해석학 에서 루진의 정리 (Лузин의定理, 영어 : Luzin's theorem )는 가측 함수 가 거의 어디서나 연속 함수 라는 정리이다.
라돈 측도
μ
{\displaystyle \mu }
하우스도르프 공간
X
{\displaystyle X}
보렐 시그마 대수 를 갖춘) 제2 가산 공간
Y
{\displaystyle Y}
가측 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
에 대하여, 만약
μ
(
X
)
<
∞
{\displaystyle \mu (X)<\infty }
루진의 정리 에 따르면 임의의 양의 실수
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
닫힌 집합
X
ϵ
⊂
X
{\displaystyle X_{\epsilon }\subset X}
μ
(
X
∖
X
ϵ
)
<
ϵ
{\displaystyle \mu (X\setminus X_{\epsilon })<\epsilon }
f
|
X
ϵ
:
X
ϵ
→
Y
{\displaystyle f|_{X_{\epsilon }}\colon X_{\epsilon }\to Y}
연속 함수 이다.만약
X
{\displaystyle X}
국소 콤팩트 공간 이라면, 임의의 양의 실수
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
콤팩트 집합
X
ϵ
{\displaystyle X_{\epsilon }}
연속 함수
f
ϵ
:
X
→
Y
{\displaystyle f_{\epsilon }\colon X\to Y}
μ
(
X
∖
X
ϵ
)
<
ϵ
{\displaystyle \mu (X\setminus X_{\epsilon })<\epsilon }
f
|
X
ϵ
=
f
ϵ
|
X
ϵ
{\displaystyle f|_{X_{\epsilon }}=f_{\epsilon }|_{X_{\epsilon }}}
실수 구간의 경우, 다음과 같은 형태의 루진 정리가 성립한다. 임의의 함수
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
동치 이다.
f
{\displaystyle f}
가측 함수 이다. 여기서 정의역은 르베그 측도 , 공역은 보렐 시그마 대수 를 갖춘다.임의의 양의 실수
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
μ
(
{
x
∈
[
a
,
b
]
:
f
(
x
)
≠
f
ϵ
(
x
)
}
)
<
ϵ
{\displaystyle \mu (\{x\in [a,b]\colon f(x)\neq f_{\epsilon }(x)\})<\epsilon }
연속 함수
f
ϵ
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f_{\epsilon }\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
니콜라이 루진 이 증명하였다.[ 1]
↑ Lusin, N.N. (1912). “Sur les propriétés des fonctions mesurables”. 《Comptes Rendus de l’Académie des Sciences권=154》 (프랑스어): 1688–1690. Zbl 43.0484.04 .
김성기, 계승혁, 《실해석》, 서울대학교출판부, 2002. 
![{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ab61178bf5349838758ffe3d96135406ed0245)
![{\displaystyle \mu (\{x\in [a,b]\colon f(x)\neq f_{\epsilon }(x)\})<\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e70e39dd0d2e2e8d49a5f25da61d747447ff58e)
![{\displaystyle f_{\epsilon }\colon [a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d8f013d31c6a75e04343d88ee8c50f4b539b230)