군의 확대

군론에서 군의 확대(群-擴大, 영어: group extension)는 군을 정규 부분군과 몫군으로 나타내는 방법이다.

정의

군의 범주에서, 다음과 같은 짧은 완전열이 있다고 하자.

1\rightarrow N{\xrightarrow {\iota }}G{\xrightarrow {\pi }}Q\rightarrow 1

즉,

G/\iota (N)\cong Q

이다. 그렇다면 $G$ 를 $N$ 에 의한 $Q$ 의 확대(영어: extension of Q by N)라고 한다.

만약 $N$ 이 $G$ 의 중심의 부분군이라면, 즉

\iota (N)\subset Z(G)

이라면 이를 중심 확대(中心擴大, 영어: central extension)라고 한다.

$N$ 의 $Q$ 로의 두 확대

1\to N{\xrightarrow {\iota }}G{\xrightarrow {\pi }}Q\to 1

1\to N{\xrightarrow {\iota '}}G'{\xrightarrow {\pi '}}Q\to 1

에 대하여, 만약 다음 그림

{\begin{matrix}1&\to &N&{\xrightarrow {\iota }}&G&{\xrightarrow {\pi }}&Q&\to &1\\&&\|&&{\scriptstyle \phi }\downarrow \!{\wr }&&\|\\1&\to &N&{\xrightarrow[{\iota '}]{}}&G'&{\xrightarrow[{\pi '}]{}}&Q&\to &1\end{matrix}}

을 가환하게 하는 군 동형 $\phi \colon G\to G'$ 이 존재한다면, $G$ 와 $G'$ 을 서로 동형인 확대라고 한다.

분류

군의 확대들의 동형류들은 2차 군 코호몰로지에 의하여 분류된다.

아벨 군의 범주 속에서의 확대

$N$ 과 $Q$ 가 아벨 군이며, 확대된 군 $G$ 역시 아벨 군이라고 하자. 이러한 군의 확대는 Ext 함자에 의하여 분류된다. 구체적으로, 이러한 아벨 군의 범주 속에서의 확대들의 동형류들은

\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N)

과 표준적으로 일대일 대응한다.

아벨 정칙 부분군의 경우

$N$ 이 아벨 군이라고 하자. 그렇다면, $N$ 의 $Q$ 에 대한 분류들은 다음과 같은 집합과 표준적으로 일대일 대응한다.

\bigsqcup _{\phi \in \hom(Q,\operatorname {Aut} N)}\operatorname {H} _{\phi }^{2}(Q,N)

여기서 $\operatorname {H} _{\phi }^{2}(Q,N)$ 은 $N$ 을 작용 $\phi$ 를 갖춘 $Q$ -가군으로 보았을 때의 2차 군 코호몰로지이다. 즉, 군의 확대 $N\to G\to Q$ 가 주어졌을 때, 자연스러운 준동형

\phi \colon Q\to \operatorname {Aut} N

\phi \colon q\mapsto (n\mapsto qnq^{-1})

이 유도되는데, 주어진 준동형 $\phi$ 에 대응하는 확대들은 2차 군 코호몰로지 $\operatorname {H} _{\phi }^{2}(Q,N)$ 과 표준적으로 대응한다. 이는 반직접곱 $N\rtimes _{\phi }Q$ 가 표준적인 밑점(영어: basepoint)을 제공하기 때문이다.

특히, $Q$ 의 아벨 군 $N$ 에 대한 중심 확대는 자명한 작용 $q\cdot n=n\;\forall q\in Q,n\in N$ 에 대응하며, 중심 확대는 자명한 $Q$ -가군 계수의 2차 군 코호몰로지 $\operatorname {H} ^{2}(Q,N)$ 와 표준적으로 일대일 대응한다.

