Направление (отношение порядка)

Термин «Направление» имеет также другие значения.

Не следует путать с направленностью — обобщением понятия последовательности в топологии.

Обзорная статья: Бинарное отношение § Виды отношений

Диаграмма Хассе направленного множества

Направле́ние — предпорядок такой, что для двух произвольных элементов существует элемент, который следует за ними.

Также говорят, что отношение направления направляет множество, а множество направлено отношением направления.

Обычно предпорядок считается нестрогим, то есть направление — предпорядок со свойством бинарных отношений Мура — Смита (иерархичности). В качестве знака бинарного отношения нестрогого направления обычно используют символ меньше или равно $\leqslant$.

Рассматривают также строгую концепцию следующего элемента, когда направление — отношение строгого порядка со свойством бинарных отношений Мура — Смита.

Направления используются в топологии для определения направленности (обобщения предела), а также применяются в абстрактной алгебре и в теории категорий.

Считается, что понятие направления и обобщённого предела возникло в общей теории пределов, разработанной русским математиком Самуилом Шатуновским в 1906—1907 годах, который называл направленное множество «расположенным», а также было предложено Муром и Смитом независимо в 1915—1922 годах.

Определение

Направление (нестрогое) — бинарное отношение порядка $R$ на некотором непустом множестве $A$, которое задаётся следующими двумя аксиомами предпорядка и одной специальной аксиомой:

(D1) отношением транзитивности: для любых $x,\,y,\,z\in A$, $xRy$, $yRz$ всегда выполняется $xRz$;

(D2) отношением рефлексивности: для каждого $x\in A$ всегда выполняется $xRx$;

(D3) свойством Мура — Смита (отношением иерархичности): для любых $x,\,y\in A$ найдётся $z\in A$ такой, что $xRz$, $yRz$. Для свойства Мура — Смита не имеет значения, $xRy$, или $yRx$, или ни то и ни другое.

Синонимы: направленный предпорядок; фильтрованное множество.

Другими словами, направление — предпорядок такой, что для двух произвольных элементов существует элемент, который следует за ними. Такое направление есть также направление в смысле общей теории пределов, если считать отношение следования отношением включения множеств.

Также говорят, что отношение направления направляет множество, а множество направлено отношением направления.

В качестве знака бинарного отношения направления обычно используют символ меньше или равно $\leqslant$.

Строгое направление $<$ подразумевает, что если $x\leqslant y$, то $x\neq y$.

Говорят, что элемент $y$ следует за элементом $x$ при упорядочении $\leqslant$, или элемент $x$ предшествует элементу $y$, если и только если $x\leqslant y$.

Свойство Мура — Смита допускает наличие в множестве последнего или первого элемента для (нестрогого) направления, как в примере 1.

Направления используются в топологии для определения направленности (обобщения предела), а также применяются в абстрактной алгебре и в теории категорий.

Примеры

Приведём несколько естественных примеров множеств, направленных отношениями.

1. Вещественные числа, как и натуральные числа с нулём, направлены отношением порядка $\leqslant$. Причём число $0$ следует за любым натуральным числом относительно порядка $\geqslant$.

2. Множество всех окрестностей любой точки топологического пространства направлено отношением включения $\supset$, поскольку пересечение двух окрестностей есть снова окрестность, причём она следует за каждой из двух исходных окрестностей относительно порядка $\supset$.

3. Множество всех конечных подмножеств любого множества направлено отношением включения $\subset$.

4. Произвольное множество становится направленным, если для любых двух его элементов $x$ и $y$ верно $x\leqslant y$, то есть каждый элемент следует за любым элементом, в том числе и за собой.

Место в ряду других бинарных отношений

Бинарное отношение на некотором множестве $A$ — произвольное подмножество $R$ прямого произведения $A\times A$: $R\in A\times A$. На бинарных отношениях существуют теоретико-множественные операции объединения $\cup$, пересечения $\cap$, дополнения $^{\complement }$, принадлежности $\subseteq$, разности $\setminus$, а также композиция отношений $\circ$:

$R\circ S=\{(x,\,y)\colon \exists z\in A\,((x,\,z)\in R;(z,\,y))\in S\}$

и обратное отношение $^{-1}$:

$R^{-1}=\{(x,\,y)\colon ((y,\,x)\in R\}$.

На множестве $A$ имеется также единичное отношение диагональ $\Delta$:

$\Delta =\{(x,\,x)\colon x\in A\}$.

Бинарное отношение $R\in A\times A$ рефлексивно при $\Delta \subseteq R$, симметрично при $R^{-1}=R$, антисимметрично при $R\cap R^{-1}=\Delta$, транзитивно при $R\circ R=R$ и иерархично при $R\circ R^{-1}=A\times A$.

Существуют следующие частные случаи предпорядка, то есть рефлексивного и транзитивного отношения:

• порядок — антисимметричный предпорядок

$R\cap R^{-1}=\Delta \subseteq R=R\circ R$;

• эквивалетность — симметричный предпорядок

$\Delta \subseteq R=R\circ R=R^{-1}$;

• направление — иерархичный предпорядок

$\Delta \subseteq R=R\circ R\,$ и $\,R\circ R^{-1}=A\times A$.

Направленное множество и направленность

Основные статьи: Направленное множество и Направленность (математика)

Направление используется для задания направленного множества и направленности.

Направленное множество, или направленная система, — множество $A$, на котором задано направление $\leqslant$, то есть пара $\langle A,\,\leqslant \rangle$.

