Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Немає
перевірених версій цієї сторінки; ймовірно, її ще
не перевіряли на відповідність правилам проєкту.
В абстрактній алгебрі фактор-кільце — кільце класів еквівалентності , що будується з деякого кільця
R
{\displaystyle R}
ідеалу
I
{\displaystyle I}
R
/
I
{\displaystyle R/I}
Нехай
R
{\displaystyle R}
I
{\displaystyle I}
a
,
b
,
c
∈
R
{\displaystyle a,b,c\in R}
R
{\displaystyle R}
відношення еквівалентності
∼
{\displaystyle \sim }
a
∼
b
{\displaystyle a\sim b}
тоді і тільки тоді , коли
b
−
a
∈
I
{\displaystyle b-a\in I}
Оскільки за означенням ідеал є підгрупою адитивної групи кільця:
Тоді
a
−
a
=
0
∈
I
{\displaystyle a-a=0\in I}
a
∼
a
{\displaystyle a\sim a}
Якщо
b
−
a
∈
I
{\displaystyle b-a\in I}
a
−
b
=
−
(
b
−
a
)
∈
I
{\displaystyle a-b=-(b-a)\in I}
a
∼
b
{\displaystyle a\sim b}
b
∼
a
{\displaystyle b\sim a}
Якщо
b
−
a
∈
I
{\displaystyle b-a\in I}
c
−
b
∈
I
{\displaystyle c-b\in I}
c
−
a
=
(
c
−
b
)
+
(
b
−
a
)
∈
I
{\displaystyle c-a=(c-b)+(b-a)\in I}
a
∼
b
{\displaystyle a\sim b}
b
∼
c
{\displaystyle b\sim c}
a
∼
c
{\displaystyle a\sim c}
Отже відношення
a
∼
b
{\displaystyle a\sim b}
рефлексивним , симетричним і транзитивним , отже є відношенням еквівалентності.
Нехай
[
a
]
=
a
+
I
=
{
a
+
r
:
r
∈
I
}
{\displaystyle [a]=a+I=\{a+r:r\in I\}}
позначає клас еквівалентності елемента
a
{\displaystyle a}
Множина класів еквівалентності введеного відношення позначається
R
/
I
{\displaystyle R/I}
На даній множині можна ввести операції додавання і множення :
[
a
]
+
[
b
]
=
(
a
+
I
)
+
(
b
+
I
)
=
(
a
+
b
)
+
I
=
[
a
+
b
]
{\displaystyle [a]+[b]=(a+I)+(b+I)=(a+b)+I=[a+b]}
[
a
]
⋅
[
b
]
=
(
a
+
I
)
⋅
(
b
+
I
)
=
a
⋅
b
+
I
=
[
a
⋅
b
]
{\displaystyle [a]\cdot [b]=(a+I)\cdot (b+I)=a\cdot b+I=[a\cdot b]}
Дані визначення є несуперечливими, тобто не залежать від вибору представників класу. Дійсно нехай
a
+
I
=
a
1
+
I
{\displaystyle a+I=a_{1}+I}
b
+
I
=
b
1
+
I
{\displaystyle b+I=b_{1}+I}
a
−
a
1
=
i
∈
I
{\displaystyle a-a_{1}=i\in I}
b
−
b
1
=
j
∈
I
{\displaystyle b-b_{1}=j\in I}
a
+
b
=
a
1
+
b
1
+
i
+
j
{\displaystyle a+b=a_{1}+b_{1}+i+j}
a
b
=
(
a
1
+
i
)
(
b
1
+
j
)
=
a
1
b
1
+
i
b
1
+
a
1
j
+
i
j
{\displaystyle ab=(a_{1}+i)(b_{1}+j)=a_{1}b_{1}+ib_{1}+a_{1}j+ij}
i
+
j
,
i
b
1
,
a
1
j
,
i
j
∈
I
{\displaystyle i+j,ib_{1},a_{1}j,ij\in I}
a
+
b
+
I
=
a
1
+
b
1
+
i
+
j
+
I
{\displaystyle a+b+I=a_{1}+b_{1}+i+j+I}
a
b
+
I
=
a
1
b
1
+
I
{\displaystyle ab+I=a_{1}b_{1}+I}
Множина визначених класів еквівалентності з визначеними операціями множення і додавання називається фактор-кільцем кільця
R
{\displaystyle R}
I
{\displaystyle I}
Найпростіші приклади фактор-кілець одержуються за допомогою ідеалів
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}
R
{\displaystyle R}
R
/
{
0
}
{\displaystyle R/\{0\}}
ізоморфним до
R
{\displaystyle R}
R
/
R
{\displaystyle R/R}
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}
Нехай
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
цілих чисел , а
2
Z
{\displaystyle 2\mathbb {Z} }
парних чисел . Тоді фактор-кільце
Z
/
2
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }
непарних чисел. Дане фактор-кільце є ізоморфним полю з двома елементами,
F
2
{\displaystyle \mathbb {F} _{2}}
Z
/
n
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }
