Оболочка голоморфности
Оболо́чка голомо́рфности (англ. envelope or hull of holomorphy[1]) области — понятие комплексного анализа, раздела математики, наибольшая область комплексного пространства такая, что всякая функция, голоморфная в исходной области, голоморфно продолжается в оболочку голоморфности[2][3][4][5][6]. Любая другая область, имеющая такое свойство, принадлежит оболочке голоморфности[5].
Альтернативная формулировка: оболочка голоморфности области — наименьшая область голоморфности комплексного пространства такая, что всякая функция, голоморфная в исходной области, голоморфно продолжается в оболочку голоморфности, то есть пересечение областей голоморфности всех функций, голоморфных в исходной области[7][5].
Оболочка голоморфности есть область голоморфности, и если область комплексного пространства изначально голоморфна, то её оболочка совпадает с самой областью[2][4].
Если одна область лежит в другой области, то и оболочка голоморфности меньшей области лежит в оболочке голоморфности большей области[5].
Поскольку на комплексной плоскости любая область совпадает со своей оболочкой голоморфности (поскольку любая область в есть область голоморфности[8]), то понятие оболочки голоморфности бессмысленно для одной комплексной переменной[4][5]. В комплексном пространстве , , появляется проблема нахождения для данной области её оболочки голоморфности, поскольку произвольная область может и не быть областью голоморфности. Другими словами, имеются такие области, что всякая функция, в них голоморфная, голоморфно продолжается в более широкую (в общем случае неоднолистную) область[2].
В некоторых приложениях, в частности, в аксиоматической квантовой теории поля, имеется нетривиальная проблема о построении оболочек голоморфности некоторых специальных областей, отражающих физические требования спектральности, локальной коммутативности и лоренцовой ковариантности. При этом особенно полезными оказываются теорема Боголюбова «острие клина» и теоремы непрерывности[2].
Примечания
[править | править код]- ↑ Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck Several Complex Variables, 2011, 2.1 General theory of analytic continuation, с. 27.
- ↑ 1 2 3 4 Владимиров В. С. Голоморфная оболочка, 1977.
- ↑ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, § 13. Оболочки голоморфности, с. 195.
- ↑ 1 2 3 Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964, § 20. Оболочки голоморфности, с. 209.
- ↑ 1 2 3 4 5 Фукс Б. А. Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962, § 13. Оболочки голоморфности…, с. 220.
- ↑ Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck Several Complex Variables, 2011, 2.1 General theory of analytic continuation, с. 27-28.
- ↑ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 34. Однолистные оболочки, с. 195—196.
- ↑ Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964, § 8. Области голоморфности, с. 66.
Источники
[править | править код]- Владимиров В. С. Голоморфная оболочка // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 1032.
- Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных / Предисловие академика Н. Н. Боголюбова. М.: «Наука», 1964. 411 с.: ил.
- Фукс Б. А. Теория аналитических функций многих комплексных переменных: 2-е изд., перераб. и доп. М.: Физматлит, 1962. 419 с.
- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: «Наука», 1976. 400 с.: ил.
- Jaap Korevaar[англ.], Jan Wiegerinck. Several Complex Variables. Amsterdam: University of Amsterdam, November 18, 2011. 260 p.