Гиперсовершенное число
Гиперсовершенное число — k-гиперсовершенное число для некоторого целого k. k-гиперсовершенное число — натуральное число n, для которого верно
где σ(n) — это функция делителей (то есть сумма всех положительных делителей числа).
Гиперсовершенные числа — обобщение совершенных чисел, которые являются 1-гиперсовершенными.
Первые члены последовательности гиперсовершенных чисел это 6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, … (последовательность A034897 в OEIS), с соответствующими значениями k 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, … (последовательность A034898 в OEIS). Первые гиперсовершенные числа, которые не являются совершенными — 21, 301, 325, 697, 1333, … (последовательность A007592 в OEIS).
Список гиперсовершенных чисел
[править | править код]Следующая таблица приводит некоторые последовательности k-гиперсовершенных чисел для некоторых k.
| k | OEIS | Некоторые известные числа |
|---|---|---|
| 1 | A000396 | 6, 28, 496, 8128, 33550336, … |
| 2 | A007593 | 21, 2133, 19521, 176661, 129127041, … |
| 3 | 325, … | |
| 4 | 1950625, 1220640625, … | |
| 6 | A028499 | 301, 16513, 60110701, 1977225901, … |
| 10 | 159841, … | |
| 11 | 10693, … | |
| 12 | A028500 | 697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, … |
| 18 | A028501 | 1333, 1909, 2469601, 893748277, … |
| 19 | 51301, … | |
| 30 | 3901, 28600321, … | |
| 31 | 214273, … | |
| 35 | 306181, … | |
| 40 | 115788961, … | |
| 48 | 26977, 9560844577, … | |
| 59 | 1433701, … | |
| 60 | 24601, … | |
| 66 | 296341, … | |
| 75 | 2924101, … | |
| 78 | 486877, … | |
| 91 | 5199013, … | |
| 100 | 10509080401, … | |
| 108 | 275833, … | |
| 126 | 12161963773, … | |
| 132 | 96361, 130153, 495529, … | |
| 136 | 156276648817, … | |
| 138 | 46727970517, 51886178401, … | |
| 140 | 1118457481, … | |
| 168 | 250321, … | |
| 174 | 7744461466717, … | |
| 180 | 12211188308281, … | |
| 190 | 1167773821, … | |
| 192 | 163201, 137008036993, … | |
| 198 | 1564317613, … | |
| 206 | 626946794653, 54114833564509, … | |
| 222 | 348231627849277, … | |
| 228 | 391854937, 102744892633, 3710434289467, … | |
| 252 | 389593, 1218260233, … | |
| 276 | 72315968283289, … | |
| 282 | 8898807853477, … | |
| 296 | 444574821937, … | |
| 342 | 542413, 26199602893, … | |
| 348 | 66239465233897, … | |
| 350 | 140460782701, … | |
| 360 | 23911458481, … | |
| 366 | 808861, … | |
| 372 | 2469439417, … | |
| 396 | 8432772615433, … | |
| 402 | 8942902453, 813535908179653, … | |
| 408 | 1238906223697, … | |
| 414 | 8062678298557, … | |
| 430 | 124528653669661, … | |
| 438 | 6287557453, … | |
| 480 | 1324790832961, … | |
| 522 | 723378252872773, 106049331638192773, … | |
| 546 | 211125067071829, … | |
| 570 | 1345711391461, 5810517340434661, … | |
| 660 | 13786783637881, … | |
| 672 | 142718568339485377, … | |
| 684 | 154643791177, … | |
| 774 | 8695993590900027, … | |
| 810 | 5646270598021, … | |
| 814 | 31571188513, … | |
| 816 | 31571188513, … | |
| 820 | 1119337766869561, … | |
| 968 | 52335185632753, … | |
| 972 | 289085338292617, … | |
| 978 | 60246544949557, … | |
| 1050 | 64169172901, … | |
| 1410 | 80293806421, … | |
| 2772 | A028502 | 95295817, 124035913, … |
| 3918 | 61442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, … | |
| 9222 | 404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, … | |
| 9828 | 432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, … | |
| 14280 | 848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, … | |
| 23730 | 2288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, … | |
| 31752 | A034916 | 4660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, … |
| 55848 | 15166641361, 44783952721, 67623550801, … | |
| 67782 | 18407557741, 18444431149, 34939858669, … | |
| 92568 | 50611924273, 64781493169, 84213367729, … | |
| 100932 | 50969246953, 53192980777, 82145123113, … |
Можно доказать, что если k > 1 это нечетное целое число, а p = (3k + 1) / 2 и q = 3k + 4 — простые числа, тогда p²q k-гиперсовершенное; В 2000 году Джадсон С. Маккрани предположил, что все k-гиперсовершенные числа для нечетного k > 1 имеют такую форму, но эта гипотеза пока не доказана. Кроме того, можно доказать, что если p ≠ q — нечетные простые числа, а k — целое число, такое, что k (p + q) = pq — 1, то pq k-гиперсовершенное.
