Калибровочная дифференциальная форма

Калибровочная форма — дифференциальная форма на римановом многообразии. Инструмент в теории минимальных поверхностей позволяющий доказать минимальность площади.

Определение

Замкнутая $k$-форма $\phi$ на римановом многообразии $(M,g)$ назыетеся калибровочной если для любой ортонормированной системы из $k$ векторов $e_{1},\dots ,e_{k}$ выполняется неравенство

$\phi (e_{1}\wedge \dots \wedge e_{k})\leq 1.$

При этом если для $k$-мерного подмногообразие $L$ в $(M,g)$ достигается равенство

$\phi (e_{1}\wedge \dots \wedge e_{k})=1.$

для ортонормированного базиса в каждом касательном пространстве к $L$, то говорят, что $L$ калибруется $\phi$.

Свойства

Если $k$-мерного подмногообразие $L$ в $(M,g)$ калибруется формой $\phi$, то $L$ минимизирует площадь среди всех ему гомологичных подмногообразий. Действительно, предположим $L$ гомологично $L'$, тогда

$\mathrm {vol} _{k}(L)=\int _{L}\varphi =\int _{L'}\varphi \leq \mathrm {vol} _{k}(L').$

где первое равенство держится, потому что $L$ калибруется $\phi$, второе равенство — по теореме теореме Стокса, а последнее неравенство справедливо, поскольку $\phi$ — калибровочная форма.

Примеры

• На кэлеровом многообразии, кэлерова форма является калибровочной; она калибрует комплексные подмногообразия.
• На многообразии Калаби — Яу, вещественная часть голоморфной формы объёма (соответственно нормализованная) является калибровочной формой; она калибрует специальные Лагранжевы подмногообразия.
• На G2-многообразии, 3-форма и ей двойственная 4-форма являются калибровочными.
• На $Spin(7)$-многообразиях, 4-форма Кэли, является калибровочной.

Ссылки

• Bonan, Edmond (1965), Structure presque quaternale sur une variété différentiable, C. R. Acad. Sci. Paris, 261: 5445–5448
• Bonan, Edmond (1966), Sur les variétés riemanniennes à groupe d'holonomie G2 ou Spin(7), C. R. Acad. Sci. Paris, 262: 127–129.
• Berger, M. (1970), Quelques problemes de geometrie Riemannienne ou Deux variations sur les espaces symetriques compacts de rang un, Enseignement Math., 16: 73–96.
• Brakke, Kenneth A. (1991), Minimal cones on hypercubes, J. Geom. Anal., 1 (4): 329–338 (§6.5), doi:10.1007/BF02921309.
• Brakke, Kenneth A. (1993), Polyhedral minimal cones in R4.
• de Rham, Georges (1957-1958), On the Area of Complex Manifolds. Notes for the Seminar on Several Complex Variables{{citation}}: Википедия:Обслуживание CS1 (формат даты) (ссылка).
• Federer, Herbert (1965), Some theorems on integral currents, Transactions of the American Mathematical Society, 117: 43–67, doi:10.1090/S0002-9947-1965-0168727-0.
• Joyce, Dominic D. (2007), Riemannian Holonomy Groups and Calibrated Geometry.
• Harvey, F. Reese (1990), Spinors and Calibrations.
• Kraines, Vivian Yoh (1965), Topology of quaternionic manifolds, Bull. Amer. Math. Soc., 71, 3, 1 (3): 526–527, doi:10.1090/S0002-9904-1965-11316-7.
• Lawlor, Gary (1998), Proving area minimization by directed slicing, Indiana U. Math. J., 47 (4): 1547–1592, doi:10.1512/iumj.1998.47.1341.
• Morgan, Frank, Lawlor, Gary (1996), Curvy slicing proves that triple junctions locally minimize area, J. Diff. Geom., 44: 514–528{{citation}}: Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) (ссылка).
• Morgan, Frank, Lawlor, Gary (1994), Paired calibrations applied to soap films, immiscible fluids, and surfaces or networks minimizing other norms, Pac. J. Math., 166: 55–83, doi:10.2140/pjm.1994.166.55{{citation}}: Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) (ссылка).
• McLean, R. C. (1998), Deformations of calibrated submanifolds, Communications in Analysis and Geometry, 6 (4): 705–747, doi:10.4310/CAG.1998.v6.n4.a4.
• Morgan, Frank (1988), Area-minimizing surfaces, faces of Grassmannians, and calibrations, Amer. Math. Monthly, 95 (9): 813–822, doi:10.1080/00029890.1988.11972093.
• Morgan, Frank (1990), Calibrations and new singularities in area-minimizing surfaces: a survey In "Variational Methods" (Proc. Conf. Paris, June 1988), (H. Berestycki J.-M. Coron, and I. Ekeland, Eds.), Prog. Nonlinear Diff. Eqns. Applns, 4: 329–342.
• Morgan, Frank (2009), Geometric Measure Theory: a Beginner's Guide.
• Thi, Dao Trong (1977), Minimal real currents on compact Riemannian manifolds, Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Mat, 41: 807–820.
• Van, Le Hong (1990), Relative calibrations and the problem of stability of minimal surfaces, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1453, pp. 245–262.
• Wirtinger, W. (1936), Eine Determinantenidentität und ihre Anwendung auf analytische Gebilde und Hermitesche Massbestimmung, Monatshefte für Mathematik und Physik, 44: 343–365 (§6.5), doi:10.1007/BF01699328.