리만-스틸티어스 적분

수학에서 리만-스틸티어스 적분(Riemann–Stieltjes integral)은 베른하르트 리만과 토마스 요아너스 스틸티어스의 이름을 따서 명명된 리만 적분의 일반화이다. 이 적분의 정의는 스틸티어스에 의해 1894년에 처음 출판되었다. 이는 르베그 적분의 유익하고 유용한 전신 역할을 하며, 이산 확률과 연속 확률에 적용되는 통계 정리의 동등한 형태를 통합하는 데 귀중한 도구이다.

형식적 정의

구간 $[a,b]$에서 실수 변수의 실수 값 함수 $f$에 대한 또 다른 실함수 $g$에 대한 리만-스틸티어스 적분은 다음과 같이 표기한다.

$\int _{x=a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x).$

그 정의는 구간 $[a,b]$의 분할 $P$의 수열을 사용한다.

$P=\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b\}.$

적분은 분할의 메시 (가장 긴 부분 구간의 길이)가 $0$에 접근할 때 다음 근사합의 극한으로 정의된다.

$S(P,f,g)=\sum _{i=1}^{n}f(c_{i})\left[g(x_{i})-g(x_{i-1})\right]$

여기서 $c_{i}$는 $i$-번째 부분 구간 $[x_{i-1},x_{i}]$에 있다. 두 함수 $f$와 $g$는 각각 피적분함수와 적분함수라고 불린다. 일반적으로 $g$는 단조 (또는 적어도 유계 변동)이고 우반연속으로 간주된다 (그러나 마지막은 본질적으로 관례이다). 우리는 특히 $g$가 연속적일 것을 요구하지 않으며, 이는 점 질량 항을 갖는 적분을 허용한다.

여기서 "극한"은 모든 ε > 0에 대해 δ > 0이 존재하여, 메시(P) < δ인 모든 분할 P와 [x_i−1, x_i]의 점 c_i의 모든 선택에 대해 다음을 만족하는 숫자 A (리만-스틸티어스 적분의 값)로 이해된다.

$|S(P,f,g)-A|<\varepsilon .\,$

속성

리만-스틸티어스 적분은 다음과 같은 형태의 부분 적분을 허용한다.

$$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} f(x)$$

그리고 어느 한쪽 적분의 존재는 다른 쪽 적분의 존재를 의미한다.

다른 한편으로, 고전적인 결과는 f가 α-횔더 연속이고 g가 β-횔더 연속이며 α + β > 1인 경우 적분이 잘 정의됨을 보여준다.

만약 $f(x)$가 $[a,b]$에서 유계이고, $g(x)$가 단조적으로 증가하며, $g'(x)$가 리만 적분 가능하면, 리만-스틸티어스 적분은 리만 적분과 다음과 같이 관련된다. $$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x$$

계단 함수 $$g(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x\leq s\\1&{\text{if }}x>s\\\end{cases}}$$ 에 대해, $a<s<b$이고 $f$가 $s$에서 연속이면, $$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=f(s)$$

확률론에의 응용

만약 g가 르베그 측도에 대한 확률 밀도 함수를 갖는 확률 변수 X의 누적 분포 함수이고, f가 기댓값 $\operatorname {E} \left[\,\left|f(X)\right|\,\right]$이 유한한 어떤 함수라면, X의 확률 밀도 함수는 g의 도함수이며 우리는 다음을 갖는다.

$\operatorname {E} [f(X)]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x.$

그러나 이 공식은 X가 르베그 측도에 대한 확률 밀도 함수를 갖지 않는 경우에는 작동하지 않는다. 특히, X의 분포가 이산적 (즉, 모든 확률이 점 질량으로 설명됨)인 경우에는 작동하지 않으며, 누적 분포 함수 g가 연속적이더라도 g가 절대 연속이 아닌 경우에는 작동하지 않는다 (이 경우에도 칸토어 함수가 이러한 실패의 예시가 될 수 있다). 그러나 다음 항등식은

$\operatorname {E} [f(X)]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} g(x)$

g가 아무리 나쁜 동작을 보이더라도 실수 선상의 모든 누적 확률 분포 함수에 대해 성립한다. 특히, 확률 변수 X의 누적 분포 함수 g가 아무리 나쁜 동작을 보이더라도, 모멘트 E(Xⁿ)이 존재한다면, 이는 다음과 같다.

$\operatorname {E} \left[X^{n}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,\mathrm {d} g(x).$

함수해석학에의 응용

리만-스틸티어스 적분은 F. 리즈의 정리의 원래 공식화에 나타나는데, 이는 구간 [a,b]에서 연속 함수들의 바나흐 공간 C[a,b]의 쌍대 공간을 유계 변동 함수의 함수에 대한 리만-스틸티어스 적분으로 표현한다. 나중에, 그 정리는 측도의 관점에서 재구성되었다.

