Теорема Штольца

У математиці, теорема Штольца—Цезаро це критерій для доведення збіжності послідовності. Теорема названа на честь математиків Отто Штольца і Ернесто Цезаро, які вперше сформулювали її та довели.

Теорему Штольца-Цезаро можна розглядати, як узагальнення сум Цезаро, а також як правило Лопіталя для послідовностей.

Формулювання теореми для випадку */∞

Нехай $\{a_{n}\}_{n\geq 1}$ і $\{b_{n}\}_{n\geq 1}$ дві послідовності дійсних чисел. Вважаючи, що $\{b_{n}\}_{n\geq 1}$ строго монотонна і розбіжна послідовність (тобто строго зростаюча і прямує до $+\infty$, або строго спадаюча і прямує до $-\infty$) і існує наступна границя:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l.$

Тоді

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.$

Формулювання теореми для випадку 0/0

Нехай $\{a_{n}\}_{n\geq 1}$ і $\{b_{n}\}_{n\geq 1}$дві послідовності дійсних чисел, причому $\{a_{n}\}\to 0$ та $\{b_{n}\}\to 0$ та $\{b_{n}\}_{n\geq 1}$ строго монотонна. Якщо

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l,\$

то

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\$

Доведення

Доведення теореми для випадку */∞

Випадок 1: Нехай $\{b_{n}\}$ строго зростаюча і розбіжна до $+\infty$, $l<\infty$. За припущенням маємо, що для всіх ${\frac {\varepsilon }{2}}>0$ існує $\nu >0$ таке, що $\forall n>\nu$

$\left|{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}-l\right|<{\frac {\varepsilon }{2}},$

тобто

$l-{\frac {\varepsilon }{2}}<{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}<l+{\frac {\varepsilon }{2}},\quad \forall n>\nu .$

Оскільки $\{b_{n}\}$ строго зростаюча, $b_{n+1}-b_{n}>0$, то виконується нерівність

$\left(l-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)(b_{n+1}-b_{n})<a_{n+1}-a_{n}<\left(l+{\frac {\varepsilon }{2}}\right)(b_{n+1}-b_{n}),\quad \forall n>\nu$.

Далі зауважимо, що

$a_{n}=[(a_{n}-a_{n-1})+\dots +(a_{\nu +2}-a_{\nu +1})]+a_{\nu +1}$

таким чином, застосовуючи вищезазначену нерівність до кожного з доданків у квадратних дужках, отримуємо

${\begin{aligned}&\left(l-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1}=\left(l-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)[(b_{n}-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +2}-b_{\nu +1})]+a_{\nu +1}<a_{n}\\&a_{n}<\left(l+{\frac {\varepsilon }{2}}\right)[(b_{n}-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +2}-b_{\nu +1})]+a_{\nu +1}=\left(l+{\frac {\varepsilon }{2}}\right)(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1}.\end{aligned}}$

Тепер, оскільки $b_{n}\to +\infty$ при $n\to \infty$, то існує $n_{0}>0$ таке, що $b_{n}\gneq 0$ для всіх $n>n_{0}$, і можемо поділити обидві нерівності на $b_{n}$ для всіх $n>\max\{\nu ,n_{0}\}$

$\left(l-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)+{\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}\left(l-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)}{b_{n}}}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<\left(l+{\frac {\varepsilon }{2}}\right)+{\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}\left(l+{\frac {\varepsilon }{2}}\right)}{b_{n}}}.$

Дві послідовності (які визначені лише для $n>n_{0}$ оскільки має існувати $N\leq n_{0}$ таке, що $b_{N}=0$)

$c_{n}^{\pm }:={\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}\left(l\pm {\frac {\varepsilon }{2}}\right)}{b_{n}}}$

нескінченно малі оскільки $b_{n}\to +\infty$ а чисельник — це стала. Отже, для всіх ${\frac {\varepsilon }{2}}$ існує $n_{\pm }>n_{0}>0$, таке, що

${\begin{aligned}&|c_{n}^{+}|<{\frac {\varepsilon }{2}},\quad \forall n>n_{+},\\&|c_{n}^{-}|<{\frac {\varepsilon }{2}},\quad \forall n>n_{-},\end{aligned}}$

Таким чином,

$l-\varepsilon <l-\varepsilon /2+c_{n}^{-}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l+{\frac {\varepsilon }{2}}+c_{n}^{+}<l+\varepsilon ,\quad \forall n>\max \lbrace \nu ,n_{\pm }\rbrace =:N>0,$

що завершує доведення. Випадок, коли послідовність $\{b_{n}\}$ строго спадна і розбіжна до $-\infty$, $l<\infty$ розглядається аналогічно.

