바시첵 모형

T=0(보라색) 및 이후 두 시점에서의 단기 이자율 궤적 및 해당 수익률 곡선

금융에서 바시첵 모형(영어: Vasicek model)은 이자율의 변화를 설명하는 수학적 모델이다. 이 모형은 이자율 움직임이 단 하나의 시장위험 요인에 의해 좌우된다고 설명하는 단일 요인 단기 이자율 모형의 한 유형이다. 이 모형은 이자율 파생상품의 가치 평가에 사용될 수 있으며, 신용 시장에도 적용되었다. 1977년 올드리히 바시첵이 소개했으며, 확률적 투자 모형으로도 볼 수 있다.

상세 내용

이 모형은 순간 이자율이 다음의 확률미분방정식을 따른다고 명시한다.

$dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}$

여기서 W_t는 임의의 시장 위험 요인을 모델링하는 위험 중립 프레임워크 하의 위너 확률 과정으로, 시스템으로의 무작위성의 지속적인 유입을 모델링한다. 표준 편차 매개변수 $\sigma$는 이자율의 변동성을 결정하며, 순간 무작위성 유입의 진폭을 특성화한다. 일반적인 매개변수 $b,a$ 및 $\sigma$는 초기 조건 $r_{0}$와 함께 동역학을 완전히 특성화하며, $a$가 음수가 아니라고 가정할 때 다음과 같이 빠르게 특성화할 수 있다.

• $b$: "장기 평균 수준". $r$의 모든 미래 궤적은 장기적으로 평균 수준 b를 중심으로 진화한다.
• $a$: "회귀 속도". $a$는 이러한 궤적들이 시간 내에 $b$를 중심으로 재편성되는 속도를 특성화한다.
• $\sigma$: "순간 변동성". 시스템으로 유입되는 무작위성의 진폭을 순간적으로 측정한다. $\sigma$가 높을수록 무작위성이 더 많음을 의미한다.

다음 파생된 양도 흥미롭다.

• ${\sigma ^{2}}/(2a)$: "장기 분산". $r$의 모든 미래 궤적은 오랜 시간 후 그러한 분산을 가진 장기 평균을 중심으로 재편성된다.

$a$와 $\sigma$는 서로 반대되는 경향이 있다. $\sigma$를 증가시키면 시스템으로 유입되는 무작위성의 양이 증가하지만, 동시에 $a$를 증가시키면 시스템이 $a$에 의해 결정되는 분산의 회랑과 함께 장기 평균 $b$ 주변에서 통계적으로 안정화되는 속도가 증가한다. 이는 장기 분산을 볼 때 분명해진다.

${\frac {\sigma ^{2}}{2a}}$

이는 $\sigma$와 함께 증가하지만 $a$와 함께 감소한다.

이 모형은 오른슈타인-울렌벡 확률 과정이다.

논의

바시첵 모형은 평균 회귀, 즉 이자율을 다른 금융 가격과 구별하는 본질적인 특성을 포착한 최초의 모형이다. 따라서 예를 들어 보통주 가격과는 달리 이자율은 무한정 상승할 수 없다. 이는 이자율이 매우 높은 수준에서는 경제 활동을 방해하여 이자율 하락을 유도하기 때문이다. 마찬가지로 이자율은 일반적으로 0 미만으로 크게 떨어지지 않는다. 결과적으로 이자율은 제한된 범위 내에서 움직이며 장기적인 가치로 회귀하는 경향을 보인다.

드리프트 요인 $a(b-r_{t})$는 시간 t에서의 이자율의 예상 순간 변화를 나타낸다. 매개변수 b는 이자율이 회귀하는 장기 평형 값을 나타낸다. 실제로, 충격이 없을 경우 ($dW_{t}=0$), r_t = b일 때 이자율은 일정하게 유지된다. 조정 속도를 제어하는 매개변수 a는 장기 값 주변의 안정성을 보장하기 위해 양수여야 한다. 예를 들어, r_t가 b 미만일 때, 드리프트 항 $a(b-r_{t})$는 양수 a에 대해 양수가 되어 이자율이 위쪽으로 (평형 쪽으로) 이동하는 경향을 생성한다.

주요 단점은 바시첵 모형 하에서 이론적으로 이자율이 음수가 될 수 있다는 점인데, 이는 위기 이전 가정에서는 바람직하지 않은 특징이다. 이러한 단점은 콕스-잉거솔-로스 모형, 지수 바시첵 모형, 블랙-더만-토이 모형 및 블랙-카라신스키 모형 등 많은 다른 모형에서 수정되었다. 바시첵 모형은 헐-화이트 모형에서 더 확장되었다. 바시첵 모형은 또한 콕스-잉거솔-로스 모형과 함께 아핀 기간 구조 모형의 표준적인 예시이기도 하다. 최근 연구에서는 두 모형 모두 데이터 분할 및 예측에 사용되었다.

점근 평균 및 분산

확률미분방정식을 풀면 다음을 얻는다.

$r_{t}=r_{0}e^{-at}+b\left(1-e^{-at}\right)+\sigma e^{-at}\int _{0}^{t}e^{as}\,dW_{s}.\,\!$

오른슈타인-울렌베크 확률 과정에 적용된 것과 유사한 기법을 사용하여 상태 변수가 평균과 함께 정규 분포를 따른다는 것을 얻는다.

$\mathrm {E} [r_{t}]=r_{0}e^{-at}+b(1-e^{-at})$

및 분산

$\mathrm {Var} [r_{t}]={\frac {\sigma ^{2}}{2a}}(1-e^{-2at}).$

결과적으로, 다음을 얻는다.

$\lim _{t\to \infty }\mathrm {E} [r_{t}]=b$

및

$\lim _{t\to \infty }\mathrm {Var} [r_{t}]={\frac {\sigma ^{2}}{2a}}.$

채권 가격 결정

무차익거래 가정 하에서 할인채는 바시첵 모형에서 가격이 결정될 수 있다. 만기일 $T$를 가진 할인채의 시간 $t$ 가치는 이자율에 대해 지수적으로 아핀이다.

$P(t,T)=A(t,T)e^{-B(t,T)r(t)}$

여기서

$B(t,T)={\frac {1-e^{-a(T-t)}}{a}}$

$A(t,T)=\exp \left\{\left(b-{\frac {\sigma ^{2}}{2a^{2}}}\right)\left[B(t,T)-(T-t)\right]-{\frac {\sigma ^{2}}{4a}}B^{2}(t,T)\right\}$

같이 보기

• 오른슈타인-울렌벡 과정
• 헐-화이트 모형
• 콕스-잉거솔-로스 모형

각주

• Hull, John C. (2003). 《Options, Futures and Other Derivatives》. Upper Saddle River, NJ: 프렌티스 홀. ISBN 978-0-13-009056-0. 
• Damiano Brigo, Fabio Mercurio (2001). 《Interest Rate Models – Theory and Practice with Smile, Inflation and Credit》 2 2006판. Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4. 
• Jessica James, Nick Webber (2000). 《Interest Rate Modelling》. Wiley. ISBN 978-0-471-97523-6. 

외부 링크

• The Vasicek Model 보관됨 2010-02-16 - 웨이백 머신, Bjørn Eraker, Wisconsin School of Business
• Yield Curve Estimation and Prediction with the Vasicek Model, D. Bayazit, Middle East Technical University