatorname {ab} }\dashv I$

호몰로지 대수학에서, 군의 아벨화는 정수 계수의 1차 군 호몰로지

$G^{\operatorname {ab} }=\operatorname {H} _{1}(G;\mathbb {Z} )$

와 같다.

예

일부 군들의 교환자 부분군들은 다음과 같다.

G	G(1)
대칭군 $S_{n}$	교대군 $A_{n}\subset S_{n}$
교대군 $A_{4}$	클라인 4원군 $(\mathbb {Z} /2)^{2}$
사원수군 $Q$	$\operatorname {Z} (Q)=\{\pm 1\}\cong \mathbb {Z} /2$
크기 8의 정이면체군 $\operatorname {Dih} _{4}$	$\operatorname {Z} (\operatorname {Dih} _{4})\cong \mathbb {Z} /2$

대수적 위상수학에서, 경로 연결 공간 $X$의 기본군 $\pi _{1}(X)$의 아벨화는 정수 계수 1차 특이 호몰로지 $\operatorname {H} _{1}(X;\mathbb {Z} )$이다. 이는 후레비치 준동형의 특수한 경우이다. 즉, 기본군의 교환자 부분군은 1차 후레비치 준동형의 핵이다.

같이 보기

• 멱영군

참고 문헌

• Dummit, David S.; Richard M. Foote (2004). 《Abstract Algebra》 3판. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9. OCLC 248917264.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X. 

외부 링크

• “Commutator subgroup”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Lie group, derived”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.