Спектральное представление Челлена — Лемана

Спектральное представление Каллена — Лемана (представление Лемана) даёт общее выражение для (упорядоченной по времени) двухточечной корреляционной функции в квантовой теории поля с взаимодействием как суммы свободных пропагаторов. Оно было открыто Гуннаром Челленном в 1952 году и независимо Гарри Леманном в 1954 году. Это представление можно записать, используя метрику с отрицательной сигнатурой, как

$\Delta (p)=\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho (\mu ^{2}){\frac {1}{p^{2}-\mu ^{2}+i\epsilon }},$

где $\rho (\mu ^{2})$ — функция спектральной плотности, которая должна быть положительно определённой. В калибровочной теории это последнее условие не может быть выполнено, но, тем не менее, можно обеспечить спектральное представление. Представление относится к непертурбативным методам квантовой теории поля.

Вывод

В следующем выводе используется метрика с отрицательной сигнатурой. Чтобы получить спектральное представление для пропагатора поля $\Phi (x)$, рассматривается полный набор состояний $\{|n\rangle \}$ так что для двухточечной корреляционной функции можно написать

$\langle 0|\Phi (x)\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle =\sum _{n}\langle 0|\Phi (x)|n\rangle \langle n|\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle .$

Теперь мы можем использовать инвариантность к группе Пуанкаре вакуума, чтобы записать

$\langle 0|\Phi (x)\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle =\sum _{n}e^{-ip_{n}\cdot (x-y)}|\langle 0|\Phi (0)|n\rangle |^{2}.$

Далее введём функцию спектральной плотности

$\rho (p^{2})\theta (p_{0})(2\pi )^{-3}=\sum _{n}\delta ^{4}(p-p_{n})|\langle 0|\Phi (0)|n\rangle |^{2}$ .

Где мы использовали тот факт, что наша двухточечная функция, будучи функцией $p_{\mu }$, может зависеть только от квадрата $p^{2}$. Кроме того, все промежуточные состояния имеют $p^{2}\geq 0$ и $p_{0}>0$. Сразу становится понятно, что функция спектральной плотности действительна и положительна. Можно написать

$\langle 0|\Phi (x)\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle =\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{3}}}\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}e^{-ip\cdot (x-y)}\rho (\mu ^{2})\theta (p_{0})\delta (p^{2}-\mu ^{2})$

и, меняя местами интегрирование это выражение записывается как

$\langle 0|\Phi (x)\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle =\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho (\mu ^{2})\Delta '(x-y;\mu ^{2})$

где

$\Delta '(x-y;\mu ^{2})=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{3}}}e^{-ip\cdot (x-y)}\theta (p_{0})\delta (p^{2}-\mu ^{2})$ .

Из теоремы CPT также известно, что идентичное выражение справедливо для $\langle 0|\Phi ^{\dagger }(x)\Phi (y)|0\rangle$ и таким образом мы приходим к выражению для упорядоченного по времени произведения полей

$\langle 0|T\Phi (x)\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle =\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho (\mu ^{2})\Delta (x-y;\mu ^{2})$

где введенено обозначение

$\Delta (p;\mu ^{2})={\frac {1}{p^{2}-\mu ^{2}+i\epsilon }}$

для пропанатора свободных частиц. Теперь, когда у нас есть точный пропагатор, заданный упорядоченной по времени двухточечной функцией, мы получили спектральное разложение.

Литература

• Weinberg, S. The Quantum Theory of Fields: Volume I Foundations. — Cambridge University Press, 1995. — ISBN 978-0-521-55001-7.
• Peskin, Michael. An Introduction to Quantum Field Theory / Michael Peskin, Daniel Schroeder. — Perseus Books Group, 1995. — ISBN 978-0-201-50397-5.
• Zinn-Justin, Jean. Quantum Field Theory and Critical Phenomena. — 3rd. — Clarendon Press, 1996. — ISBN 978-0-19-851882-2.