Обобщённое гиперболическое распределение

Обобщённое гиперболическое
Параметры	$\mu$ (вещественное число) $\lambda$ (вещественное число) $\alpha$ (вещественное число) $\beta$ коэффициент асимметрии (вещественное число) $\delta$ коэффициент масштаба (вещественное число) $\gamma ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$
Носитель	$x\in (-\infty ;+\infty )$
Плотность вероятности	${\frac {(\gamma /\delta )^{\lambda }}{{\sqrt {2\pi }}K_{\lambda }(\delta \gamma )}}\;e^{\beta (x-\mu )}$ $\times {\frac {K_{\lambda -1/2}\left(\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}\right)}{\left({\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}/\alpha \right)^{1/2-\lambda }}}$
Математическое ожидание	$\mu +{\frac {\delta \beta K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{\gamma K_{\lambda }(\delta \gamma )}}$
Дисперсия	${\frac {\delta K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{\gamma K_{\lambda }(\delta \gamma )}}+{\frac {\beta ^{2}\delta ^{2}}{\gamma ^{2}}}\left({\frac {K_{\lambda +2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}-{\frac {K_{\lambda +1}^{2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }^{2}(\delta \gamma )}}\right)$
Производящая функция моментов	${\frac {e^{\mu z}\gamma ^{\lambda }}{({\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}})^{\lambda }}}{\frac {K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}$

Обобщённое гиперболическое распределение — непрерывное вероятностное распределение, определяемое как дисперсионно-сдвиговая смесь нормальных законов со смешивающей плотностью обобщённого обратного гауссова распределения. Является довольно обширным классом распределений, за счёт манипуляции пятью параметрами включает в себя распределение Стьюдента, распределение Лапласа, гиперболическое распределение и распределение variance-gamma:

• $X\sim \mathrm {GH} (-{\frac {\nu }{2}},0,0,{\sqrt {\nu }},\mu )$ имеет распределение Стьюдента с $\nu$ степенями свободы;
• $X\sim \mathrm {GH} (1,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )$ имеет гиперболическое распределение;
• $X\sim \mathrm {GH} (-1/2,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )$ имеет нормальное-обратное гаусово распределение;
• $X\sim \mathrm {GH} (?,?,?,?,?)$ имеет нормальное-обратное хи-квадарат-распределение^{[уточнить]};
• $X\sim \mathrm {GH} (?,?,?,?,?)$ имеет нормальное-обратное гамма распределение^{[уточнить]};
• $X\sim \mathrm {GH} (\lambda ,\alpha ,\beta ,0,\mu )$ имеет распределение variance-gamma.

Литература

• Barndorff-Nielsen O. E., Kent J., Sørensen M. Normal variance-mean mixtures and z-distributions (англ.) // International Statistical Review. — 1982. — Vol. 50, no. 2. — P. 145–159. — doi:10.2307/1402598.
• Королёв В. Ю., Корчагин А. Ю., Горшенин А. К. Некоторые свойства дисперсионно-сдвиговых смесей нормальных законов // Статистические методы оценивания и проверки гипотез: межвузовский сборник. — Пермь, 2015. — Вып. 26. — С. 134—153. — ISBN 978-5-7944-1523-8.