Випадок 2: Нехай $\{b_{n}\}$ — строго зростаюча і розбіжна, $l=+\infty$. Продовжуючи, як і раніше, для всіх ${\frac {3}{2}}M>0$ для яких існує $\nu >0$ таких, що $n>\nu$

${\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}>{\frac {3}{2}}M.$

Знову ж таки, застосовуючи вищезазначену нерівність до кожного з доданків всередині квадратних дужок, отримуємо

$a_{n}>{\frac {3}{2}}M(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1},\quad \forall n>\nu ,$

і

${\frac {a_{n}}{b_{n}}}>{\frac {3}{2}}M+{\frac {a_{\nu +1}-{\frac {3}{2}}Mb_{\nu +1}}{b_{n}}},\quad \forall n>\max\{\nu ,n_{0}\}.$

Послідовність $\{c_{n}\}_{n>n_{0}}$ визначена як

$c_{n}:={\frac {a_{\nu +1}-{\frac {3}{2}}Mb_{\nu +1}}{b_{n}}}$

нескінченно мала, таким чином,

$\forall M/2>0\,\exists {\bar {n}}>n_{0}>0{\text{ таке, що}}-M/2<c_{n}<M/2,\,\forall n>{\bar {n}}.$

Комбінуючи цю нерівність з попередньою, робимо висновок, що

${\frac {a_{n}}{b_{n}}}>{\frac {3}{2}}M+c_{n}>M,\quad \forall n>\max\{\nu ,{\bar {n}}\}=:N.$

Так само доводяться випадки, коли $\{b_{n}\}$ строго зростаюча або спадаюча і прямує до $+\infty$ або $-\infty$ відповідно $l=\pm \infty$.

Доведення теореми для випадку 0/0

Випадок 1: спочатку розглядаємо випадок коли $l<\infty$ і $\{b_{n}\}$ строго зростаюча. Цього разу, для кожного $m>0$, можемо записати

$a_{n}=(a_{n}-a_{n-1})+\dots +(a_{m+\nu +1}-a_{m+\nu })+a_{m+\nu },$

і

${\begin{aligned}&\left(l-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)(b_{n}-b_{\nu +m})+a_{\nu +m}=\left(l-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)[(b_{n}-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +m+1}-b_{\nu +m})]+a_{\nu +m}<a_{n}\\&a_{n}<\left(l+{\frac {\varepsilon }{2}}\right)[(b_{n}-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +m+1}-b_{\nu +m})]+a_{\nu +m}=\left(l+{\frac {\varepsilon }{2}}\right)(b_{n}-b_{\nu +m})+a_{\nu +m}.\end{aligned}}$

Дві послідовності

$c_{m}^{\pm }:={\frac {a_{\nu +m}-b_{\nu +m}(l\pm \varepsilon /2)}{b_{n}}}$

є наскінченно малими за припущенням $a_{m},b_{m}\to 0$, тому для всіх ${\frac {\varepsilon }{2}}>0$ існують такі $n^{\pm }>0$ що

${\begin{aligned}&|c_{m}^{+}|<{\dfrac {\varepsilon }{2}},\quad \forall m>n_{+},\\&|c_{m}^{-}|<{\dfrac {\varepsilon }{2}},\quad \forall m>n_{-}.\end{aligned}}$

Отже, вибираючи $m$ відповідним чином (тобто, переходячи до границі відносно $m$) отримуємо

$l-\varepsilon <l-{\dfrac {\varepsilon }{2}}+c_{m}^{-}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l+{\dfrac {\varepsilon }{2}}+c_{m}^{+}<l+\varepsilon ,\quad \forall n>\max\{\nu ,n_{0}\},$

що і завершує доведення.

Випадок 2: вважаємо, що $l=+\infty$ і $\{b_{n}\}$ строго зростаюча. Для всіх ${\frac {3}{2}}M>0$ існує таке $\nu >0$ що для всіх $n>\nu$

${\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}>{\frac {3}{2}}M.$

Тоді для кожного $m>0$

${\frac {a_{n}}{b_{n}}}>{\frac {3}{2}}M+{\frac {a_{\nu +m}-{\frac {3}{2}}Mb_{\nu +m}}{b_{n}}},\quad \forall n>\max\{\nu ,n_{0}\}.$

Послідовність

$c_{m}:={\frac {a_{\nu +m}-{\frac {3}{2}}Mb_{\nu +m}}{b_{n}}}$

збігається до $0$ (для фіксованого $n$), тому

$\forall M/2>0\,\exists {\bar {n}}>0{\mbox{ такий, що }}-M/2<c_{m}<M/2,\,\forall m>{\bar {n}},$

і, вибираючи зручне для нас $m$ завершуємо доведення

${\frac {a_{n}}{b_{n}}}>{\frac {3}{2}}M+c_{m}>M,\quad \forall n>\max\{\nu ,n_{0}\}.$

Приклади та застосування

Ця теорема для випадку $\cdot /\infty$ має декілька наслідків, які корисно використовувати для обчислення границь.

