디키-풀러 검정

통계학에서 디키-풀러 검정(Dickey–Fuller test)은 (AR) 시계열 모델에 단위근이 존재한다는 귀무 가설을 검정한다. 대립 가설은 사용되는 검정 버전에 따라 다르지만, 일반적으로 정상성 또는 추세 정상성이다. 이 검정은 1979년에 이를 개발한 통계학자 데이비드 디키와 웨인 풀러의 이름을 따서 명명되었다.

설명

간단한 AR 모델은 다음과 같다:

$y_{t}=\rho y_{t-1}+u_{t}\,$

여기서 $y_{t}$는 관심 변수, $t$는 시간 지수, $\rho$는 계수, $u_{t}$는 오차 항(백색 잡음으로 가정됨)이다. 단위근은 $\rho =1$일 때 존재한다. 이 경우 모델은 비정상적이다.

회귀 모델은 다음과 같이 쓸 수 있다:

$\Delta y_{t}=(\rho -1)y_{t-1}+u_{t}=\delta y_{t-1}+u_{t}\,$

여기서 $\Delta$는 1차 차분 연산자이고 $\delta \equiv \rho -1$이다. 이 모델은 추정할 수 있으며, 단위근을 검정하는 것은 $\delta =0$을 검정하는 것과 동일하다. 검정이 원시 데이터가 아닌 잔차 항에 대해 수행되므로, 표준 t-분포를 사용하여 임계값을 제공할 수는 없다. 따라서 이 통계량 $t$는 디키-풀러 표로 알려진 특정 확률 분포를 갖는다.

검정에는 세 가지 주요 버전이 있다:

1. 단위근 검정:

$\Delta y_{t}=\delta y_{t-1}+u_{t}\,$

2. 상수항이 있는 단위근 검정:

$\Delta y_{t}=a_{0}+\delta y_{t-1}+u_{t}\,$

3. 상수항과 결정론적 시간 추세가 있는 단위근 검정:

$\Delta y_{t}=a_{0}+a_{1}t+\delta y_{t-1}+u_{t}\,$

각 검정 버전은 표본의 크기에 따라 고유한 임계값을 갖는다. 각 경우에 귀무 가설은 단위근, 즉 $\delta =0$이 존재한다는 것이다. 이 검정은 진정한 단위근 과정($\delta =0$)과 거의 단위근 과정($\delta$가 0에 가까움)을 구별하지 못하는 경우가 많아 통계적 검정력이 낮다. 이를 "근접 관측치 등가" 문제라고 한다.

이 검정의 직관적 의미는 다음과 같다. 시계열 $y$가 정상적 (또는 추세 정상적)이라면, 상수(또는 결정론적 추세) 평균으로 돌아가려는 경향이 있다. 따라서 큰 값 다음에는 작은 값(음의 변화)이 오고, 작은 값 다음에는 큰 값(양의 변화)이 오는 경향이 있다. 따라서 시계열의 수준은 다음 기간의 변화에 대한 중요한 예측 변수가 될 것이며 음의 계수를 가질 것이다. 반면에 시계열이 통합되어 있다면, 양의 변화와 음의 변화는 시계열의 현재 수준에 의존하지 않는 확률로 발생할 것이다. 무작위 행보에서는 현재 위치가 다음 이동 방향에 영향을 미치지 않는다.

다음과 같은 점에 주목할 필요가 있다.

$\Delta y_{t}=a_{0}+u_{t}\,$

는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

$y_{t}=y_{0}+\sum _{i=1}^{t}u_{i}+a_{0}t$

$a_{0}t$에서 오는 결정론적 추세와 $y_{0}+\sum _{i=1}^{t}u_{i}$에서 오는 확률적 절편항으로 인해 확률적 추세(stochastic trend)라고 불리는 결과가 나타난다.

시계열의 모든 구조적 효과(자기상관)를 제거한 다음 동일한 절차를 사용하여 검정하는 확장 디키-풀러 검정(ADF)이라는 디키-풀러(DF) 검정의 확장 버전도 있다.

절편 및 결정론적 시간 추세 항 포함 여부에 대한 불확실성 처리

세 가지 주요 검정 버전 중 어떤 것을 사용해야 하는가는 사소한 문제가 아니다. 이 결정은 단위근 검정의 크기(단위근이 있을 때 귀무 가설을 기각할 확률)와 단위근 검정의 검정력(단위근이 없을 때 귀무 가설을 기각할 확률)에 중요하다. 절편 또는 결정론적 시간 추세 항을 부적절하게 제외하면 δ에 대한 계수 추정치에 편향이 발생하여 단위근 검정의 실제 크기가 보고된 것과 일치하지 않게 된다. $a_{0}$ 항을 추정하면서 시간 추세 항이 부적절하게 제외되면, 표류 무작위 행보 모델을 통해 추세가 포착될 수 있으므로 단위근 검정의 검정력이 상당히 감소할 수 있다. 반면에 절편 또는 시간 추세 항을 부적절하게 포함하면 단위근 검정의 검정력이 감소하며, 때로는 그 감소가 상당할 수 있다.

절편 및 결정론적 시간 추세가 포함되어야 하는지에 대한 사전 지식을 사용하는 것이 물론 이상적이지만 항상 가능한 것은 아니다. 이러한 사전 지식이 없을 때, 예를 들어 돌라도, 젠킨슨, 소스빌라-리베로(1990)에 의해 제안된 다양한 검정 전략(일련의 순서 검정) 및 엔더스(2004)에 의해 제안된 전략들이 있으며, 종종 자기상관을 제거하기 위한 ADF 확장이 포함된다. 엘더와 케네디(2001)는 다른 검정 전략에서 발생할 수 있는 단위근에 대한 이중 및 삼중 검정을 피하는 간단한 검정 전략을 제시하고, y의 장기 성장(또는 축소) 존재 여부에 대한 사전 지식을 사용하는 방법을 논의한다. 해커와 하테미-J(2010)는 이러한 문제에 대한 컴퓨터 시뮬레이션 결과를 제공하며, 엔더스(2004)와 엘더 및 케네디(2001)의 단위근 검정 전략을 포함하는 시뮬레이션도 다룬다. 해커(2010)는 정보 기준(슈바르츠 정보 기준과 같은)을 사용하는 것이 디키-풀러 프레임워크 내에서 단위근 및 추세 상태를 결정하는 데 유용할 수 있음을 나타내는 시뮬레이션 결과를 제시한다.

같이 보기

• KPSS 검정
• 필립스-페론 검정

추가 자료

• Enders, Walter (2010). 《Applied Econometric Time Series》 Thi판. New York: Wiley. 206–215쪽. ISBN 978-0470-50539-7. 
• Hatanaka, Michio (1996). 《Time-Series-Based Econometrics: Unit Roots and Cointegration》. New York: Oxford University Press. 48–49쪽. ISBN 978-0-19-877353-5. 

외부 링크

• 단위근 검정을 위한 통계표 – 디키-풀러 표
• 엑셀을 사용하여 디키-풀러 검정을 수행하는 방법