프레드홀름 적분 방정식

수학에서 프레드홀름 적분 방정식(영어: Fredholm integral equation)은 프레드홀름 이론, 즉 프레드홀름 핵과 프레드홀름 작용소 연구의 기반이 되는 해를 제공하는 적분 방정식이다. 이 적분 방정식은 에리크 이바르 프레드홀름이 연구했다. 이러한 방정식을 풀기 위한 유용한 방법인 아도미안 분해법은 조지 아도미안에 의해 개발되었다.

1종 방정식

프레드홀름 방정식은 핵 함수(아래 정의됨)를 포함하는 항이 적분 한계를 상수로 갖는 적분 방정식이다. 이와 밀접하게 관련된 형태는 변수 적분 한계를 갖는 볼테라 적분 방정식이다.

1종 비동차 방정식 프레드홀름 방정식은 다음과 같이 작성된다.

$g(t)=\int _{a}^{b}K(t,s)f(s)\,\mathrm {d} s~,$

여기서 연속적인 핵 함수 $K$와 함수 $g$가 주어졌을 때, 함수 $f$를 찾는 것이 문제이다.

이러한 유형의 방정식에서 중요한 경우는 핵이 인수 차이만의 함수, 즉 $K(t,s)=K(t-s)$이고 적분 한계가 ±∞일 때이며, 이 경우 방정식의 우변은 함수 $K$와 $f$의 합성곱으로 다시 작성될 수 있으므로 형식적으로 해는 다음과 같이 주어진다.

$f(s)={\mathcal {F}}_{\omega }^{-1}\left[{{\mathcal {F}}_{t}[g(t)](\omega ) \over {\mathcal {F}}_{t}[K(t)](\omega )}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }{{\mathcal {F}}_{t}[g(t)](\omega ) \over {\mathcal {F}}_{t}[K(t)](\omega )}e^{2\pi i\omega s}\mathrm {d} \omega$

여기서 ${\mathcal {F}}_{t}$와 ${\mathcal {F}}_{\omega }^{-1}$는 각각 직접 및 역 푸리에 변환이다. 이 경우는 일반적으로 프레드홀름 적분 방정식의 범주에 포함되지 않는다. 프레드홀름 적분 방정식은 일반적으로 적분 작용소가 콤팩트 작용소를 정의할 때 사용되는 이름이다 (비콤팩트 군에서의 합성곱 작용소는 비콤팩트이다. 왜냐하면 일반적으로 $K$와의 합성곱 작용소의 스펙트럼은 ${\mathcal {F}}{K}$의 범위를 포함하며, 이는 일반적으로 셀 수 없는 집합인 반면, 콤팩트 작용소는 이산적인 셀 수 있는 스펙트럼을 갖기 때문이다).

2종 방정식

2종 비동차 프레드홀름 방정식은 다음과 같이 주어진다.

$\varphi (t)=f(t)+\lambda \int _{a}^{b}K(t,s)\varphi (s)\,\mathrm {d} s.$

핵 $K(t,s)$와 함수 $f(t)$가 주어졌을 때, 일반적으로 함수 $\varphi (t)$를 찾는 것이 문제이다.

이를 해결하는 표준적인 접근 방식은 반복을 사용하여 레졸벤트 형식을 이용하는 것이며, 계열로 작성된 해는 리우빌-노이만 급수로 알려져 있다.

일반 이론

프레드홀름 방정식의 기본이 되는 일반 이론은 프레드홀름 이론으로 알려져 있다. 주요 결과 중 하나는 핵 K가 콤팩트 작용소를 생성한다는 것이다. 콤팩트성은 동등 연속 함수족을, 더 구체적으로는 아르첼라-아스콜리 정리를 사용하여 보일 수 있다. 작용소로서, 0으로 수렴하는 고유값의 이산 스펙트럼으로 이해될 수 있는 스펙트럼 이론을 갖는다.

응용

프레드홀름 방정식은 신호 처리 이론, 예를 들어 데이비드 슬레피언에 의해 대중화된 유명한 스펙트럼 집중 문제에서 자연스럽게 발생한다. 관련된 작용소는 선형 필터와 동일하다. 또한 선형 정방향 모델링 및 역문제에서도 흔히 발생한다. 물리학에서는 이러한 적분 방정식의 해를 통해 실험 스펙트럼을 다양한 기본 분포와 관련시킬 수 있다. 예를 들어, 고분자 용융물 내 고분자의 질량 분포, 또는 시스템 내 이완 시간 분포 등이 있다. 또한 프레드홀름 적분 방정식은 유한 크기의 탄성 경계면 근처의 유체 역학적 상호작용과 관련된 유체역학 문제에서도 발생한다.

프레드홀름 방정식의 특정 응용 분야는 컴퓨터 그래픽에서 사진처럼 사실적인 이미지를 생성하는 것인데, 여기서 프레드홀름 방정식은 가상 광원에서 이미지 평면으로의 빛 전달을 모델링하는 데 사용된다. 이 맥락에서 프레드홀름 방정식은 종종 렌더링 방정식이라고 불린다.

같이 보기

• 리우빌-노이만 급수
• 볼테라 적분 방정식
• 프레드홀름 대안

추가 자료

• EqWorld: 수학 방정식의 세계의 적분 방정식.
• A.D. 폴리아닌과 A.V. 만지로프, Integral Equations 핸드북, CRC Press, 보카레이턴, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
• Khvedelidze, B.V.; Litvinov, G.L. (2001). “Fredholm kernel” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Simons, F. J.; Wieczorek, M. A.; Dahlen, F. A. (2006). 《Spatiospectral concentration on a sphere》. 《SIAM Review》 48. 504–536쪽. arXiv:math/0408424. Bibcode:2006SIAMR..48..504S. doi:10.1137/S0036144504445765. 
• Slepian, D. (1983). 《Some comments on Fourier Analysis, uncertainty and modeling》. 《SIAM Review》 25. 379–393쪽. doi:10.1137/1025078. 
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). 〈Section 19.1. Fredholm Equations of the Second Kind〉 3판. 《Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing》. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. 2011년 8월 11일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2011년 8월 17일에 확인함. 
• 매튜스, 존; 워커, 로버트 L. (1970), Mathematical methods of physics (2nd ed.), 뉴욕: W. A. 벤자민, ISBN 0-8053-7002-1

외부 링크

• IntEQ: a Python package for numerically solving Fredholm integral equations