純量投影

a在b上的純量投影，若0° ≤ θ ≤ 90°，純量投影的值和其向量投影的量值相等

a在b上的向量投影（a₁），以及a在b上的向量排斥（vector rejection，a₂

数学裡，純量投影（scalar projection）是兩個向量之間，結果為标量的一種運算。向量$\mathbf {a}$在向量$\mathbf {b}$上的純量投影，可以用下式表示：

$s=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} ,$

其中運算子$\cdot$是點積，${\hat {\mathbf {b} }}$是$\mathbf {b}$方向的单位向量，$\left\|\mathbf {a} \right\|$是$\mathbf {a}$的長度，$\theta$是$\mathbf {a}$和$\mathbf {b}$之間的夾角。

純量投影是标量，等於$\mathbf {a}$在$\mathbf {b}$方向投影的長度，若投影和$\mathbf {b}$方向相反，純量投影會有負號。

將$\mathbf {a}$在$\mathbf {b}$上的純量投影，乘以$\mathbf {\hat {b}}$即可得到上述的投影向量，也稱為$\mathbf {a}$在$\mathbf {b}$上的向量投影。

以角度θ為基礎的定義

若$\mathbf {a}$和$\mathbf {b}$的夾角$\theta$已知，$\mathbf {a}$在$\mathbf {b}$上的純量投影可以用以下方式計算

$s=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta .$（s等於圖中的$\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|$）

在純量投影已知時，也可以用上述公式求夾角θ。

以向量a和b的定義

若不知道$\theta$，可以用$\mathbf {a}$和$\mathbf {b}$，配合以下的點積公式$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$，計算$\theta$的餘弦：

${\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}=\cos \theta$

依此性質，純量投影$s$的定義可以寫成：

$s=\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\left\|\mathbf {a} \right\|{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}\,$

性質

若$90^{\circ }<\theta \leq 180^{\circ }$，純量投影為負。若夾角小於90°，其數值等於向量投影的大小。若向量投影用$\mathbf {a} _{1}$表示，其長度為$\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|$，則：

$s=\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|$，若$0^{\circ }\leq \theta \leq 90^{\circ }$時

$s=-\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|$，若$90^{\circ }<\theta \leq 180^{\circ }$時

相關條目

• 点积
• 叉积
• 向量投影

來源

• Dot products - www.mit.org
• Scalar projection - Flexbooks.ck12.org
• Scalar Projection & Vector Projection - medium.com
• Lesson Explainer: Scalar Projection | Nagwa