리만-스틸티어스 적분은 또한 힐베르트 공간에서 (비콤팩트) 자기수반 (또는 더 일반적으로, 정규) 연산자에 대한 스펙트럼 정리의 공식화에 나타난다. 이 정리에서 적분은 사영의 스펙트럼 패밀리에 대해 고려된다.

적분의 존재

가장 좋은 간단한 존재 정리는 f가 연속이고 g가 [a, b]에서 유계 변동 함수이면 적분이 존재한다는 것이다. 부분 적분 공식 때문에, f와 g에 대한 조건이 반전되어도 적분은 존재한다. 즉, f가 유계 변동 함수이고 g가 연속인 경우에도 적분은 존재한다.

함수 g는 두 (유계) 단조 함수 간의 차이일 때만 유계 변동 함수이다. 만약 g가 유계 변동 함수가 아니라면, g에 대해 적분할 수 없는 연속 함수들이 존재할 것이다. 일반적으로, f와 g가 불연속점을 공유하는 경우 적분은 잘 정의되지 않지만, 다른 경우도 있다.

기하학적 해석

x, f(x), g(x)가 모두 직교 축을 따라 있는 3차원 플롯은 리만-스틸티어스 적분의 기하학적 해석으로 이어진다.

리만-스틸티어스 적분의 기본 기하학.

g(x)-x 평면이 수평이고 f(x) 방향이 위로 향하고 있다면, 고려해야 할 표면은 구부러진 울타리와 같다. 울타리는 g(x)에 의해 그려진 곡선을 따르고, 울타리의 높이는 f(x)에 의해 주어진다. 울타리는 g(x)-x 평면과 f(x)-시트 사이에 경계가 있는 g(x)-시트 (즉, f(x) 축을 따라 확장된 g(x) 곡선)의 섹션이다. 리만-스틸티어스 적분은 이 울타리의 f(x)-g(x) 평면으로의 투영의 면적이다 — 사실상, 그 "그림자"이다. g(x)의 기울기는 투영의 면적에 가중치를 부여한다. g(x)가 가장 가파른 기울기 g'(x)를 갖는 x 값은 더 큰 투영을 갖는 울타리의 영역에 해당하며, 따라서 적분에서 가장 큰 가중치를 갖는다.

g(x)의 곡률이 리만-스틸티어스 적분의 기하학에 미치는 영향.

g가 계단 함수일 때 $$g(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x\leq s\\1&{\text{if }}x>s\\\end{cases}}$$

울타리는 너비 1, 높이 f(s)와 같은 직사각형 "문"을 갖는다. 따라서 문과 그 투영은 리만-스틸티어스 적분 값인 f(s)와 같은 면적을 갖는다.

계단 함수 $g(x)$가 리만-스틸티어스 적분 기하학에 미치는 영향.

일반화

중요한 일반화는 르베그-스틸티어스 측도로, 이는 르베그 적분이 리만 적분을 일반화하는 방식과 유사하게 리만-스틸티어스 적분을 일반화한다. 만약 이상 적분 리만-스틸티어스 적분이 허용된다면, 르베그 적분은 리만-스틸티어스 적분보다 엄격하게 더 일반적이지 않다.

리만-스틸티어스 적분은 피적분함수 ƒ 또는 적분함수 g가 바나흐 공간에 값을 취하는 경우에도 일반화된다. 만약 g : [a,b] → X가 바나흐 공간 X에 값을 취한다면, 이는 강하게 유계 변동이라고 가정하는 것이 자연스러운데, 이는 다음과 같다.

$\sup \sum _{i}{\|g(t_{i-1})-g(t_{i})\|}_{X}<\infty$

최대값은 구간 [a,b]의 모든 유한 분할

$a=t_{0}\leq t_{1}\leq \cdots \leq t_{n}=b$

에 대해 취해진다. 이 일반화는 라플라스-스틸티어스 변환을 통해 반군 연구에 중요한 역할을 한다.

이토 적분은 리만-스틸티어스 적분을 단순 함수가 아닌 확률 과정인 피적분함수와 적분함수를 포함하도록 확장한다. 확률미적분학도 참조하라.