Середнє арифметичне

Нехай $\{x_{n}\}$ — послідовність дійсних чисел, яка збігається до $l$. Розглянемо послідовності

$a_{n}:=\sum _{m=1}^{n}x_{m}=x_{1}+\dots +x_{n},\quad b_{n}:=n$,

тоді $\{b_{n}\}$ строго зростає і прямує до $+\infty$. Тепер обчислюємо

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n+1}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=l$,

тоді

$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.$

Якщо для послідовністі $(x_{n})_{n\geq 1}$ дійсних чисел існує границя

$\lim _{n\to \infty }x_{n}$

то

$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.$

Середнє геометричне

Нехай $\{x_{n}\}$ — послідовність додатних дійсних чисел, яка прямує до $l$ і визначена як

$a_{n}:=\log(x_{1}\cdots x_{n}),\quad b_{n}:=n.$

Знову обчислимо

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\log {\Big (}{\frac {x_{1}\cdots x_{n+1}}{x_{1}\cdots x_{n}}}{\Big )}=\lim _{n\to \infty }\log(x_{n+1})=\lim _{n\to \infty }\log(x_{n})=\log(l),$

де використано неперервність логарифмічної функції. Таким чином,

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\log(x_{1}\cdots x_{n})}{n}}=\lim _{n\to \infty }\log {\Big (}(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n}}{\Big )}=\log(l),$

оскільки логарифм неперервний і ін'єктивний, то можна зробити висновок, що

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}$.

Якщо задано послідовність $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ (строго) додатних чисел і існує границя

$\lim _{n\to \infty }x_{n}$,

тоді

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.$

Нехай задано послідовність $\{y_{n}\}_{n\geq 1}$ і потрібно обчислити

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}}.$

Поклавши $y_{0}=1$ and $x_{n}=y_{n}/y_{n-1},$ отримаємо

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {y_{1}\dots y_{n}}{y_{0}\cdot y_{1}\dots y_{n-1}}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}},$

та застосувавши вищезазначену властивість, маємо

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n}}{y_{n-1}}}.$

Ця форма, як правило, є найбільш корисною для обчислення границь:

Якщо дана послідовність $\{y_{n}\}_{n\geq 1}$ (строго) додатних чисел і існує границя

$\lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n+1}}{y_{n}}}$

тоді

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n+1}}{y_{n}}}.$

Приклади

Приклад 1

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+1}{n}}=1.$

Приклад 2

${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt[{n}]{n!}}{n}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)!(n^{n})}{n!(n+1)^{n+1}}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{n}}{(n+1)^{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{(1+{\frac {1}{n}})^{n}}}={\frac {1}{\rm {e}}}.\end{aligned}}$

Використали те, що ${\rm {e}}$ можна представити у вигляді границі послідовності.

Приклад 3

${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {\log(n!)}{n\log(n)}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {\log((n+1)!)-\log(n!)}{(n+1)\log(n+1)-n\log(n)}}=\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {\log {\frac {(n+1)!}{n!}}}{\log {\frac {(n+1)^{n+1}}{n^{n}}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\log(n+1)}{\log \left((n+1)(1+{\frac {1}{n}})^{n}\right)}}=\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {\log(n+1)}{\log((n+1)e)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\log(n+1)}{\log(n+1)+1}}=1.\end{aligned}}$

Використали те, що ${\rm {e}}$ можна представити у вигляді границі послідовності.

Приклад 4

Розглянемо послідовність

$a_{n}=(-1)^{n}{\frac {n!}{n^{n}}}$.

Перепишемо її у вигляді

$a_{n}=b_{n}\cdot c_{n},\quad b_{n}:=(-1)^{n},\quad c_{n}:=\left({\frac {\sqrt[{n}]{n!}}{n}}\right)^{n},$

послідовність $(b_{n})$ обмежена (і знакопереміжна), у той час як

$\lim _{n\to \infty }\left({\frac {\sqrt[{n}]{n!}}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\to \infty }(1/{\rm {e)^{n}=0.}}$

Це випливає з добре відомої границі, тому що ${\dfrac {1}{\rm {e}}}<1$; тоді

$\lim _{n\to \infty }(-1)^{n}{\frac {n!}{n^{n}}}=0.$

Історія

Випадок ${\dfrac {\infty }{\infty }}$ був сформульований і доведений на сторінках 173—175 книжки Штольца 1885 року, а також на 54 сторінці статті Цезаро 1888 року.

Вона з'явилась як задача 70 в Pólya and Szegő (1925).

