實分析

實分析（粵音：sat6 fan1 sik1，參見英文：real analysis），又名實數分析，舊陣時又叫實變函數論，係數學分支，屬於數學分析，集中於研究實數同實函數。

基本概念

睇埋：集合論、數論、函數、實數同冪集

睇埋：最小上界同最大下界

實分析嘅理論基礎係集合論：集合論係一個好重要嘅數學理論，俾數學家形式化噉界定好多基本嘅數學概念，諸如數、序列同函數等實分析上必要嘅概念，都可以透過集合論嚟定義，例如定義咩係整數或者咩係有理數嗰陣，數學家可以將呢啲概念界定為合乎某啲條件嘅數嘅集合；因此，雖然唔使深入掌握集合論都可以攞實分析去用，但要全面理解實分析嘅基礎概念嘅理論背景，就一定要識集合論嗰啲形式工具先得。

集合論概念可以用嚟（例如）定義咩係函數。响呢種觀點下，函數可以理解成唔同集合之間嘅「對應方案」，假想有個函數 f，呢個函數可以想像係噉：有兩個集合 X 同 Y，f 做嘅就係同 X 入便每個元素 x (x ∈ X) 指派一個喺 Y 入便嘅對應 (f(x) ∈ Y) 而呢個對應係獨一無二嘅，即係話每個 x 都只有一個對應嘅 f(x)。譬如係恆等函數噉，恆等函數係最簡單嘅函數之一，假設有個集合 A，恆等函數就係由 A 映射返去 A 自己嘅函數，每個元素都對應返自己。可以寫成：

$\mathrm {id} _{A}=X\to X$

定義某個函數嗰陣，做數嘅人可以明文將啲元素對應列晒出嚟，或者俾若干句定義講明對應嘅規則。

實分析處理嘅係實數。喺日常生活中，人時常會用到唔同類型嘅數：數人頭會用 1 2 3 等嘅自然數，計帳會有負數同小數，計長度有時會出現 π 等嘅數。實數係一個龐大系統，數學上以符號 $\mathbb {R}$ 表示：

• 自然數（$\mathbb {N}$）：可以想像成係數sou2物件用嘅數sou3，包括 1 2 3 4... 等。喺集合論，自然數可以由集合建構。
• 整數（$\mathbb {Z}$）：簡單講，整數就係自然數嘅擴展版，加埋負數同零，諸如 ... -2 -1 0 1 2... 呀噉。
• 有理數（$\mathbb {Q}$）：將整數再擴展，有理數指可以寫成分數，好似係 1/2, 3/4, 1/5... 呀噉。
• 實數（$\mathbb {R}$）：數學家發現有啲數係冇得寫做分數嘅（無理數），譬如係開方二同 π 等等。噉即係話有理數之間有一啲「填唔到」嘅空隙（想像下圖噉嘅數線）於是就有咗實數呢個概念，將有理數擴充，包埋呢啲冇得寫做分數嘅數，達致一個「冇缺口」嘅連續數系－實數完備性呢個諗頭重點就係講緊實數條數線冇任何缺漏或者罅隙。實數呢個集合係不可數嘅。

實分析做嘅，就係要研究實數同實函數嘅性質。

序列

費氏數列嘅定義如下：頭兩個數係 0 同 1，之後嘅數就係前兩個數加埋嘅和，數式上講就係：
$\quad F_{0}=0,F_{1}=1$，而且
$\quad F_{n+2}=F_{n}+F_{n+1}$
費氏數列頭嗰幾個數係：(0), 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...，可以畫成上圖嘅費氏旋渦。

内文：序列

如果話某個序列 $x_{n}$ 係實數序列，意思即係話 $x_{n}$ 係一串有次序嘅數，當中每個 $x_{n}$ 都屬於實數集合 ℝ，呢啲數用自然數 n ∈ ℕ 嚟標示佢哋喺序列邊個位。喺實用上，研究者好多時會列出頭幾個數嚟代表個序列，尤其係如果呢啲數有某啲顯然而見嘅規律。不過淨係列出序列中嘅幾個數，本身並唔足以完滿噉定義手上個序列。

序列可以有極限（英文：limit）。假想依家有個實數序列叫 $x_{n}$，如果話佢會收斂到某個實數極限 $x$，記作

$x=\lim _{n\to \infty }x_{n},\quad$ 或者 $\quad x_{n}\to x{\text{ as }}n\to \infty ,$

意思即係話是但搵個實數 ϵ 而 ϵ > 0，都會有個 N ∈ ℕ 能夠達致

對所有 $n>N$，$|x_{n}-x|<\epsilon$

有啲函數唔淨只得一個極限，例如下圖藍線所代表嘅函數，就有上同下兩個極限（limsup x_n 同 liminf x_n）：

級數

内文：級數

極限

内文：極限 (數學)

連續函數

内文：連續函數

可微函數

内文：可微函數

積分

内文：積分

睇埋

• 複分析

文獻

入門書：

• （英文） An Introduction to Real Analysis（譯：實分析入門介紹），呢本書用咗所謂嘅樸素集合論嚟講解，即係用淺白嘅言語嚟解釋實分析用到嘅集合論概念。