일반화된 리만-스틸티어스 적분

약간의 일반화는 위의 정의에서 P_ε를 정제하는 분할 P를 고려하는 것이다. 즉, P가 더 미세한 메시를 가진 분할에서 발생하는 것이 아니라 P_ε에 점을 추가하여 발생한다는 의미이다. 구체적으로, g에 대한 f의 일반화된 리만-스틸티어스 적분은 모든 ε > 0에 대해 P_ε가 존재하여, P_ε를 정제하는 모든 분할 P에 대해,

$|S(P,f,g)-A|<\varepsilon \,$

[x_i, x_i+1]에서 점 c_i의 모든 선택에 대해 A라는 숫자를 의미한다.

이 일반화는 리만-스틸티어스 적분을 [a, b]의 분할의 상향 원순서 집합에 대한 무어-스미스 극한으로 나타낸다.

결과적으로 이 정의를 사용하면, f와 g가 공통 불연속점을 가질 수 있는 경우에도 ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)}$ 적분을 정의할 수 있다.

다르부 합

리만-스틸티어스 적분은 다르부 합의 적절한 일반화를 사용하여 효율적으로 처리할 수 있다. [a, b]에서 분할 P와 비감소 함수 g에 대해 g에 대한 f의 상 다르부 합을 다음과 같이 정의한다.

$$U(P,f,g)=\sum _{i=1}^{n}\,\,[\,g(x_{i})-g(x_{i-1})\,]\,\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x)$$

그리고 하 다르부 합을 다음과 같이 정의한다.

$$L(P,f,g)=\sum _{i=1}^{n}\,\,[\,g(x_{i})-g(x_{i-1})\,]\,\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x).$$

그러면 g에 대한 f의 일반화된 리만-스틸티어스 적분은 모든 ε > 0에 대해 다음을 만족하는 분할 P가 존재할 때만 존재한다.

$U(P,f,g)-L(P,f,g)<\varepsilon .$

또한, f는 다음을 만족할 때 g에 대해 리만-스틸티어스 적분 가능(고전적 의미에서)하다.

$\lim _{\operatorname {mesh} (P)\to 0}[\,U(P,f,g)-L(P,f,g)\,]=0.\quad$

예시 및 특수 사례

미분 가능한 g(x)

$\mathbb {R}$에서 연속적으로 미분 가능한 $g(x)$가 주어지면 다음 등식이 성립함을 보일 수 있다.

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x$

여기서 우변의 적분은 표준 리만 적분이며, $f$가 리만-스틸티어스 적분으로 적분될 수 있다고 가정한다.

더 일반적으로, g가 그 도함수의 르베그 적분일 경우 리만 적분은 리만-스틸티어스 적분과 같다. 이 경우 g는 절대 연속이라고 한다.

g는 불연속점을 가질 수 있거나, 연속적이고 증가하면서 거의 모든 곳에서 도함수가 0일 수 있다 (예를 들어, g는 칸토어 함수 또는 "악마의 계단"일 수 있다). 이 두 경우 모두 리만-스틸티어스 적분은 g의 도함수를 포함하는 어떤 표현으로도 포착되지 않는다.

리만 적분

표준 리만 적분은 $g(x)=x$인 리만-스틸티어스 적분의 특수한 경우이다.

정류기

신경망 연구에서 사용되는 함수 $g(x)=\max\{0,x\}$를 고려하자. 이는 정류 선형 단위라고 불린다. 그러면 리만-스틸티어스 적분은 다음과 같이 평가할 수 있다.

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=\int _{g(a)}^{g(b)}f(x)\,\mathrm {d} x$

여기서 우변의 적분은 표준 리만 적분이다.

카발리에리 적분

함수 $f(x)=(2x+8)^{3}$에 대한 카발리에리 적분 시각화

카발리에리의 원리는 리만-스틸티어스 적분을 사용하여 곡선으로 둘러싸인 면적을 계산하는 데 사용될 수 있다. 리만 적분의 적분 스트립은 비직사각형 모양의 스트립으로 대체된다. 이 방법은 "카발리에리 영역"을 변환 $h$로 변환하거나, $g=h^{-1}$를 피적분함수로 사용하는 것이다.

구간 $[a,b]$에서 주어진 함수 $f(x)$에 대해, "변환 함수" $a(y)$는 구간 내 어떤 이동에 대해서도 $(x,f(x))$와 정확히 한 번 교차해야 한다. "카발리에리 영역"은 $f(x),a(y)$, $x$-축, 그리고 $b(y)=a(y)+(b-a)$로 둘러싸인다. 그러면 영역의 면적은 다음과 같다.

$\int _{a(y)}^{b(y)}f(x)\,dx\ =\ \int _{a'}^{b'}f(x)\,dg(x),$

여기서 $a'$와 $b'$는 $a(y)$와 $b(y)$가 $f(x)$와 교차하는 $x$-값이다.

각주

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