В частности, направленное вверх, или по возрастанию, множество — любое частично упорядоченное множество, все двухэлемпентные (а значит, и все конечные) подмножества которого обладают верхней гранью. Понятие направленное вниз, или по убыванию, множество определяется аналогично благодаря принципу двойственности, но используется редко.

Направленность — функция $F$, отображающая направленное множество $\langle A,\,\leqslant \rangle$ в топологическое пространство, то есть пара $\langle F,\,\leqslant \rangle$, где $\leqslant$ — направление на области определения функции $F$.

Синонимы направленности: направленное множество; последовательность по направленному множеству.

Строгое направление

Строгое направление $<$ подразумевает, что если $x\leqslant y$, то $x\neq y$.

Направление строгое — бинарное отношение порядка $R$ на некотором непустом множестве $A$, которое задаётся следующими двумя аксиомами строгого порядка и одной специальной аксиомой:

(D1) отношением транзитивности: для любых $x,\,y,\,z\in A$, $xRy$, $yRz$, всегда выполняется $xRz$;

(D2) отношением асимметричности: если выполняется $xRy$, то не выполняется $yRx$;

(D3) свойством Мура — Смита: для любых $x,\,y\in A$ найдётся $z\in A$ такой, что $xRz$, $yRz$. Для свойства Мура — Смита не имеет значения, $xRy$, или $yRx$, или ни то и ни другое.

Свойство Мура — Смита исключает наличие в множестве последнего или первого элемента для строгого направления.

В линейно строго упорядоченном множестве $A$, не имеющем последнего элемента, выполняется свойство Мура — Смита. Действительно, для произвольных $x,\,y\in A$ установлен строгий порядок, пусть $xRy$. Поскольку $y$ не может быть последним элементом, то $yRz$, $y\neq z$. Тогда по свойству транзитивности также и $xRz$.

Краткая история

Считается, что понятие направления и обобщённого предела возникло в общей теории пределов, разработанной русским математиком Самуилом Шатуновским в 1906—1907 годах, который называл направленное множество «расположенным», а также было предложено Муром и Смитом независимо в 1915—1922 годах.

Русский и советский математик Дмитрий Крыжановский первый использовал обобщённый предел Шатуновского при определении обыкновенного интеграла в 1913—1916 годах. Советский математик Андрей Колмогоров использовал предел Шатуновского — Мура для принципиального обобщения понятия интеграла (1930).

Американский математик Элиаким Мур (1915) занимался суммируемостью неупорядоченных рядов. На базе этого исследования совместными усилиями Мура и американского математика Германа Смита (1922) выросла общая теория сходимости по Муру — Смиту.

Американский математик Гаррет Биркгоф (1948) обобщил эту теорию на общую топологию.

Литература

• Александров А. Д. Аддитивные функции множеств в абстрактных пространствах. I // Александров А. Д. Избранные труды. Том 3. Статьи разных лет (рус.) / под. ред. О. А. Ладыженской, Ю. Г. Решетняк. — Новосибирск: «Наука», 2008. — С. 1—44. — IV+734 с., ил. — 1000 экз. — ISBN 5-02-XXXXXX-X (т. 3). — ISBN 5-02-XXXXXX-X.
• Архангельский А. В. Направленное множество // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — Стб. 889. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.
• Биркгоф Г. Теория структур = Garrett Birkhoff, Lattice theory. Revised Edition (1948) (рус.) / Пер. с англ. М. И. Граева. — М.: «Издательство иностранной литературы», 1952. — 407 с.: ил.
• Гуров С. И. Булевы алгебры, упорядоченные множества, решётки: определения, свойства, примеры (рус.). — 2-е изд. — М.: URSS : Книжный дом «Либроком», 2013. — 221 с., ил. — (Основы защиты информации. Секретно для пользы = Secreto ad utilitatem). — ISBN 978-5-397-03899-7.
• Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ (рус.). — 3-е изд., перераб.. — М.: «Наука», 1984. — 752 с. — 14 000 экз.
• Келли Дж. Общая топология = John L. Kelley. Genaral topology (1957) (рус.) / Пер. с англ. А. В. Архангельского. — 2-е изд. — М.: «Наука», 1981. — 431 с. — 21 000 экз.
• Пономарёв В. И. Направление // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — Стб. 889. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.
• Пономарёв В. И. Направленность // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — Стб. 890. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.
• Салий В. Н. Решетки с единственными дополнениями (рус.). — М.: «Наука», 1984. — 128 с., ил. — 4400 экз.
• Султанбеков Ф. Ф. От решёток к булевым алгебрам: Учебное пособие (рус.). — Казань: Казанский (Приволжский) федеральный университет, 2012. — 74 с., ил.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : учебник для вузов : в 3 томах (рус.). — 15-е изд, стер.. — СПб.: Издательство «Лань», 2025. — Т. 3. — 656 с., ил. — (Классическая учебная литература по математике). — ISBN 978-5-8114-4865-4 (Общий). — ISBN 978-5-507-52328-0 (Том 3).
• Энгелькинг Р. Общая топология = Ryszard Engelking. General topology (1985) (рус.) / Пер. с англ. М. Я. Антоновского, А. В. Архангельского. — М.: «Мир», 1986. — 751 с., ил.
• Юшкевич А. П. История математики в России до 1917 года) (рус.). — М.: «Наука», 1968. — 591 с., ил. — 11 000 экз.