Фібономіальний коефіцієнт

У математиці фібономіальні коефіцієнти або біноміальні коефіцієнти Фібоначчі визначаються як

${\binom {n}{k}}_{F}={\frac {F_{n}F_{n-1}\cdots F_{n-k+1}}{F_{k}F_{k-1}\cdots F_{1}}}={\frac {n!_{F}}{k!_{F}(n-k)!_{F}}}$,

де $n$ і $k$ — це невід'ємні цілі числа, $0\leq k\leq n$, $F_{j}$ — $j$-е число Фібоначчі, а $n!_{F}$ — факторіал Фібоначчі числа $n$, тобто

${n!}_{F}:=\prod _{i=1}^{n}F_{i},$

де $0!_{F}$ — порожній добуток, що дорівнює 1.

Частинні значення

Фібономіальні коефіцієнти — це натуральні числа. Деякі частинні значення:

${\binom {n}{0}}_{F}={\binom {n}{n}}_{F}=1$,

${\binom {n}{1}}_{F}={\binom {n}{n-1}}_{F}=F_{n}$,

${\binom {n}{2}}_{F}={\binom {n}{n-2}}_{F}={\frac {F_{n}F_{n-1}}{F_{2}F_{1}}}=F_{n}F_{n-1},$

${\binom {n}{3}}_{F}={\binom {n}{n-3}}_{F}={\frac {F_{n}F_{n-1}F_{n-2}}{F_{3}F_{2}F_{1}}}=F_{n}F_{n-1}F_{n-2}/2,$

${\binom {n}{k}}_{F}={\binom {n}{n-k}}_{F}.$

Фібономіальний трикутник

Фібономіальні коефіцієнти (послідовність A010048 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS) подібні до біномінальних коефіцієнтів і їх можна представити у вигляді трикутника, що подібний трикутнику Паскаля.

Ось перші рядки:

$n=0$									1
$n=1$								1		1
$n=2$							1		1		1
$n=3$						1		2		2		1
$n=4$					1		3		6		3		1
$n=5$				1		5		15		15		5		1
$n=6$			1		8		40		60		40		8		1
$n=7$		1		13		104		260		260		104		13		1

З рекурентного співвідношення

${\binom {n}{k}}_{F}=F_{n-k+1}{\binom {n-1}{k-1}}_{F}+F_{k-1}{\binom {n-1}{k}}_{F}$

випливає, що фібономіальні коефіцієнти завжди натуральні числа.

Фібономіальні коефіцієнти можна представити у термінах біноміальних коефіцієнтів Гауса та числа золотого перетину $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$:

${\binom {n}{k}}_{F}=\varphi ^{k\,(n-k)}{\binom {n}{k}}_{-1/\varphi ^{2}}$.

Застосування

Дов Джарден довів, що фібономіальні коефіцієнти з'являються як коефіцієнти рівняння, що містять степені послідовних чисел Фібоначчі, а саме Джерден довів, що будь-яка узагальнена послідовність Фібоначчі $G_{n}$, тобто послідовність, яка визначається рекурентним співвідношенням $G_{n}=G_{n-1}+G_{n-2}$ для кожного $n$, задовольняє рівняння

$\sum _{j=0}^{k+1}(-1)^{j(j+1)/2}{\binom {k+1}{j}}_{F}G_{n-j}^{k}=0,$

для кожного цілого числа $n$, і для кожного невід'ємного цілого числа $k$.

Список літератури

• Benjamin, Arthur T.; Plott, Sean S., A combinatorial approach to Fibonomial coefficients (PDF), Dept. of Mathematics, Harvey Mudd College, Claremont, CA 91711, архів оригіналу (PDF) за 15 лютого 2013, процитовано 4 квітня 2009
• Ewa Krot, An introduction to finite fibonomial calculus, Institute of Computer Science, Bia lystok University, Poland.
• Weisstein, Eric W. Fibonomial Coefficient(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Dov Jarden, Recurring Sequences (second edition 1966), pages 30–33.