체론 에서 단순 확대 (單純擴大, 영어 : simple extension )는 하나의 원소로 생성되는 체의 확대 이다.
체의 확대
L
/
K
{\displaystyle L/K}
가 주어졌다고 하자. 만약
L
=
K
(
α
)
{\displaystyle L=K(\alpha )}
가 되는
α
∈
L
{\displaystyle \alpha \in L}
이 존재한다면,
L
/
K
{\displaystyle L/K}
를 단순 확대 라고 하고,
α
{\displaystyle \alpha }
를 원시 원소 (原始元素, 영어 : primitive element )라고 한다.
만약
α
{\displaystyle \alpha }
가
K
{\displaystyle K}
-초월 원소 라면,
K
(
α
)
≅
K
(
x
)
{\displaystyle K(\alpha )\cong K(x)}
는
K
{\displaystyle K}
의 일변수 유리 함수체 와 동형 이다. 만약
α
{\displaystyle \alpha }
가
K
{\displaystyle K}
-대수적 원소 라면,
K
{\displaystyle K}
의 다항식환 의 어떤 몫환
K
(
α
)
≅
K
[
x
]
/
(
p
(
x
)
)
{\displaystyle K(\alpha )\cong K[x]/(p(x))}
[
K
(
α
)
:
K
]
=
deg
p
{\displaystyle [K(\alpha ):K]=\deg p}
과 동형 이다. 여기서
p
{\displaystyle p}
는
α
{\displaystyle \alpha }
의
K
{\displaystyle K}
-최소 다항식 이다. 이는 기약 다항식 이므로,
(
p
(
x
)
)
{\displaystyle (p(x))}
는 극대 아이디얼 이며,
K
[
x
]
/
(
p
(
x
)
)
{\displaystyle K[x]/(p(x))}
는 체 를 이룬다.
유한 확대 의 경우, 단순 확대가 될 필요충분조건은 원시 원소 정리 (原始元素定理, 영어 : primitive element theorem )에 의하여 주어진다. 원시 원소 정리에 따르면, 임의의 유한 확대
L
/
K
{\displaystyle L/K}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
L
/
K
{\displaystyle L/K}
는 단순 확대이다.
L
/
K
{\displaystyle L/K}
사이에,
K
⊆
M
⊆
L
{\displaystyle K\subseteq M\subseteq L}
이 되는 체
M
{\displaystyle M}
의 수는 유한하다.
L
/
K
{\displaystyle L/K}
사이의 체의 수가 유한하다고 가정하자. 만약
K
{\displaystyle K}
가 유한체 라면,
L
{\displaystyle L}
역시 유한체이며, 곱셈군
L
×
=
L
∖
{
0
}
{\displaystyle L^{\times }=L\setminus \{0\}}
은 순환군 이다. 임의의 생성원
α
{\displaystyle \alpha }
가 주어졌을 때,
L
=
K
(
α
)
{\displaystyle L=K(\alpha )}
이다. 이제,
K
{\displaystyle K}
가 무한체라고 하자. 그렇다면, 임의의
α
,
β
∈
L
{\displaystyle \alpha ,\beta \in L}
에 대하여,
K
(
α
+
c
β
)
=
K
(
α
+
c
′
β
)
{\displaystyle K(\alpha +c\beta )=K(\alpha +c'\beta )}
c
≠
c
′
{\displaystyle c\neq c'}
인
c
,
c
′
∈
K
{\displaystyle c,c'\in K}
가 존재한다.
