微分形式

微分形式（英語：Differential form）是多变量微积分，微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念。现代意义上的微分形式，及其以楔积和外微分结构形成外代数的想法，都是由法国数学家埃里·嘉当引入的。

例如，一元微积分中的表达式 $f(x)\ dx$ 是1-形式的一个例子，并且可以在 $f$ 定义域内的一个区间 $[a,b]$ 上进行积分：

\int _{a}^{b}f(x)\,dx.

类似地，表达式 $f(x,y,z)\ dx\land dy+g(x,y,z)\ dz\land dx+h(x,y,z)\ dy\land dz$ 是2-形式的一种，它在可定向曲面 $S$ 上有曲面积分:

\int _{S}f(x,y,z)\,dx\wedge dy+g(x,y,z)\,dz\wedge dx+h(x,y,z)\,dy\wedge dz.

符号 $\land$ 表示两个微分形式的外积，有时候也称为楔积。类似地，3-形式 $f(x,y,z)\ dx\land dy\land dz$ 表示可以在空间的一个区域进行积分的体积元。一般地， $k$ -形式是一个可以在 $k$ -维集合上进行积分的对象，并且其坐标微分是 $k$ 次齐次的。

简介

我们从Rⁿ中的开集的情形开始。一个0-形式（0-form）定义为一个光滑函数 $f$ 。当我们在 $\mathbb {R} ^{n}$ 的 $m$ -维子空间 $S$ 上对函数 $f$ 积分时，我们将积分写作：

\int _{S}f\,dx_{1}\ldots dx_{m}.

把 $dx_{1},\cdots ,dx_{n}$ 当作形式化的对象，而非让积分看起来像个黎曼和的标记。我们把这些和他们的负 $-dx_{1},\cdots ,-dx_{n}$ 叫做基本1-形式。

我们再在其上定义一种乘法规则楔积，这种乘法只需满足反交换的条件：对所有 $i$ , $j$

dx_{i}\wedge dx_{j}=-dx_{j}\wedge dx_{i}

注意这意味着

dx_{i}\wedge dx_{i}=0

.

我们把这些乘积的集合叫做基本2-形式，类似的我们定义乘积

dx_{i}\wedge dx_{j}\wedge dx_{k}

的集合为基本'3-形式，这里假定n至少为3。现在定义一个单项式' $k$ -形式为一个0-形式乘以一个基本的 $k$ -形式，定义 $k$ -形式为一些单项式 $k$ -形式的和。

楔积可以推广到这些和上：

(f\,dx_{I}+g\,dx_{J})\wedge (p\,dx_{K}+q\,dx_{L})=

f\cdot p\,dx_{I}\wedge dx_{K}+f\cdot q\,dx_{I}\wedge dx_{L}+g\cdot p\,dx_{J}\wedge dx_{K}+g\cdot q\,dx_{J}\wedge dx_{L},

等等，这里 $dx_{i}$ 和类似的项表示 $k$ -形式。换句话说，和的积就是所有可能的积的和。

现在，我们来定义光滑流形上的 $k$ -形式。为此，我们假设有一个开坐标覆盖。我们可以在每个坐标邻域上定义一个 $k$ -形式；一个全局的 $k$ -形式就是一组坐标领域上的 $k$ -形式，他们在坐标邻域的交集上一致。这种一致的精确定义，见流形。

楔积的性質

若 $f$ , $g$ , $w$ 为任意微分形式，则

w\wedge (f+g)=w\wedge f+w\wedge g.

若 $f$ 为 $k$ -形式， $g$ 为 $l$ -形式：

f\wedge g=(-1)^{kl}g\wedge f.

抽象（简明）定义及讨论

在微分几何中， $k$ 阶微分 $k$ -形式是一个流形的余切丛的 $k$ 阶外幂（exterior power）的光滑截面。在流形的每一点 $p$ ，一个 $k$ -形式给出一个从切空间的 $k$ 阶笛卡儿幂（cartesian power）到 $\mathbb {R}$ 的多线性映射。

例如，光滑函数（0-形式）的微分就是一个1-形式。

1-形式在张量的坐标无关表示中是一个很有用的基本概念。在这个上下文中，他们可以定义为向量的实值函数，并可以看成他们所对应的向量空间的对偶空间。1-形式的一个旧称就是"协变向量"。

微分形式的积分

k阶微分形式可以在 $k$ 维链（chain）上积分。若 $k=0$ ，这就是函数在点上的取值。其他的 $k=1,2,3,\cdots$ 对应于线积分，曲面积分，体积分等等。

设

\omega =\sum a_{i_{1},\cdots ,i_{k}}({\mathbf {x} })\,dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}

为一微分形式，设 $S$ 为一个我们想在其上积分的集合，其中 $S$ 有参数化形式

S({\mathbf {u} })=(x_{1}({\mathbf {u} }),\cdots ,x_{n}({\mathbf {u} }))

$\mathbf {u}$ 属于参数域 $D$ 。则[Rudin, 1976]定义 $S$ 上微分形式的积分为

\int _{S}\omega =\int _{D}\sum a_{i_{1},\cdots ,i_{k}}(S({\mathbf {u} })){\frac {\partial (x_{i_{1}},\cdots ,x_{i_{k}})}{\partial (u_{1},\cdots ,u_{k})}}\,d{\mathbf {u} }

其中

{\frac {\partial (x_{i_{1}},\cdots ,x_{i_{k}})}{\partial (u_{1},\cdots ,u_{k})}}

是雅可比矩阵的行列式。

参见斯托克斯定理（Stokes' Theorem）。

微分形式的操作

一个流形上所有k-形式的集合是一个向量空间。而且，其上有三类操作：楔积, 外微分（用d表示），和李导数。 $d^{2}=0$ ，细节请见德拉姆上同调。

外导数和积分的基本关系由推广的斯托克斯定理给出，它也同时给出了德拉姆上同调和链的同调的对偶性。

参考

Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill, Inc. 1976. ISBN 0-07-054235.
Michael Spivak. Calculus on Manifolds. W. A. Benjamin, Inc.; Menlo Park CA. 1965. ISBN 66-10910.