Прямое алгебраическое дополнение

Не следует путать с алгебраическим дополнением элемента матрицы.

Прямо́е алгебраи́ческое дополне́ние подпространства векторного пространства — любое подпространство векторного пространства такое, что его прямая алгебраическая сумма с исходным подпространством есть всё векторное пространство.

Формально определение прямого алгебраического дополнения можно записать следующим образом. Рассмотрим векторное, оно же линейное, пространство $E$ и его векторное подпространство $M\subset E$. Тогда любое векторное подпространство $N$ называется прямым алгебраическим дополнением подпространства $M\subset E$, если любой вектор $x\in E$ однозначно разлагается на следующую сумму:

$x=y+z$, $\quad y\in M$, $\quad z\in N$.

Условия этого определения эквивалентно следующим равенствам:

$E=M+N$, $\quad M\cap N=\{0\}$.

Прямое алгебраическое дополнение существует в любом случае. Для его построения выбирается произвольный базис $A$ подпространства $M$ и затем он любым способом расширяется до базиса $B$ пространства $E$, в итоге получается, что базис $B\setminus A$ порождает векторное подпространство, которое служит алгебраическим дополнением подпространства $M\subset E$.

Особенно часто используется частный случай прямого алгебраического дополнения — ортогональное дополнение подпространства, когда оба подпространства взаимно ортогональны.

Обобщение прямого алгебраического дополнения — прямое топологическое дополнение.

Важны два простейших случая прямого алгебраического дополнения на плоскости и в трёхмерном пространстве.

Пересекающиеся прямые на плоскости суть алгебраические дополнения друг друга

Рассмотрим две непараллельные прямые (в смысле пересекающиеся в одной точке) $l$ и $m$ на плоскости.

Тогда имеет место «теорема о векторной проекции»:

задание на плоскости любого базиса $\mathbf {e} _{1}\in l$, $\mathbf {e} _{2}\in m$ дает возможность поставить в соответствие любому вектору $\mathbf {a}$ плоскости пару векторов

${\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{1}}^{e_{2}}} }}\mathbf {a} \,\,$ и $\,\,{\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{2}}^{e_{1}}} }}\mathbf {a}$,

которые суть проекции вектора $\mathbf {a}$ на направление одного из векторов базиса по направлению другого вектора, причём их сумма равна вектору $\mathbf {a}$:

$\mathbf {a} ={\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{1}}^{e_{2}}} }}\mathbf {a} +{\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{2}}^{e_{1}}} }}\mathbf {a}$, $\quad {\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{1}}^{e_{2}}} }}\mathbf {a} \in l$, $\quad {\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{2}}^{e_{1}}} }}\mathbf {a} \in m$.

Пересекающиеся прямая и плоскость в трёхмерном пространстве суть алгебраические дополнения друг друга

Рассмотрим плоскость и не параллельную ей прямую (в смысле пересекающиеся в одной точке) $\alpha$ и $l$ в трёхмерном пространстве.

Пусть $a^{1}$, $a^{2}$, $a^{3}$ — координаты вектора $\mathbf {a}$ в базисе $e_{1}$, $e_{2}$, $e_{3}$, то есть

$\mathbf {a} =a^{1}e_{1}+a^{2}e_{2}+a^{3}e_{3}$,

тогда верны следующие формулы:

${\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{1}}^{e_{1},\,e_{2}}} }}\mathbf {a} =a^{1}e_{1}$, $\quad {\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{1},\,e_{2}}^{e_{1}}} }}\mathbf {a} =a^{2}e_{2}+a^{3}e_{3}$.

Литература

• Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание = Arthur Albert. Regression and Moor-Penrose pseudoinverse (1972) (рус.) / Пер. с англ. Р. Ш. Липцера под ред. Я. З. Цыпкина. — М.: «Наука», 1977. — 223 с. — 6000 экз.
• Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф.. Математический словарь высшей школы: Общая часть (рус.) / под. ред. проф. Ю. С. Богданова. — Минск: «Высшая школа», 1984. — 527 с., ил. — 41 000 экз.
• Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления (рус.). — М.: «Наука», 1975. — 336 с., ил. — 35 000 экз.
• Постников М. М. Аналитическая геометрия (рус.). — М.: «Наука», 1973. — 751 с., ил.
• Робертсон А. П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства = A. P. Robertson, Wendy Robertson. Topological vector spaces (1964) (рус.) / Пер. с англ. Д. Ф. Борисовой под ред. и с приложениями Д. А. Райкова. — М.: «Мир», 1967. — 257 с. — (Библиотека сборника «Математика»).
• Соболев В. И. Дополнение // Математическая энциклопедия (рус.) / гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — Т. 2 Д—Коо. — Стб. 373—374. — 1104 стб., ил. — 148 800 экз.
• Стрэнг Г. Линейная алгебра и её применения = Gilbert Strang. Linear algebra and its applications (1976) (рус.) / Пер. с англ. Ю. А. Кузнецова, Д. М. Фаге. — М.: «Мир», 1980. — 454 с., ил.
• Шилов Г. Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства (рус.). — М.: «Наука», 1969. — 432 с., ил.