Аналитическая теория дифференциальных уравнений

Аналитическая теория дифференциальных уравнений — раздел теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в котором решения исследуются с точки зрения теории аналитических функций.

Типичная постановка задачи: дан класс дифференциальных уравнений, все решения которых — аналитические функции одной переменной, требуется выяснить специфические свойства этих функций.

История теории

Аналитическая теория дифференциальных уравнений стала развиваться в начале XIX века на основе развитых методов теории функций комплексного переменного. Многие понятия и методы сформулированы в рамках классического анализа XVIII — начала XIX века, но получили отдельное название. Окончательное оформление аналитическая теория получила в работах Шарля Огюста Брио, Жан-Клода Буке, Бернхарда Римана и Лазаря Фукса.

Основные понятия

• Решение дифференциального уравнения — функция, при подстановке которой и её производных исходное уравнение становится тождеством.
• Частное решение — решение, которое в каждой точке сохраняет единственность.
• Общее решение (общий интеграл) — решение, из которого можно получить частные решения.
• Произвольные постоянные — параметры, число которых равно порядку дифференциального уравнения.

Метод решения

В аналитической теории дифференциальных уравнений используются, например:

• Метод разделения переменных — решение уравнения сводится к решению вспомогательных задач для уравнений с меньшим числом переменных.
• Метод нормальных форм — позволяет привести дифференциальное уравнение к простейшему виду в окрестности особой точки.

Примеры задач

• Задача Коши — найти интегральную кривую дифференциального уравнения, которая проходит через заданную точку.
• Задача о движении материальной точки — решить дифференциальное уравнение, описывающее движение, и зафиксировать произвольные постоянные, задав начальный путь и начальную скорость. Окончательное оформление аналитическая теория получила в работах Брио, Буке, Римана и Фукса.