换位子群

在数学尤其是抽象代数中，群的换位子群或导群，另名交换子群，意指该群所有换位子所生成的子群，记作 $[G,G]$ 、 $G'$ 或 $G^{(1)}$ 。任意给定群均对应一个确定的换位子群。作为群 $G$ 的正规子群，换位子群 $G'$ 是使得 $G$ 对它的商群 $G/G'$ 交换的最小正规子群。换言之，换位子群表征群 $G$ 的可交换程度，根据换位子的定义 $[x,y]=xyx^{-1}y^{-1}$ , $x$ 与 $y$ 交换，即 $xy=yx$ , 当且仅当 $[x,y]=e$ , 即，群内可交换的元素越多，换位子就越少，换位子群也就越小。显然，交换群的换位子群为平凡群 $\{e\}$ .

换位子

对群元 $g,\,h\in G$ , $g$ 与 $h$ 的换位子为 $[g,\,h]=g^{-1}h^{-1}$ . 换位子 $[g,\,h]$ 等价于群幺 $e$ 当且仅当 $gh=hg$ , 即二者交换。一般情况下，显然有 $gh=hg[g,\,h]$ .

该记号的顺序任定，有下述不同的定义方式，此时换位子将左乘，而非右乘二者的積：

[g,\,h]=ghg^{-1}h^{-1}

,

此时有 $gh=[g,\,h]hg$ 而非 $gh=hg[g,\,h]$ .

对 $g$ 和 $h$ 来说，群 $G$ 中形如 $[g,\,h]$ 的元即称其换位子。幺 $e=[e,\,e]$ 恒为换位子。群 $G$ 交换当且仅当其换位子群平凡，即 $G'=\{e\}$ .

下例对群 $G$ 元 $s,\,g,\,h$ 成立：

$[g,\,h]^{-1}=[h,\,g]$ ;
$[g,\,h]^{s}=[g^{s},\,h^{s}]$ ，其中 $g^{s}:=s^{-1}gs$ 意指 $g$ 关于 $s$ 的共轭；
由群同态保持：
${\begin{aligned}f\colon \,&G\to H,\\&[g,\,h]\mapsto [f(g),\,f(h)].\end{aligned}}$

前两者蕴含 $G$ 的换位子集对交换与共轭封闭。对第三条取 $H=G$ , 即知换位子集稳定于 $G$ 的任意自同态，这正是第二条的一般情况，只需取 $f$ 作 $G$ 的共轭自同构：

{\begin{aligned}f\colon \,&G\to G\\&x\mapsto x^{s}:=s^{-1}xs,\end{aligned}}

即得第二条。

换位子的积未必是换位子。典例是由 $a,\,b,\,c,\,d$ 生成的自由群内的 $[a,\,b][c,\,d]$ . 已知存在两换位子其积非换位子的最小有限群，阶数为 96，在同构意义上有两种如此的 96 阶群。^[1]

定义

给定群 $G$ ，其换位子群 $[G,G]$ （或称导群，记 $G'$ 或 $G^{(1)}$ ）是 $G$ 的所有换位子所生成的子群：

[G,G]=\{g^{-1}h^{-1}gh\,\colon \,g,h\in G\}.

由定义知，任意 $[G,\,G]$ 的元有形式

\prod _{i=1}^{n}[g_{i},\,h_{i}]=[g_{1},\,h_{1}]\cdots [g_{n},\,h_{n}],\,n\in \mathbb {N} _{+},\,\forall i,\,g_{i},\,h_{i}\in G.

此外由

\left(\prod _{i}[g_{i},\,h_{i}]\right)^{s}=\prod _{i}[g_{i}^{s},\,h_{i}^{s}]

知换位子群亦对 $G$ 正规。对任意同态 $f\colon \,G\to H$ ，

f\colon \,\prod _{i}[a_{i},\,b_{i}]\mapsto \prod _{i}[f(a_{i}),\,f(b_{i})]=[f(a_{1}),\,f(b_{1})]\cdots [f(a_{n}),\,f(b_{n})],

