赫尔德不等式

赫爾德不等式是數學分析的一條不等式，取名自德國數學家奧托·赫爾德。這是一條揭示L^p空間的相互關係的基本不等式：

設$S$為測度空間，$1\leq p,q\leq \infty$，及${1 \over p}+{1 \over q}=1$，設$f$在$L^{p}(S)$內，$g$在$L^{q}(S)$內。則$f{\mbox{ }}g$在$L^{1}(S)$內，且有

$\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q},$

等号当且仅当$|f|^{p}$与$|g|^{q}$（幾乎處處）线性相关时取得，即有常數$\alpha ,\beta$使得$\alpha |f(x)|^{p}=\beta |g(x)|^{q}$對幾乎所有$x\in S$成立。

若$S$取作$\{1,...,n\}$附計數測度，便得赫爾德不等式的特殊情形：對所有實數（或複數）$x_{1},{\mbox{ }}...,{\mbox{ }}x_{n};{\mbox{ }}y_{1},{\mbox{ }}...,{\mbox{ }}y_{n}$，有

$\sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}$。

我们称 $p$ 和 $q$ 互为赫尔德共轭。

若取$S$為自然數集附計數測度，便得與上類似的無窮級數不等式。

當$p=q=2$，便得到柯西-施瓦茨不等式。

赫爾德不等式可以證明$L^{p}$空間上一般化的三角不等式，閔可夫斯基不等式，和證明$L^{p}$空間是$L^{q}$空間的對偶。

备注

• 在赫尔德共轭的定义中，${\frac {1}{\infty }}$意味着零。

• 如果$1\leq p$，$q<\infty$，那么$\lVert f\rVert _{p}$和$\lVert g\rVert _{q}$表示（可能无穷的）表达式：

${\biggl (}\int _{S}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{\frac {1}{p}}$   以及   ${\biggl (}\int _{S}|g|^{q}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{\frac {1}{q}}.$

• 如果 $p=\infty$，那么$\lVert f\rVert _{\infty }$表示 $|f|$ 的本性上确界，$\lVert g\rVert _{\infty }$也类似。

• 在赫尔德不等式的右端，0乘以$\infty$以及$\infty$乘以0意味着 0。把 $a>0$ 乘以$\infty$，则得出$\infty$。

证明

赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。

如果$\lVert f\rVert _{p}=0$，那么$f$ $\mu$-几乎处处为零，且乘积$fg$ $\mu$-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果$\lVert g\rVert _{q}=0$也是这样。因此，我们可以假设$\lVert f\rVert _{p}>0$且$\lVert g\rVert _{q}>0$。

如果$\lVert f\rVert _{p}=\infty$或$\lVert g\rVert _{q}=\infty$，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设$\lVert f\rVert _{p}$和$\lVert g\rVert _{q}$位于 $(0,\infty )$ 内。

如果 $p=\infty$ 且 $q=1$，那么几乎处处有 $|fg|\leq \lVert f\rVert _{\infty }|g|$，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于 $p=1$和$q=\infty$，情况也类似。因此，我们还可以假设$p,q\in (1,\infty )$。

分别用 $f$ 和 $g$ 除$\lVert f\rVert _{p}\lVert g\rVert _{q}$，我们可以假设：

$\|f\|_{p}=\|g\|_{q}=1.$

我们现在使用杨氏不等式：

$ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}},$

对于所有非负的 $a$ 和 $b$，当且仅当 $a^{p}=b^{q}$ 时等式成立。因此：

$|f(s)g(s)|\leq {\frac {|f(s)|^{p}}{p}}+{\frac {|g(s)|^{q}}{q}},\qquad s\in S.$

两边积分，得：

$\|fg\|_{1}\leq 1,$

这便证明了赫尔德不等式。

在 $p\in (1,\infty )$ 和 $\lVert f\rVert _{p}=\lVert g\rVert _{q}=1$ 的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有$|f|^{p}=|g|^{q}$。更一般地，如果 $\lVert f\rVert _{p}$ 和 $\lVert g\rVert _{q}$ 位于 $(0,\infty )$ 内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在$\alpha ,\beta >0$（即 $\alpha =\lVert g\rVert _{q}$ 且 $\beta =\lVert f\rVert _{p}$ ），使得：

$\alpha |f|^{p}=\beta |g|^{q}\,$   $\mu$-几乎处处   (*)

$\lVert f\rVert _{p}=0$的情况对应于(*)中的 $\beta =0$。$\lVert g\rVert _{q}=0$ 的情况对应于(*)中的 $\alpha =0$。

反向赫尔德不等式

当$0<p<1$时，$\|\cdot \|_{p}$不再满足三角不等式，此时成立反向赫尔德不等式(Reverse Hölder inequality):

$\|fg\|_{1}\geq \|f\|_{p}\|g\|_{q}$

参考文献

• Hardy, G.H.; Littlewood, J.E.; Pólya, G., Inequalities, Cambridge Univ. Press, 1934, ISBN 0521358809 
• Hölder, O., Ueber einen Mittelwerthsatz, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, 1889: 38–47 
• Kuptsov, L.P., Hölder inequality, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （英语） 
• Rogers, L J., An extension of a certain theorem in inequalities, Messenger of math, 1888, 17: 145–150 
• Kuttler, Kenneth, An introduction to linear algebra (PDF), Online e-book in PDF format, Brigham Young University, 2007 [2009-02-02], （原始内容存档 (PDF)于2008-08-07） 
• 邢家省. Young不等式在Lp空间中的应用. 聊城大学学报（自然科学版）. 2007年 第3期, 第20卷. ISSN 1672-6634. 
• 张愿章. Young不等式的证明及应用. 河南科学. 2004年 第01期, 第22卷. ISSN 1004-3918.