무중심 정칙 부분군의 경우

$N$ 의 중심이 자명군일 경우, $N$ 의 $Q$ 에 대한 확대의 동형류들은 군 준동형

Q\to \operatorname {Out} N=\operatorname {Aut} N/\operatorname {Inn} N

과 일대일 대응한다.^[1]^{:106, Corollary 6.8; Exercise 6.1} 이는 가환 그림

{\begin{matrix}1&\to &N&\hookrightarrow &G&\twoheadrightarrow &Q&\to &1\\&&\|&&\downarrow \scriptstyle \phi ^{*}&&\downarrow \scriptstyle \phi \\1&\to &\operatorname {Inn} N&\hookrightarrow &\operatorname {Aut} N&\twoheadrightarrow &\operatorname {Out} N&\to &1\end{matrix}}

에서, $\phi ^{*}\colon G\to \operatorname {Aut} N$ 이 $\phi \colon Q\to \operatorname {Out} N$ 으로부터 완전히 결정되기 때문이다. 특히, $N$ 이 자명한 중심을 갖고, 또한 외부자기동형군 역시 자명하다면, $N$ 의 모든 확대는 직접곱이다. 이러한 조건을 만족시키는 군을 완비군(完備群, 영어: complete group)이라고 한다.

외부 자기 동형을 갖지 않는 정칙 부분군의 경우

만약 $\operatorname {Out} N$ 이 자명군이라면, 준동형 $Q\to \operatorname {Out} N$ 은 자명한 준동형밖에 없다. 이 경우, 모든 확대들은 2차 군 코호몰로지 $\operatorname {H} ^{2}(Q,\operatorname {Z} (N))$ 와 표준적으로 일대일 대응하며, $0\in \operatorname {H} ^{2}(Q,\operatorname {Z} (N))$ 은 직접곱 $N\times Q$ 에 대응한다.

구체적으로,

{\begin{matrix}&&1&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Z} (N)&\hookrightarrow &\operatorname {C} _{G}(N)&\twoheadrightarrow &\operatorname {C} _{G}(N)/\operatorname {Z} (N)&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \!\wr \\1&\to &N&\hookrightarrow &G&\twoheadrightarrow &Q&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Inn} N&\cong &\operatorname {Aut} N&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1\end{matrix}}

이므로, 짧은 완전열

1\to \operatorname {Z} (N)\to \operatorname {C} _{G}(N)\to Q\to 1

이 존재한다. $\operatorname {Z} (N)$ 이 아벨 군이며, $\operatorname {Z} (N)$ 의 $\operatorname {C} _{G}(N)$ 에 대한 작용은 자명하므로 가능한 $\operatorname {C} _{G}(N)$ 들은 $\operatorname {H} ^{2}(Q,\operatorname {Z} (N))$ 과 표준적으로 일대일 대응하며, 주어진 $\operatorname {C} _{G}(N)$ 에 대하여 $G$ 는 짧은 완전열

1\to \operatorname {C} _{G}(N)\to G\to \operatorname {Aut} N\to 1

에서 유일하게 결정된다.

일반적 정칙 부분군의 경우

일반적인 $N$ 의 경우, 군의 확대의 동형류들은 여전히 2차 코호몰로지와 일대일 대응하지만, 밑점(영어: basepoint)이 유일하지 않으므로 이 대응은 더 이상 표준적이지 않다.

구체적으로, 확대

1\to N\to G\to Q\to 1

가 주어졌을 때, 표준적인 군 준동형

Q\to \operatorname {Out} N=\operatorname {Aut} N/\operatorname {Inn} N

이 존재한다. 임의의 준동형 $\phi \colon Q\to \operatorname {Out} N$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]^{:105, Theorem 6.7}

$\phi$ 를 유도하는 군의 확대 $G$ 가 존재한다.
어떤 특정한 $\theta (Q,\operatorname {Z} (N),\phi )\in \operatorname {H} _{\phi }^{3}(Q,\operatorname {Z} (N))$ 에 대하여, $\theta (Q,\operatorname {Z} (N),\phi )=0$ 이다.

즉, $\phi$ 를 통한 확대의 존재에 대한 걸림돌은 3차 군 코호몰로지의 특정 원소이다.

만약 위 조건이 성립한다면, $\phi$ 를 통한 임의의 두 확대 $G,G'$ 에 대하여, 둘의 "차이"를 표준적으로 $\operatorname {H} _{\phi }^{2}(G,\operatorname {Z} (N))$ 과 일대일 대응시킬 수 있다.^[1]^{:105, Theorem 6.6} 즉, $\phi$ 를 통한 확대들은 $\operatorname {H} _{\phi }^{2}(G,\operatorname {Z} (N))$ 과 일대일 대응하지만, 이 대응은 표준적이지 않다. 다만, $\phi$ 가 자명한 작용일 경우, 자명한 확대 $G=N\times Q$ 를 밑점으로 삼으면 표준적인 일대일 대응을 얻는다.