β
=
(
(
α
+
c
β
)
−
(
α
+
c
′
β
)
)
/
(
c
−
c
′
)
∈
K
(
α
+
c
β
)
{\displaystyle \beta =((\alpha +c\beta )-(\alpha +c'\beta ))/(c-c')\in K(\alpha +c\beta )}
α
=
(
α
+
c
β
)
−
c
β
∈
K
(
α
+
c
β
)
{\displaystyle \alpha =(\alpha +c\beta )-c\beta \in K(\alpha +c\beta )}
이므로,
K
(
α
,
β
)
=
K
(
α
+
c
β
)
{\displaystyle K(\alpha ,\beta )=K(\alpha +c\beta )}
이다. 수학적 귀납법 에 따라,
L
=
K
(
α
1
,
…
,
α
n
)
{\displaystyle L=K(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}
이라고 하였을 때,
L
=
K
(
α
1
+
c
2
α
2
+
⋯
+
c
n
α
n
)
{\displaystyle L=K(\alpha _{1}+c_{2}\alpha _{2}+\cdots +c_{n}\alpha _{n})}
인
c
2
,
…
,
c
n
∈
K
{\displaystyle c_{2},\dots ,c_{n}\in K}
가 존재한다. 즉,
L
/
K
{\displaystyle L/K}
는 단순 확대이다.
반대로,
L
=
K
(
α
)
{\displaystyle L=K(\alpha )}
가
K
{\displaystyle K}
의 단순 확대라고 가정하자.
L
/
K
{\displaystyle L/K}
사이의 임의의 체
K
⊆
M
⊆
L
{\displaystyle K\subseteq M\subseteq L}
에 대하여,
p
M
∈
M
[
x
]
{\displaystyle p_{M}\in M[x]}
가
α
{\displaystyle \alpha }
의
M
{\displaystyle M}
-최소 다항식 이라고 하자. 그렇다면,
p
M
(
x
)
{\displaystyle p_{M}(x)}
는
p
K
(
x
)
{\displaystyle p_{K}(x)}
의 약수 이므로, 유한 개밖에 없다. 따라서
M
↦
p
M
{\displaystyle M\mapsto p_{M}}
이 단사 함수 임을 보이면 충분하다. 임의의 다항식
p
∈
K
[
x
]
{\displaystyle p\in K[x]}
에 대하여,
S
p
{\displaystyle S_{p}}
가
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
의 계수들의 집합이라고 하자. 그렇다면,
p
∈
K
(
S
p
)
[
x
]
{\displaystyle p\in K(S_{p})[x]}
이다. 임의의 체
K
⊆
M
⊆
L
{\displaystyle K\subseteq M\subseteq L}
에 대하여,
p
M
(
x
)
{\displaystyle p_{M}(x)}
는
M
{\displaystyle M}
-기약 다항식 이며,
K
(
S
)
⊆
M
{\displaystyle K(S)\subseteq M}
이므로,
p
M
(
x
)
{\displaystyle p_{M}(x)}
는
K
(
S
p
M
)
{\displaystyle K(S_{p_{M}})}
-기약 다항식이다. 즉,
p
M
{\displaystyle p_{M}}
은
α
{\displaystyle \alpha }
의
K
(
S
p
M
)
{\displaystyle K(S_{p_{M}})}
-최소 다항식 이기도 하다. 따라서,
[
L
:
K
(
S
p
M
)
]
=
[
K
(
S
p
M
)
(
α
)
:
K
(
S
p
M
)
]
=
deg
p
M
=
[
M
(
α
)
:
M
]
=
[
L
:
M
]
{\displaystyle [L:K(S_{p_{M}})]=[K(S_{p_{M}})(\alpha ):K(S_{p_{M}})]=\deg p_{M}=[M(\alpha ):M]=[L:M]}
[
K
(
S
p
M
)
:
K
]
=
[
L
:
K
]
/
[
L
:
K
(
S
p
M
)
]
=
[
L
:
K
]
/
[
L
:
M
]
=
[
M
:
K
]
{\displaystyle [K(S_{p_{M}}):K]=[L:K]/[L:K(S_{p_{M}})]=[L:K]/[L:M]=[M:K]}
이다.