кільцю лишків за модулем
n
{\displaystyle n}
Нехай
R
[
x
]
{\displaystyle \mathbb {R} [x]}
многочленів від змінної
X
{\displaystyle X}
I
=
(
X
2
+
1
)
{\displaystyle I=(X^{2}+1)}
X
2
+
1
{\displaystyle X^{2}+1}
R
[
x
]
/
(
X
2
+
1
)
{\displaystyle \mathbb {R} [x]/(X^{2}+1)}
комплексних чисел
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
[
X
]
{\displaystyle [X]}
уявній одиниці
i
{\displaystyle i}
Узагальнюючи попередній приклад, фактор-кільце можна використати для побудови розширення поля . Нехай
K
{\displaystyle K}
f
{\displaystyle f}
незвідний многочлен в
K
[
X
]
{\displaystyle K[X]}
L
=
K
[
X
]
/
(
f
)
{\displaystyle L=K[X]/(f)}
K
{\displaystyle K}
Якщо
R
{\displaystyle R}
комутативне кільце то кільце
R
/
I
{\displaystyle R/I}
Теорема про гомоморфізм кілець :Якщо
f
{\displaystyle f}
епіморфізм (сюр'єктивний гомоморфізм ) кільця
K
{\displaystyle \mathrm {K} }
R
{\displaystyle \mathrm {R} }
ядро
ker
f
{\displaystyle \ker \,f}
K
{\displaystyle \mathrm {K} }
R
{\displaystyle \mathrm {R} }
ізоморфне фактор-кільцю
K
/
ker
f
{\displaystyle \mathrm {K} /\ker \,f}
Навпаки: якщо
J
{\displaystyle \mathrm {J} }
K
{\displaystyle \mathrm {K} }
відображення
f
:
K
→
K
/
J
{\displaystyle f:\mathrm {K} \to \mathrm {K/J} }
f
(
a
)
=
a
+
J
,
∀
a
∈
K
{\displaystyle f(a)=a+\mathrm {J} ,\forall a\in \mathrm {K} }
J
{\displaystyle \mathrm {J} }
K
/
J
{\displaystyle \mathrm {K/J} }
J
{\displaystyle \mathrm {J} }
Ідеал
J
{\displaystyle \mathrm {J} }
K
{\displaystyle \mathrm {K} }
простим (максимальним ) в тому і лише у тому випадку, коли фактор-кільце
K
/
J
{\displaystyle \mathrm {K/J} }
областю цілісності (полем ).
Між ідеалами кілець
R
{\displaystyle \mathrm {R} }
R
/
I
{\displaystyle \ R/I}
R
/
I
{\displaystyle \ R/I}
R
{\displaystyle \mathrm {R} }
I
{\displaystyle \ I}
підмножину . Якщо
I
⊂
J
{\displaystyle \ I\subset J}
R
{\displaystyle \mathrm {R} }
J
/
I
{\displaystyle \ J/I}
R
/
I
{\displaystyle \ R/I}
R
/
J
{\displaystyle \ R/J}
(
R
/
I
)
/
(
J
/
I
)
{\displaystyle \ (R/I)/(J/I)}
ізоморфними через природний гомоморфізм
h
:
R
/
J
→
(
R
/
I
)
/
(
J
/
I
)
{\displaystyle h:\ R/J\to (R/I)/(J/I)}
h
(
a
+
J
)
=
(
a
+
I
)
+
J
/
I
.
{\displaystyle h(a+J)=(a+I)+J/I.}
![{\displaystyle [a]=a+I=\{a+r:r\in I\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c46ef0e4763ff07a58f8e52ac7db61a7715423da)
![{\displaystyle [a]+[b]=(a+I)+(b+I)=(a+b)+I=[a+b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a724700a5ae4e7cce718b7f9a2dc5b6a84991e89)
![{\displaystyle [a]\cdot [b]=(a+I)\cdot (b+I)=a\cdot b+I=[a\cdot b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6203a28a16d60a4fa649e770b6d5a3b6196a7dd9)
![{\displaystyle \mathbb {R} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/453d1013f9dd290be70d5fe534e0d3311b0a7c6a)
![{\displaystyle \mathbb {R} [x]/(X^{2}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77638e0b1f3e19f1d240dda1e4be3152979b1d4a)
![{\displaystyle [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fadb3aef0836cb1d004479f470703a45972bf8fe)
![{\displaystyle K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bb4d802ca5718a14dc961af8692f35cdfad169b)
![{\displaystyle L=K[X]/(f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dda90d4f74c3a80a504c40e867bdf9fbe43170b0)
