Теоремы Гельмгольца

В гидромеханике теоремы Гельмгольца, названные в честь Германа фон Гельмгольца, описывают трёхмерное движение жидкости вблизи вихревых линий (векторных линий завихренности). Эти теоремы применимы к невязким течениям и течениям, где влияние вязких сил мало и им можно пренебречь.

Интенсивность вихревой трубки (циркуляция) определяется так: $$\Gamma =\int _{A}{\vec {\omega }}\cdot {\vec {n}}dA=\oint _{c}{\vec {u}}\cdot d{\vec {s}}$$ где $\Gamma$ — циркуляция, ${\vec {\omega }}$ — вектор завихренности, ${\vec {n}}$ — вектор нормали к поверхности A, являющейся сечением вихревой трубки с элементом поверхности dA, ${\vec {u}}$ — вектор скорости жидкости на замкнутом контуре C, который является границей области A. Соглашение о знаке циркуляции и вектора нормали к A использует правило правой руки. Третья теорема утверждает, что эта интенсивность одна и та же для всех сечений трубки и не зависит от времени. Это можно записать по-другому как $${\frac {D\Gamma }{Dt}}=0$$

Три теоремы Гельмгольца таковы:

Первая теорема Гельмгольца

Интенсивность вихревой линии постоянна по её длине.

Вторая теорема Гельмгольца

Вихревая линия не может заканчиваться в жидкости; она должна доходить до границ жидкости или образовывать замкнутую кривую.

Третья теорема Гельмгольца

Элемент жидкости, который изначально является безвихревым, остается безвихревым.

Теоремы Гельмгольца применимы к невязким течениям. При наблюдении за вихрями в реальных жидкостях завихренность всегда постепенно убывает из-за диссипативного эффекта вязких сил.

Альтернативные формулировки трёх теорем следующие:

1. Интенсивность вихревой трубки не меняется со временем.
2. Элементы жидкости, лежащие на вихревой линии в какой-то момент времени, продолжают лежать на этой вихревой линии. Проще говоря, вихревые линии движутся вместе с жидкостью. Кроме того, вихревые линии и трубки должны иметь вид замкнутой кривой, простираться до бесконечности или начинаться/заканчиваться на твёрдых границах.
3. Элементы жидкости, изначально свободные от завихренности, остаются таковыми.

Теоремы Гельмгольца помогают понять:

• Создание подъемной силы на аэродинамическом профиле
• Начальный вихрь
• Подковообразный вихрь
• Вихри на концах крыльев.

Теоремы Гельмгольца в настоящее время обычно доказываются с помощью теоремы Кельвина о циркуляции. Однако теоремы Гельмгольца были опубликованы в 1858 году, за девять лет до публикации теоремы Кельвина в 1867 году.

Ссылки

• М. Дж. Лайтхилл, Неформальное введение в теоретическую механику жидкости, Oxford University Press, 1986,ISBN 0-19-853630-5
• PG Saffman, Vortex Dynamics, Cambridge University Press, 1995,ISBN 0-521-42058-X
• Г. К. Бэтчелор, Введение в гидродинамику, Cambridge University Press (1967, переиздано в 2000).
• Кунду, П. и Коэн, И., Механика жидкости, 2-е издание, Academic Press, 2002.
• Джордж Б. Арфкен и Ханс Дж. Вебер, Математические методы для физиков, 4-е издание, Academic Press: Сан-Диего (1995), стр. 92-93
• AM Kuethe и JD Schetzer (1959), Основы аэродинамики, 2-е издание. John Wiley & Sons, Inc. Нью-ЙоркISBN 0-471-50952-3