M
/
K
{\displaystyle M/K}
는 유한 확대 이며,
K
(
S
p
M
)
⊆
M
{\displaystyle K(S_{p_{M}})\subseteq M}
이므로,
M
=
K
(
S
p
M
)
{\displaystyle M=K(S_{p_{M}})}
이다. 만약
K
⊆
M
,
M
′
⊆
L
{\displaystyle K\subseteq M,M'\subseteq L}
이며
p
M
=
p
M
′
{\displaystyle p_{M}=p_{M'}}
이라면,
M
=
K
(
S
p
M
)
=
K
(
S
p
M
′
)
=
M
′
{\displaystyle M=K(S_{p_{M}})=K(S_{p_{M'}})=M'}
이다. 즉,
M
↦
p
M
{\displaystyle M\mapsto p_{M}}
은 단사 함수가 맞다.
또한, 만약
L
/
K
{\displaystyle L/K}
가 유한 분해 가능 확대 라면,
L
/
K
{\displaystyle L/K}
는 항상 단순 확대이다. 조금 더 일반적으로, 만약
L
/
K
{\displaystyle L/K}
가 유한 분해 가능 확대 이며,
M
/
L
{\displaystyle M/L}
이 대수적 단순 확대라면,
M
/
K
{\displaystyle M/K}
는 단순 확대이다.
유한 분해 가능 확대의 대수적 단순 확대가 단순 확대라는 사실은 다음과 같이 증명할 수 있다. 만약
K
{\displaystyle K}
가 유한체 라면,
M
{\displaystyle M}
역시 유한체이며, 곱셈군
M
×
{\displaystyle M^{\times }}
은 순환군 이다. 순환군
M
×
{\displaystyle M^{\times }}
의 임의의 생성원은 원시 원소이다.
이제,
K
{\displaystyle K}
가 무한체라고 가정하자. 수학적 귀납법 에 따라, 임의의 체
K
{\displaystyle K}
및 분해 가능 확대
K
(
α
)
/
K
{\displaystyle K(\alpha )/K}
및 대수적 확대
K
(
α
,
β
)
/
K
(
α
)
{\displaystyle K(\alpha ,\beta )/K(\alpha )}
에 대하여,
K
(
α
,
β
)
/
K
{\displaystyle K(\alpha ,\beta )/K}
의 원시 원소를 찾으면 충분하다. 이를 위해,
γ
=
c
α
+
β
{\displaystyle \gamma =c\alpha +\beta }
가 원시 원소가 아닌
c
∈
K
{\displaystyle c\in K}
의 수가 유한함을 보이면 충분하다.
c
∈
K
{\displaystyle c\in K}
γ
=
c
α
+
β
{\displaystyle \gamma =c\alpha +\beta }
K
(
γ
)
⊊
K
(
α
,
β
)
{\displaystyle K(\gamma )\subsetneq K(\alpha ,\beta )}
라고 하자. 그렇다면
α
∉
K
(
γ
)
{\displaystyle \alpha \not \in K(\gamma )}
이다. (만약
α
∈
K
(
γ
)
{\displaystyle \alpha \in K(\gamma )}
라면,
β
=
γ
−
c
α
∈
K
(
γ
)
{\displaystyle \beta =\gamma -c\alpha \in K(\gamma )}
이므로
K
(
γ
)
=
K
(
α
,
β
)
{\displaystyle K(\gamma )=K(\alpha ,\beta )}
이다.) 이제,
p
,
q
∈
K
[
x
]
{\displaystyle p,q\in K[x]}
가
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\beta }
의 최소 다항식 이라고 하자. 그렇다면,
K
(
α
)
/
K
{\displaystyle K(\alpha )/K}
가 분해 가능 확대이므로
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
는 중근을 갖지 않는다. 또한,
α
{\displaystyle \alpha }
는 두 다항식
p
(
x
)
,
q
(
γ
−
c
x
)
∈
K
(
γ
)
[
x
]
{\displaystyle p(x),q(\gamma -cx)\in K(\gamma )[x]}
의 공통의 근이다. 만약
α
{\displaystyle \alpha }
가 유일한 공통의 근이라면, 두 다항식의 최대 공약수 는
x
−
α
{\displaystyle x-\alpha }
이다. 유클리드 호제법 에 따라,
x
−
α
=
u
(
x
)
p
(
x
)
+
v
(
x
)
q
(
γ
−
c
x
)
{\displaystyle x-\alpha =u(x)p(x)+v(x)q(\gamma -cx)}
인
u
,
v
∈
K
(
γ
)
[
x
]
{\displaystyle u,v\in K(\gamma )[x]}
이 존재하며, 특히
α
∈
K
(
γ
)
{\displaystyle \alpha \in K(\gamma )}
이다. 이는 모순이다. 즉,
p
(
α
′
)
=
0
{\displaystyle p(\alpha ')=0}
q
(
γ
−
c
α
′
)
=
0
{\displaystyle q(\gamma -c\alpha ')=0}
인
α
′
≠
α
{\displaystyle \alpha '\neq \alpha }
가 (어떤 대수적 폐포
K
¯
{\displaystyle {\bar {K}}}
속에) 존재한다.