Загальна форма

Твердження

Загальне формулювання теореми Штольца—Цезаро наступне: якщо $\{a_{n}\}_{n\geq 1}$ і $\{b_{n}\}_{n\geq 1}$дві послідовності, причому $\{b_{n}\}_{n\geq 1}$ монотонна і необмежена, тоді

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}.$

Доведення

Замість того щоб доводити попереднє твердження, доведемо трохи інше; спочатку введемо позначення: нехай $\{a_{n}\}_{n\geq 1}$ будь-яка послідовність, тоді її часткова сума матиме вигляд $A_{n}:=\sum _{m\geq 1}^{n}a_{m}$. Еквівалентним твердженням, яке доведемо, є:

Нехай $\{a_{n}\}_{n\geq 1},\{b_{n}\}_{\geq 1}$ будь-які послідовності дійсних чисел такі, що

• $b_{n}>0,\quad \forall n\in {\mathbb {Z} }_{>0}$,
• $\lim _{n\to \infty }B_{n}=+\infty$,

тоді

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}.$

Доведення еквівалентного твердження

Спочатку відмітимо, що:

• $\liminf _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}$ за означенням верхньої та нижньої границь;
• $\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}$ виконується тоді і тільки тоді, коли $\limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ because $\liminf _{n\to \infty }x_{n}=-\limsup _{n\to \infty }(-x_{n})$ тому що $(x_{n})_{n\geq 1}$.

Тоді достатньо показати, що $\limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$. Якщо $L:=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=+\infty$то можемо припустити $L<+\infty$ (він може бути як скінченним, так і$-\infty$).За означенням $\limsup$,для всіх $l>L$ існує таке натуральне число $\nu >0,$ що

${\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l,\quad \forall n>\nu .$

Використаємо цю нерівність щоб записати

$A_{n}=A_{\nu }+a_{\nu +1}+\dots +a_{n}<A_{\nu }+l(B_{n}-B_{\nu }),\quad \forall n>\nu ,$

Так як $b_{n}>0$, то також маємо $B_{n}>0$ і можемо поділити на $B_{n}$ щоб отримати

${\frac {A_{n}}{B_{n}}}<{\frac {A_{\nu }-lB_{\nu }}{B_{n}}}+l,\quad \forall n>\nu .$

Так як $B_{n}\to +\infty$ при $n\to +\infty$, о послідовність

${\frac {A_{\nu }-lB_{\nu }}{B_{n}}}\to 0{\text{ при }}n\to +\infty {\text{ ( }}\nu {\text{ фіксоване)}},$

і отримаємо

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq l,\quad \forall l>L,$

За означенням точної верхньої границі, це означає, що

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq L=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}},$

що й треба було довести.

Доведення початкового твердження

Тепер візьмемо такі $\{a_{n}\},\{b_{n}\}$ як у загальному формулюванні теореми Штольца-Цезаро і визначимо

$\alpha _{1}=a_{1},\alpha _{k}=a_{k}-a_{k-1},\,\forall k>1\quad \beta _{1}=b_{1},\beta _{k}=b_{k}-b_{k-1}\,\forall k>1.$

Так як $(b_{n})$ строго монотонна (можна припустити, що вона строго зростаюча), $\beta _{n}>0$для всіх $n,$ оскільки $b_{n}\to +\infty$ то$\mathrm {B} _{n}=b_{1}+(b_{2}-b_{1})+\dots +(b_{n}-b_{n-1})=b_{n}\to +\infty .$Таким чином, можемо застосувати щойно доведену теорему для $\{\alpha _{n}\},~\{\beta _{n}\}$ (і для їх часткових сум $\{\mathrm {A} _{n}\},~\{\mathrm {B} _{n}\}$)

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\mathrm {A} _{n}}{\mathrm {B} _{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}},$

отримали те, що і треба було довести.

Див. також

• Збіжний ряд
• Границя послідовності
• Диференціальне числення

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 1300+ с.(укр.)

• Mureşan, Marian (2008), A Concrete Approach to Classical Analysis, Berlin: Springer, с. 85—88, ISBN 978-0-387-78932-3, архів оригіналу за 5 липня 2020, процитовано 6 травня 2021.
• Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten, Leipzig: Teubners, 1885, с. 173—175.
• Sur la convergence des séries, Series 3, т. 7, с. 49—59.
• Pólya, George; Szegő, Gábor (1925), Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, т. I, Berlin: Springer.
• A. D. R. Choudary, Constantin Niculescu: Real Analysis on Intervals. Springer, 2014, ISBN 9788132221487, pp. 59-62 [Архівовано 6 травня 2021 у Wayback Machine.]
• J. Marshall Ash, Allan Berele, Stefan Catoiu: Plausible and Genuine Extensions of L’Hospital's Rule. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 1 (February 2012), pp. 52–60 (JSTOR [Архівовано 6 травня 2021 у Wayback Machine.])

Зовнішні лінки

• l'Hôpital's rule and Stolz-Cesàro theorem at imomath.com [Архівовано 6 травня 2021 у Wayback Machine.]