모델-베유 군

산술 기하에서 모델–베유 군은 수체 $K$ 위에 정의된 모든 아벨 버라이어티 $A$ 와 관련된 아벨 군이다. 이는 아벨 버라이어티의 산술 불변량이다. 그것은 단순히 $A$ 의 $K$ -점들의 군이다. 그래서 $A(K)$ 가 모델–베유 군이다^[1]^[2]^{pg 207}. 이 군에 대한 주요 구조 정리는 이 군이 실제로 유한 생성 아벨 군임을 보여주는 모델-베유 정리이다. 또한 이 군과 관련된 많은 추측이 있는데, 예를 들어, $A(K)$ 의 랭크와 특정 점에서 연관된 L-함수의 근을 연관시키는 버치-스위너턴다이어 추측이 있다.

예

아벨 버라이어티의 모델–베유 군의 명시적^[3] 예를 구성하는 것은 항상 성공이 보장되지는 않는 중요한 과정이므로 대신 특정 타원 곡선 $E/\mathbb {Q}$ 의 경우를 보겠다. $E$ 가 유리수 체 위에서 바이어스트라스 방정식

$y^{2}=x(x-6)(x+6)$

으로 정의된 타원곡선이라 하자. 이는 판별식 $\Delta _{E}=2^{12}\cdot 3^{6}$ 를 갖는다. (그리고 이 다항식은 대역 모델 ${\mathcal {E}}/\mathbb {Z}$ 을 정의하는 데 사용될 수 있다. ). 이는^[3]

$E(\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /2\times \mathbb {Z} /2\times \mathbb {Z}$

임을 다음 절차를 통해 보일 수 있다. 먼저, 몇 가지 숫자를 연결하여 몇 가지 명백한 비틀림 점을 찾는다:

$\infty ,(0,0),(6,0),(-6,0)$

더욱이, 더 작은 정수 쌍을 시도한 후에 $(-3,9)$ 을 발견했다. 이는 분명히 비틀림이 아닌 점이다. $E(\mathbb {Q} )$ 의 비틀림 부분을 찾는 데 유용한 결과 중 하나는 $p$ 와 서로소인 비틀림이다. $E(\mathbb {Q} )_{\mathrm {tors} ,p}$ 로 나타내는 $p$ 로의 좋은 축소를 가지는 $E$ 에 대해, $E(\mathbb {F} _{p})$ 로 가는 단사

$E(\mathbb {Q} )_{\mathrm {tors} ,p}\hookrightarrow E(\mathbb {F} _{p})$

두 개의 소수 $p=5,7$ 를 확인하고 집합의 기수를 계산한다.

${\begin{aligned}\#E(\mathbb {F} _{5})&=8=2^{3}\\\#E(\mathbb {F} _{7})&=12=2^{2}\cdot 3\end{aligned}}$

두 소수 모두 $2^{2}$ 만 포함하기 때문에 주의하라. 우리는 비틀림 점을 모두 찾았다. 게다가 우리는 점 $(-3,9)$ 을 알고 있다 그렇지 않으면 두 크기가 공유하는 소인수를 가지기 때문에 랭크는 무한이다. 따라서 랭크는 최소한 $1$ . 이제 랭크를 계산하는 것은 군 계산 $E(\mathbb {Q} )/2E(\mathbb {Q} )\cong (\mathbb {Z} /2)^{r+2}$ , 여기서 $r=\operatorname {rank} (E(\mathbb {Q} ))$ 으로 구성된 더 힘든 과정이다. 호몰로지 대수학 및 쿰머 사상의 긴 완전열을 사용한다.

특별한 경우에 관한 정리

특정 차원의 아벨 버라이어티, 특정 체 또는 기타 특별한 속성을 갖는 모델-베유 군의 구조에 대한 많은 정리가 문헌에 있다.

유리함수체 k(t) 위의 아벨 버라이어티

고정 체 $k$ 에 대해 정의된 초타원 곡선 $C$ 과 아벨리안 버라이어티 $A$ 에 대해, $A|_{k(t)}$ 의 비틀림을 $A_{b}$ 로 표시하자. ( $A$ 를 함수체 $k(t)=k(\mathbb {P} ^{1})$ 로 당김) 덮개 사상 $f:C\to \mathbb {P} ^{1}$ 과 관련된 체 확대의 갈루아 코호몰로지에 대해 1-여순환

$b\in Z^{1}(\operatorname {Gal} (k(C)/k(t)),{\text{Aut}}(A))$

$G=\operatorname {Gal} (k(C)/k(t)\cong \mathbb {Z} /2$ 임을 주의하라. 이는 사상이 초타원형이라는 점에서 유래한다. 더 명확하게 말하면, 이 1-여순환은 군 사상으로 제공된다.

$G\times G\to \operatorname {Aut} (A)$

보편 성질을 사용하는 것은 두 개의 사상 $G\to {\text{Aut}}(A)$ 을 제공하는 것과 같다. 따라서 우리는 그것을 사상

$b=(b_{id},b_{\iota })$

으로 쓸 수 있다. 여기서 $b_{id}$ 는 포함 사상이고 $b_{\iota }$ 는 네거티브 $\operatorname {Id} _{A}$ 로 보내진다. 이것은 대수 기하학의 일반 이론을 사용하여^[4] ^{pg 5} $k(t)$ 위의 비틀린 아벨 버라이어티 $A_{b}$ 를 정의하는 데 사용될 수 있다. 특히, 이 구성의 보편 성질으로부터, $k(t)$ 위의 $A_{b}$ 는 기저체를 $k(C)$ 로 바꾸면 $A|_{k(C)}$ 와 동형인 아벨 버라이어티이다.