可逆元

单位又被称为可逆元。在數學裡，於一(有单位的)環 $R\,$內的可逆元是指一 $R\,$的可逆元素，即一元素 $u\,$使得存在一於 $R\,$內的 $v\,$有下列性質： $uv=vu=1_{R}\,$，其中 $1_{R}\,$是乘法單位元。

亦即， $u\,$是 $R\,$內乘法幺半群的一可逆元素。

可逆元群

主条目：单位群

$R\,$的可逆元組成了一於乘法下的群 $U(R)\,$ ，稱做 $R\,$的可逆元群（或单位群）。可逆元群 $U(R)\,$ 有時亦被標記成 $R^{*}$ 或$R^{\times }$。

在一可交換單作環 $R\,$ 內，可逆元群 $U(R)\,$ 以乘法作用於 $R\,$上頭。此一作用的軌道(orbit)被稱為結合集合；換句話說，存在一於R上的等價關係 ~ ，且當$r\sim s$時，表示存在一可逆元 $u$ 使得 $r=us$。

$U$ 是一由環範疇至群範疇的函子：每一個環同態 $f:R\rightarrow S$ 都可導出一群同態 $U(f):U(R)\rightarrow U(S)$，當 $f$ 會將可逆元映射至可逆元時。此一函數子有為整數群環結構的左伴隨。

一個環 $R\,$ 是一個除環若且唯若$R^{*}=R\backslash \{0\}$。

例子

• 在整數環$\mathbb {Z}$裡，可逆元為±1。其每一軌道內都有兩個元素n和−n。

• 任一單位根均是某一單作環$R$內的可逆元。（若$r$是一單位根，且$r^{n}=1$，則$r^{-1}=r^{n-1}$亦為$R$的元素）。
• 在代數數論裡，狄利克雷单位定理證明了許多代數整數環內可逆元的存在域。例如，在環$\mathbb {Z} ({\sqrt {5}})$，$({\sqrt {5}}+2)({\sqrt {5}}-2)=1$，因此$({\sqrt {5}}+2),({\sqrt {5}}-2),1$都是可逆元。
• 在環$M(n,F)$，於一體$F$上的$n\times n$矩陣內，其可逆元恰好就是可逆矩陣。