γ
−
c
α
′
=
β
′
{\displaystyle \gamma -c\alpha '=\beta '}
라고 하자. 그렇다면
c
=
(
β
′
−
β
)
/
(
α
−
α
′
)
{\displaystyle c=(\beta '-\beta )/(\alpha -\alpha ')}
이며,
α
′
{\displaystyle \alpha '}
은
p
{\displaystyle p}
의 근이며,
β
′
{\displaystyle \beta '}
은
q
{\displaystyle q}
의 근이다.
p
{\displaystyle p}
와
q
{\displaystyle q}
의 근의 수는 유한하므로, 가정을 만족시키는
c
{\displaystyle c}
의 수 역시 유한하다.
C
/
R
{\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }
는 단순 확대이며, 원시 원소는
i
=
−
1
{\displaystyle i={\sqrt {-1}}}
이다. 이차 수체
Q
(
d
)
/
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})/\mathbb {Q} }
역시 단순 확대이며, 그 원시 원소는
d
{\displaystyle {\sqrt {d}}}
이다.
Q
(
2
,
3
)
/
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q} }
를 생각하자. 이는, 차수가 4인 유한 확대 이며, 또한 표수 가 0이므로 분해 가능 확대 이다. 따라서, 원시 원소 정리에 따라서 이는 단순 확대이다.
구체적으로,
α
=
2
+
3
{\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}
으로 적자. 그렇다면
{
1
,
α
,
α
2
,
α
3
}
{\displaystyle \{1,\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3}\}}
은
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
위에서 선형 독립 이며, 이를
{
1
,
2
,
3
,
6
}
{\displaystyle \{1,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {6}}\}}
기저로 전개할 수 있다. 따라서
α
{\displaystyle \alpha }
는 원시 원소이다.
체
K
{\displaystyle K}
의 유리 함수체
K
(
x
)
{\displaystyle K(x)}
는 단순 확대이지만, 무한 확대이다.
F
p
(
x
,
y
)
{\displaystyle \mathbb {F} _{p}(x,y)}
의 확대
F
p
(
x
,
y
)
[
X
,
Y
]
/
(
X
p
−
x
,
Y
p
−
y
)
{\displaystyle \mathbb {F} _{p}(x,y)[X,Y]/(X^{p}-x,Y^{p}-y)}
를 생각하자. 이는 차수
p
2
{\displaystyle p^{2}}
의 유한 확대이다.
임의의
a
∈
F
p
(
x
,
y
)
[
X
,
Y
]
/
(
X
p
−
x
,
Y
p
−
y
)
{\displaystyle a\in \mathbb {F} _{p}(x,y)[X,Y]/(X^{p}-x,Y^{p}-y)}
에 대하여,
a
p
∈
F
p
(
x
,
y
)
{\displaystyle a^{p}\in \mathbb {F} _{p}(x,y)}
이므로, 하나의 원소로 생성되는 확대의 차수는 항상
p
{\displaystyle p}
이하이다. 따라서, 이는 단순 확대가 될 수 없다.