故而 $f([G,\,G])\subseteq [H,\,H].$

这表明换位子群可视作群范畴 ${\mathsf {Grp}}$ 的函子，其部分含义将于下文探讨。此外倘取 $G=H$ , 知换位子群于 $G$ 的任意自同态下稳定：换言之， $[G,\,G]$ 为 $G$ 的全特征子群（英语），这一性质远强于正规性。

换位子群亦定义作 $G$ 的子集

\left\{\left.\prod _{i\in I}g_{i}\right|\,\exists \varphi \colon I\leftrightarrow I,\,\prod _{i\in I}g_{\varphi (i)}=e_{G},\,\forall i,\,g_{i}\in G,\,I\subset \mathbb {N} \right\},

即那些存在某种重排使得结果为幺的群元乘积构成的集合。

导集序列

导集能够迭代构造：

G^{(0)}:=G

G^{(n)}:=\left[G^{(n-1)},\,G^{(n-1)}\right],\quad n\in \mathbb {N} .

群 $G^{(i)},i=2,\,3,\,\dots$ 依次称 $n$ 阶导群。下降正规序列

\cdots \triangleleft G^{(2)}\triangleleft G^{(1)}\triangleleft G^{(0)}=G

即称导出序列。

对有限群而言，导出序列终止于完满群，其平凡与否皆有可能。而对于无限群，其导出序列不必终止于有限步，而可能以超限递归至持续无穷序数步，继而得到超限导出序列，其最终终止于群的完美核。

Abel 化

给定群 $G$ , 商群 $G/N$ 交换当且仅当 $[G,\,G]\subset N$ .

商群 $G/[G,\,G]$ 交换，称 $G$ 的 Abel 化，常记作 $G^{\mathrm {ab} }$ 或 $G_{\mathrm {ab} }$ .

有范畴方向的实用诠释，映射 $\varphi \colon \,G\to G^{\mathrm {ab} }$ . 换言之， $\varphi$ 泛于任意从 $G$ 到 Abel 群 $H$ 的同态，或称任意从 $G$ 到 Abel 群 $G$ 的同态均可经由 $\varphi$ 唯一分解：对任意 Abel 群 $H$ 与群同态 $f\colon \,G\to H$ , 存在唯一同态 $F\colon \,G^{\rm {ab}}\to H$ 使得 $f=F\circ \varphi$ . 正如由泛映射定义的对象通常所具的特点般，这表征 Abel 化子群 $G^{\rm {ab}}$ 在典范同构意义下的唯一性，而显示构造的 $G\to G/[G,\,G]$ 表征其存在性。

Abel 化函子是从 Abel 群范畴 ${\mathsf {AbGrp}}$ 到群范畴 ${\mathsf {Grp}}$ 的包含函子的左伴随。Abel 化函子 ${\mathsf {AbGrp}}\to {\mathsf {Grp}}$ 的存在性令范畴 ${\mathsf {AbGrp}}$ 拥有群范畴的反射子范畴，定义为其包含函子拥有左伴随的全子范畴。

$G^{\rm {ab}}$ 另有一重要释义 $H_{1}(G,\,\mathbb {Z} )$ , 群 $G$ 的整系数一阶同调群。

完满群

若群 $G$ 的导群等于自身，即 $G^{(1)}=G$ , 称该群完满群，包含非交换单群及不动域 $\mathbb {k}$ 上的特殊线性群 $\operatorname {SL} _{n}(\mathbb {k} )$ .

例子

任意 Abel 群的换位子群均平凡。
域或除环 $\mathbb {k}$ 上的一般线性群 $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {k} )$ 的换位子群等于特殊线性群 $\operatorname {SL} _{n}(\mathbb {k} )$ , 若 $n\neq 2$ , 或 $\mathbb {k}$ 不是拥有两个元素的域。
4 次交错群 $A_{4}$ 的换位子群即 Klein 四元群 $V_{4}$ 。
$n$ 次对称群 $S_{n}$ 的换位子群即 $n$ 次交错群 $A_{n}$ 。
四元群 $Q=\{1,\,-1,\,{\rm {i}},\,{\rm {-i}},\,{\rm {j}},\,{\rm {-j}},\,{\rm {k}},\,{\rm {-k}}\}$ 的换位子群为 $\{1,\,-1\}$ 。