Параметричне рівняння

Приклад кривої, визначеної параметричними рівняннями — крива метелик.

Параметричні рівняння — метод представлення математичних функцій через параметри. Простий кінематичний приклад, коли час використовується як параметр для задання позиції, швидкості та іншої інформації про тіло в русі.

Параметричне представлення функції

Припустимо, що функціональна залежність y від x не задана прямо y = f(x), а через проміжну величину — t. Тоді формули

$x=\varphi (t)~;~$  $~y=\psi (t)$

задають параметричні рівняння для функції однієї змінної.

Якщо припустити, що обидві ці функції $\varphi$ і $\psi$ мають похідні і для $\varphi$ існує обернена функція θ, явне представлення функції має вигляд:

$~y=\psi (\theta (x))=f(x)$

і похідна функції може бути обрахована як

$y'(x)={\frac {dy}{dx}}={\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}={\frac {\psi '(t)}{\phi '(t)}}$

2D-приклади

Парабола

Тривіальний приклад, рівняння параболи:

$y=x^{2}\,$

може бути параметризоване із використанням параметра t таким чином

$x=t\,$

$y=t^{2}.\,$

Коло

Для кола радіуса a:

$x=a\cos(t)\,$

$y=a\sin(t).\,$

3D-приклади

Гвинтова лінія

Параметризована гвинтова лінія

Параметричні рівняння зручні для опису кривих і в багатовимірних просторах. Наприклад:

$x=a\cos(t)\,$

$y=a\sin(t)\,$

$z=bt\,$

описує тривимірну криву, гвинтова лінія, яка має радіус a і підіймається на 2πb за оберт.

Подібні вирази також записуються як

$r(t)=(x(t),y(t),z(t))=(a\cos(t),a\sin(t),bt).\,$

Корисність

Такий спосіб представлення є практичним і ефективним; наприклад, можна інтегрувати і брати похідну почленно. Таким чином, швидкість точки, що рухається згідно з цими рівняннями може бути представлена як:

$v(t)=r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))=(-a\sin(t),a\cos(t),b)\,$

і прискорення:

$a(t)=r''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t))=(-a\cos(t),-a\sin(t),0)\,$

Загалом, параметризована крива є функцією від одного параметра (зазвичай t). Для відповідного випадку із двома і більше параметрами, дивись параметрична поверхня.

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 550+ с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)