닫힌 작용소

함수해석학에서 닫힌 작용소(영어: closed operator)는 그 그래프가 닫힌집합인, 조밀 집합 위에 정의된 선형 변환이다. 닫힐 수 있는 작용소(영어: closable operator)는 그 그래프의 폐포를 취하여 닫힌 작용소로 만들 수 있는 작용소이다. 이 경우, 에르미트 수반 등의 연산이 잘 정의된다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$
• $\mathbb {K}$-위상 벡터 공간 $E$
• 하우스도르프 $\mathbb {K}$-위상 벡터 공간 $F$
• $E$의 조밀 $\mathbb {K}$-부분 벡터 공간 $D\subseteq E$
• $\mathbb {K}$-선형 변환 $A\colon D\to F$

그렇다면, $A$의 그래프

$\operatorname {graph} A=\{(x,Ax)\colon x\in D\}\subseteq E\oplus F$

를 생각할 수 있다.

$A$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 만약 이 조건이 성립한다면 $A$를 닫힌 작용소라고 한다.^:63

• $A$의 그래프가 위상 벡터 공간 $E\oplus F$의 닫힌집합이다.
• 임의의 $x\in E$ 및 그물 $(x_{i})_{i\in I}\subseteq D$에 대하여, 만약 $\textstyle \lim _{i\to \infty }x_{i}=x$이며 $\lim _{i\to \infty }Ax_{i}=y\in F$라면, $x\in D$이며 $y=Ax$이다.

물론, 만약 $E$ 및 $F$가 프레셰 공간이라면, 둘째 조건에서 그물 대신 점렬을 사용해도 된다.

닫힐 수 있는 작용소

다음이 주어졌다고 하자.

• $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$
• $\mathbb {K}$-위상 벡터 공간 $E$
• $\mathbb {K}$-위상 벡터 공간 $F$
• $E$의 조밀 $\mathbb {K}$-부분 벡터 공간 $D\subseteq E$
• 연속 $\mathbb {K}$-선형 변환 $A\colon D\to F$

이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 $A$를 닫힐 수 있는 작용소라고 한다.^:63

• $\operatorname {graph} {\bar {A}}=\operatorname {cl} (\operatorname {graph} A)$인 연속 선형 변환 ${\bar {A}}\colon {\bar {D}}\to F$이 존재한다. (여기서 ${\bar {D}}=\operatorname {proj} _{E}\operatorname {graph} {\bar {A}}$이다.)
• 임의의 $x\in E$ 및 두 그물 $(x_{i})_{i\in I}\subseteq D$ 및 $(x'_{i'})_{i'\in I'}\subseteq D$에 대하여, 만약 $\textstyle \lim _{i\to \infty }x_{i}=\lim _{i'\to \infty }x_{i'}=x$이며 $\textstyle \lim _{i\to \infty }Ax_{i}=y$이며 \textstyle\lim_{i'\to\infty}x'_{i'} = y'</math>라면, $y=y'$이다.

다시 말해, 닫힐 수 있는 작용소에서는, 임의의 $E$의 원소에서 $A$의 값을 그물 또는 점렬의 극한으로 정의하려고 한다면, 이러한 가능한 정의는 (만약 가능하다면) 유일하다.

이 경우, $\operatorname {cl} (\operatorname {graph} A)$로 정의되는 작용소를 ${\bar {A}}$로 표기하며, $A$의 폐포(영어: closure)라고 한다.

성질

$\mathbb {K}$-힐베르트 공간 $H$의 조밀 부분 집합

$D\subseteq E$

위의 선형 변환

$A\colon H\to H$

의 에르미트 수반을 정의하려 한다고 하자. 이 경우, 그 수반의 정의역은

$\operatorname {dom} A^{*}=\left\{x\in H\colon \langle x|A\in {\mathcal {H}}^{*}\cong {\mathcal {H}}\right\}$

이다. 이것이 조밀 집합일 필요 충분 조건은 $A$가 닫힐 수 있는 작용소인 것이다.

이 경우, $A$가 닫힐 수 있는 작용소일 때

${\bar {A}}=A^{**}$

이다. 즉, 닫힌 작용소의 경우 $A={\bar {A}}=A^{**}$이다.

힐베르트 공간 위의 모든 대칭 작용소는 닫힐 수 있는 작용소이다. 힐베르트 공간 위의 모든 자기 수반 작용소($A=A^{*}$)는 닫힌 작용소이다.

즉, 힐베르트 공간 위에서 다음 포함 관계가 성립한다.

대칭 작용소	⊂	닫힐 수 있는 작용소
∪		∪
자기 수반 작용소	⊂	닫힌 작용소
		∪
		유계 작용소

닫힌 그래프 정리

두 $\mathbb {K}$-바나흐 공간 $E$, $F$ 사이의, $E$ 전체에 정의된 $\mathbb {K}$-선형 변환 $A\colon E\to F$을 생각하자. 이 경우, $A$가 닫힌 작용소인 것은 $A$가 유계 작용소인 것과 동치이다. 이를 닫힌 그래프 정리(영어: closed graph theorem)라고 한다.

외부 링크

• “Closed operator” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Stover, Christopher. “ClosedOperator” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Stover, Christopher. “CloseableOperator” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.