Можно также показать, что если k>0 и p = k + 1 просто, то для всех i>1 таких, что — простое, является k-гиперсовершенным.
В следующей таблице перечислены известные значения k и соответствующие значения i, для которых n является k-гиперсовершенным:
| k | OEIS | Значения i |
|---|---|---|
| 16 | A034922 | 11, 21, 127, 149, 469, … |
| 22 | 17, 61, 445, … | |
| 28 | 33, 89, 101, … | |
| 36 | 67, 95, 341, … | |
| 42 | A034923 | 4, 6, 42, 64, 65, … |
| 46 | A034924 | 5, 11, 13, 53, 115, … |
| 52 | 21, 173, … | |
| 58 | 11, 117, … | |
| 72 | 21, 49, … | |
| 88 | A034925 | 9, 41, 51, 109, 483, … |
| 96 | 6, 11, 34, … | |
| 100 | A034926 | 3, 7, 9, 19, 29, 99, 145, … |
Гипердефицитность
[править | править код]Недавно введенная математическая концепция гипернедостаточных чисел связана с гиперсовершенными числами.
Определение (Миноли 2010): Для любого целого числа n и для целого k, -∞ <k <∞ определим k-гипердефицитность (или просто гипердефицитность) как
δk(n) = n(k+1) +(k-1) –kσ(n)
Число n называется k-гипернедостаточным, если δk(n) > 0.
Заметим, что при k = 1 получается δ1(n) = 2n-σ(n), что является стандартным традиционным определением недостаточного числа.
Лемма: число n является k-гиперсовершенным (включая k = 1) тогда и только тогда, когда k-гипердефицитность n, δk(n) = 0.
Лемма: число n является k-гиперсовершенным (включая k = 1), тогда и только тогда, когда для некоторого k, δk-j(n) = -δk + j(n) для хотя бы одного j>0.
Примечания
[править | править код]Литература
[править | править код]Статьи
[править | править код]- Minoli, Daniel; Bear, Robert (Fall 1975), Hyperperfect numbers, Pi Mu Epsilon Journal, 6 (3): 153–157.
- Minoli, Daniel (Декабрь 1978), Sufficient forms for generalized perfect numbers, Annales de la Faculté des Sciences UNAZA, 4 (2): 277–302.
- Minoli, Daniel (Февраль 1981), Structural issues for hyperperfect numbers, Fibonacci Quarterly, 19 (1): 6–14.
- Minoli, Daniel (Апрель 1980), Issues in non-linear hyperperfect numbers, Mathematics of Computation, 34 (150): 639–645, doi:10.2307/2006107.
- Minoli, Daniel (Октябрь 1980), New results for hyperperfect numbers, Abstracts of the American Mathematical Society, 1 (6): 561.
- Minoli, Daniel; Nakamine, W. (1980), Mersenne numbers rooted on 3 for number theoretic transforms, International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing.
- McCranie, Judson S. (2000), A study of hyperperfect numbers, Journal of Integer Sequences, 3, Архивировано из оригинала 5 апреля 2004, Дата обращения: 29 июля 2017.
- te Riele, Herman J.J. (1981), Hyperperfect numbers with three different prime factors, Math. Comp., 36: 297–298, doi:10.1090/s0025-5718-1981-0595066-9, MR 0595066, Zbl 0452.10005.
- te Riele, Herman J.J. (1984), Rules for constructing hyperperfect numbers, Fibonacci Q., 22: 50–60, Zbl 0531.10005.
Книги
[править | править код]- Handbook of number theory I (неопр.) / Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav. — Dordrecht: Springer-Verlag, 2006. — С. 114. — ISBN 1-4020-4215-9. — .
- Daniel Minoli, Voice over MPLS, McGraw-Hill, New York, NY, 2002, ISBN 0-07-140615-8 (p. 114—134)
Ссылки
[править | править код]- MathWorld: Hyperperfect number Архивная копия от 15 августа 2017 на Wayback Machine
- A long list of hyperperfect numbers under Data
