Критерій стійкості Вахітова–Колоколова

Критерій стійкості Вахітова–Колоколова — це умова лінійної стійкості (іноді також званої спектральною стійкістю) солітарних хвильових розв'язків для широкого класу U(1)-інваріантних гамільтонових систем, названий на честь радянських учених Олександра Колоколова (Александр Александрович Колоколов) і Назіба Вахітова (Назиб Галиевич Вахитов). Умова лінійної стійкості солітарної хвилі $u(x,t)=\phi _{\omega }(x)e^{-i\omega t}$ з частотою $\omega$ має вигляд

${\frac {d}{d\omega }}Q(\omega )<0,$

де $Q(\omega )\,$ — заряд (або імпульс ) солітарної хвилі $\phi _{\omega }(x)e^{-i\omega t}$, що зберігається відповідно дотеореми Нетер завдяки U(1)-інваріантності системи.

Початкове формулювання

Спочатку цей критерій був отриманий для нелінійного рівняння Шредінгера ,

$i{\frac {\partial }{\partial t}}u(x,t)=-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,t)+g(|u(x,t)|^{2})u(x,t),$

де $x\in \mathbb {R}$, $t\in \mathbb {R}$, та $g\in C^{\infty }(\mathbb {R} )$ є гладкою функцією з дійсними значеннями. Розв'язок $u(x,t)$ вважається комплекснозначним . Оскільки рівняння є U (1)-інваріантним, то згідно теореми Нетер воно має інтеграл руху, ${\textstyle Q(u)={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }|u(x,t)|^{2}\,dx}$, який називають зарядом або імпульсом, залежно від моделі, що розглядається. Для широкого класу функцій $g$, нелінійне рівняння Шредінгера має солітарні хвильові розв'язки вигляду $u(x,t)=\phi _{\omega }(x)e^{-i\omega t}$, де $\omega \in \mathbb {R}$, а $\phi _{\omega }(x)$ спадає для великих $x$ (зазвичай вимагається, щоб $\phi _{\omega }(x)$ належала до простору Соболєва $H^{1}(\mathbb {R} ^{n})$). Такі рішення зазвичай існують для $\omega$ з певного інтервалу або сукупності інтервалів дійсної прямої. Критерій стійкості Вахітова-Колоколова,

${\frac {d}{d\omega }}Q(\phi _{\omega })<0,$

є умовою спектральної стійкості солітарного хвильового розв'язку. Інакше кажучи, якщо ця умова виконується при певному значенні $\omega$, тоді лінійне наближення поблизу солітарної хвилі з цим $\omega$ не має спектра в правій півплощині.

Цей результат базується на попередній роботі Володимира Захарова .

Узагальнення

Цей результат був узагальнений для абстрактниї гамільтонових систем з U(1)-інваріантністю. Було показано, що за досить загальних умов критерій стійкості Вахітова-Колоколова гарантує не лише спектральну стійкість, але й орбітальну стійкість одиночних хвиль.

Умова стійкості була узагальнена для біжучих хвильових розв'язків узагальненого рівняння Кортевега-де Фріза виду

$\partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u+\partial _{x}f(u)=0\,$.

Умова стійкості також була поширена на гамільтонові системи з більш загальною групою симетрії.

Див. також

• Теорема Дерріка
• Лінійна стійкість
• Стійкість Ляпунова
• Нелінійне рівняння Шредінгера
• Орбітальна стабільність