Фильтрация (случайные процессы)

Фильтра́ция в теории случайных процессов — неубывающее семейство σ-алгебр.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ и подмножество числовой прямой $T\subset \mathbb {R}$. Семейство σ-алгебр $\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}$ такое, что

${\mathcal {F}}_{s}\subset {\mathcal {F}}_{t}\subset {\mathcal {F}},\quad \forall s\leq t,\;s,t\in T,$

называется фильтра́цией вероя́тностного простра́нства $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$.

Естественная фильтрация случайного процесса

Пусть дан случайный процесс $\{X_{t}\}_{t\in T}$, определённый на некотором вероятностном пространстве. Определим

${\mathcal {F}}_{t}^{X}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t,\;s\in T\},\quad t\in T.$.

Тогда семейство $\left\{{\mathcal {F}}_{t}^{X}\right\}_{t\in T}$ является фильтрацией и называется есте́ственной фильтрацией случайного процесса $\{X_{t}\}$.

См. также

• Марковский процесс
• Мартингал

Литература

• Скороход А. В. Вероятность. Прикладные аспекты, Теория вероятностей — 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 43, ВИНИТИ, М., 1989, стр. 189—270
• Ширяев А. Н. Вероятность, — М.: Наука, 1989.