Середня аномалія

Площа, що замітається за одиницю часу об'єктом на еліптичній орбіті, та уявним об'єктом на коловій орбіті (з тим самим періодом обертання). Обидва замітають рівні площі за однаковий час, але кутова швидкість для еліптичної орбіти змінюється, а для колової орбіти є сталою. Показані середня аномалія та істинна аномалія в той самий момент часу. (Колова орбіта показана збільшеною, щоб уникнути перетину орбіт.)

Середня аномалія в небесній механіці — частка періоду еліптичної орбіти, що минула з моменту проходження тілом періцентру, виражена як кут, який можна використовувати для обчислення положення цього тіла в класичній задачі двох тіл. Це кутова відстань від перицентра, яку мало б фіктивне тіло, якби воно рухалося коловою орбітою зі сталою швидкістю з тим самим періодом обертання, що й фактичне тіло на його еліптичній орбіті.

Визначення

Визначимо T як час, необхідний певному тілу для здійснення одного оберту. За час T радіус-вектор проходить 2π радіан, або 360°. Середня швидкість обертання n, звана середнім рухом, тоді дорівнює

$$n={\frac {\,2\,\pi \,}{T}}={\frac {\,360^{\circ }\,}{T}}~.$$

n має розмірність радіан за одиницю часу або градус за одиницю часу.

Визначимо τ як час, коли тіло знаходиться в перицентрі. З наведених вище визначень можна визначити нову величину M, середню аномалію:

$$M=n\,(t-\tau )~,$$

що дає кутову відстань від перицентра у довільний момент часу t у радіанах або градусах.

Оскільки швидкість збільшення, n, є сталою середньою величиною, середня аномалія рівномірно (лінійно) збільшується від 0 до 2 π радіан або від 0° до 360° протягом кожного оберту. Вона дорівнює 0, коли тіло знаходиться в перицентрі, π радіан (180°) в апоцентрі та 2 π радіан (360°) після одного повного оберту. Якщо середня аномалія відома в будь-який момент часу, її можна обчислити в будь-який пізніший (або попередній) момент, просто додавши (або віднявши) n⋅δt, де δt являє собою невелику різницю в часі.

Середня аномалія не вимірює кут між будь-якими фізичними об'єктами (за винятком перицентру чи апоцентру, або колової орбіти). Це просто зручна міра того, наскільки далеко тіло просунулося по своїй орбіті з моменту досягнення перицентру. Середня аномалія — це один із трьох кутових параметрів (історично відомих як «аномалії»), які визначають положення вздовж орбіти, два інших — це ексцентрична аномалія та істинна аномалія.

Середня аномалія на епоху

Середню аномалію на епоху, M₀, визначають як миттєву середню аномалію на задану епоху, t. Це значення іноді надають разом з іншими орбітальними елементами, щоб дозволити обчислення минулого та майбутнього положення об'єкта вздовж орбіти. Епоха, для якої визначають M₀, часто обирають за домовленістю в певній галузі чи дисципліні. Наприклад, планетарні ефемериди часто визначають M₀ для епохи J2000, тоді як для об'єктів, що обертаються навколо Землі, описаних дворядковим набором елементів, епоху вказують як дату в першому рядку.

Формули

Середню аномалію M можна обчислити з ексцентричної аномалії E та ексцентриситету e за допомогою рівняння Кеплера:

$$M=E-e\,\sin E~.$$

Середню аномалію також часто виражають як

$$M=M_{0}+n\left(t-t_{0}\right)~,$$

де M₀ — середня аномалія на епоху t₀, яка може збігатися або не збігатися з τ, часом проходження перицентру. Класичний метод розрахунку положення об'єкта на еліптичній орбіті за набором елементів орбіти полягає в обчисленні середньої аномалії за цим рівнянням, а потім у розв'язанні рівняння Кеплера для ексцентричної аномалії.

Визначимо ϖ як довготу перицентра, кутову відстань перицентра від опорного напрямку. Визначимо ℓ як середню довготу, кутову відстань тіла від того ж опорного напрямку, припускаючи, що воно рухається з рівномірним кутовим рухом, аналогічно середній аномалії. Таким чином, середня аномалія також дорівнює

$$M=\ell -\varpi ~.$$

Середній рух можна виразити формулою

$$n={\sqrt {{\frac {\mu }{\;a^{3}\,}}\,}}~,$$

де μ — гравітаційний параметр, який змінюється залежно від мас об'єктів, а a — велика піввісь орбіти. Середню аномалію можна записати як

$$M={\sqrt {{\frac {\mu }{\;a^{3}\,}}\,}}\,\left(t-\tau \right)~,$$

і тут середня аномалія описує рівномірний кутовий рух по колу радіусом a.

Середню аномалію можна розрахувати з ексцентриситету та істинної аномалії v, знайшовши ексцентричну аномалію, а потім використовуючи рівняння Кеплера. У радіанах це дає: $$M=\operatorname {atan2} \left({\sqrt {1-e^{2}}}\sin \nu ,e+\cos \nu \right)-e{\frac {{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \nu }{1+e\cos \nu }}$$де atan2(y, x) — це кут від осі x до променя, що веде від (0, 0) до (x, y), який має той самий знак, що й y.

Для параболічних та гіперболічних траєкторій середня аномалія не визначена, оскільки вони не мають періоду. Але в цих випадках, як і у випадку з еліптичними орбітами, площа, що охоплює хорду між центром тяжіння та об'єктом, лінійно збільшується з часом. Для гіперболічного випадку існує формула, подібна до наведеної вище, яка дає пройдений час як функцію кута (справжня аномалія в еліптичному випадку). Для параболічного випадку існує інша формула, яка є граничним випадком як еліптичного, так і гіперболічного випадку, коли відстань між фокусами прямує до нескінченності.

Середню аномалію також можна виразити як ряд: $$M=\nu +2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\left[{\frac {1}{n}}+{\sqrt {1-e^{2}}}\right]\beta ^{n}\sin {n\nu }$$

де $\beta ={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}$

$$M=\nu -2\,e\sin \nu +\left({\frac {3}{4}}e^{2}+{\frac {1}{8}}e^{4}\right)\sin 2\nu -{\frac {1}{3}}e^{3}\sin 3\nu +{\frac {5}{32}}e^{4}\sin 4\nu +\operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{5}\right)$$

Подібна формула виражає істинну аномалію безпосередньо через середню аномалію:

$$\nu =M+\left(2\,e-{\frac {1}{4}}e^{3}\right)\sin M+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin 2M+{\frac {13}{12}}e^{3}\sin 3M+\operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right)$$

Загальне формулювання вищенаведеного рівняння можна записати як рівняння центру:

$$\nu =M+2\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {1}{s}}\left[J_{s}(se)+\sum _{p=1}^{\infty }\beta ^{p}{\big (}J_{s-p}(se)+J_{s+p}(se){\big )}\right]\sin(sM)$$

Див. також

• Закони Кеплера
• Істинна аномалія
• Елементи орбіти

Посилання

• Glossary entry anomaly, mean [Архівовано 2017-12-23 у Wayback Machine.] at the US Naval Observatory's Astronomical Almanac Online [Архівовано 2015-04-20 у Wayback Machine.]