Співскінченність

У математиці підмножину $A$ множини $X$ називають коскінченною, якщо її доповнення в $X$ — скінченна множина. Тобто підмножина $A$ містить усі елементи множини $X$ за винятком скінченної кількості. Якщо ж доповнення до $A$ , тобто $X\setminus A$ , нескінченне, але зліченне, то таку множину називають козліченною.

Такі множини виникають внаслідок узагальнення структур скінченних множин до нескінченних, як-от нескінченні добутки в топології добутку або прямій сумі.

Префікс "ко" походить від англійського complement (укр. — "доповнення") і вказує на те, що цю властивість множини визначає її доповнення, а не сама множина.

Булева алгебра

Множина всіх підмножин множини $X$ , які скінченні або коскінченні, утворює булеву алгебру, тобто множину, замкнену відносно об'єднання, перетину й доповнення.Булева алгебра є скінченно-коскінченною алгеброю на множині $X$ .

Також булева алгебра $A$ має єдиний неголовний ультрафільтр (тобто, максимальний фільтр, який не породжений єдиним елементом алгебри) тоді й лише тоді, якщо існує нескінченна множина $X$ така, що $A$ ізоморфна скінченно-коскінченній алгебрі на множині $X$ . Тоді неголовним ультрафільтром буде множина всіх коскінченних підмножин множини $X$ .

Коскінченна топологія

Коскінченну топологію можна визначити на будь-якій множині $X$ . Відкритими множинами в такій топології є всі коскінченні підмножини носія та порожня множина. Математично це записують так:

${\mathcal {T}}=\{A\subseteq X:A=\varnothing \vee \left|X\setminus A\right|<\left|\mathbb {N} \right|\}$

З означення випливає, що замкненими множинами такого простору будуть усі скінченні підмножини носія.

Ця топологія з'являється в контексті топології Зариського. Оскільки поліноми однієї змінної над полем $K$ нульові на скінченних множинах або на всьому полі $K$ , топологія Зариського на $K$ (розглядають як пряму) збігається з коскінченною топологією.

Це має місце для будь-якої незвідної алгебраїчної кривої, проте не справджується, наприклад, для $XY=0$ на площині.

Властивості

Будь-яка топологія підпростору коскінченної топології також є коскінченною топологією.

Оскільки всі відкриті множини містять весь простір, окрім скінченної кількості елементів, простір із коскінченною топологією є компактним і секвенційно компактним.

Будь-яка послідовність $a_{n}$ , у якої всі елементи різні, тобто $a_{i}\neq a_{j}$ якщо $i\neq j$ , збігається до будь-якої точки коскінченного простору.

Коскінченна топологія є найслабшою топологією, що задовольняє аксіому $T_{1}$ , тобто це найменша за включенням топологія, в якій кожна одноелементна множина є замкненою.

Якщо носій топології $X$ — скінченна множина, то коскінченна топологія збігається з дискретною.

Якщо носій топології $X$ — нескінченна множина, то простір не є гаусдорфовим, регулярним, нормальним, оскільки в ньому немає двох неперетинних відкритих множин (тобто він гіперзв'язний).

Двоточкова коскінченна топологія

Розглянемо добуток двох топологічних просторів ${\bigl (}X,\tau {\bigr )}$ і ${\bigl (}\{0,1\},\sigma {\bigr )}$ , де $\tau$ — коскінченна топологія, а $\sigma$ — антидискретна топологія. Отриманий простір ${\bigl (}{\hat {X}},{\hat {\tau }}{\bigr )}$ називають двоточковою коскінченною топологією. Тобто це простір, у якому кожен елемент множини $X$ дубльований.

"Дубльовані" елементи такого простору мають ідентичні множини околів, тому простір не є $T_{1}$ і $T_{0}$ , однак цей простір є $R_{0}$ , адже точки з різними множинами околів є роздільними^[en]. Він компактний, оскільки отриманий як добуток двох компактних просторів.

Прикладом такого топологічного простору є множина $\mathbb {Z}$ цілих чисел, де "дублями" вважаються пари $2n$ та $2n+1$ . Замкнені множини визначені як скінченні об'єднання таких пар або весь простір $\mathbb {Z}$ , відповідно відкриті множини — це доповнення до замкнених, тобто відкрита множина містить усі елементи простору за винятком скінченної кількості.

Див. також

Джерела

Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (перевидання Dover 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446 (див. приклад 18).