Дробово-лінійне перетворення

Дробово-лінійне перетворення або дробово-лінійне відображення — це відображення комплексного простору на себе, яке здійснюється дробово-лінійними функціями.

Формальне визначення

Дробово-лінійне перетворення — це невироджене відображення комплексного простору на себе

$\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}:z\to w,$ $z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}),$

$w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})=(L_{1}(z),L_{2}(z),\dots ,L_{n}(z)),$

здійснюване дробово-лінійними функціями

$L_{k}(z)={\frac {a_{1k}z_{1}+a_{2k}z_{2}+\cdots +a_{nk}z_{n}+b_{k}}{c_{1k}z_{1}+c_{2k}z_{2}+\cdots +c_{nk}z_{n}+d_{k}}},$ $k=1,2,\dots ,n,$

де $z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}$ — комплексні змінні, $a_{1k},a_{2k},\dots ,a_{nk},$$c_{1k},c_{2k},\dots ,c_{nk},$$b_{k},d_{k}$ — комплексні коефіцієнти,

$|c_{1k}|+|c_{2k}|+\dots +|c_{nk}|+|d_{k}|>0$.

У разі комплексної площини $\mathbb {C} ^{1}=\mathbb {C}$ отримуємо відмінне від константи відображення вигляду

$\mathbb {C} \to \mathbb {C} :z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}},$

де $ad-bc\neq 0$.

Література

• Мельник Т.А. (2015). Комплексний аналіз : підручник (PDF). Київ: ВПЦ "Київський університет". с. 192. ISBN 978-966-439-800-5.
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 2. — К. : Вища школа, 1993. — 375 с. — ISBN 5-11-003758-2.(укр.)
• Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил.