사토 초함수

수학에서 사토 초함수 또는 초함수(hyperfunction)는 함수를 일반화한 것으로, 경계에서 하나의 정칙 함수에서 다른 정칙 함수로 '도약'하는 것을 의미하며, 비공식적으로는 무한 차수의 분포로 생각될 수 있다. 초함수는 사토 미키오가 1958년에 일본어로 (영어로는 1959년, 1960년) 도입했으며, 로랑 슈바르츠, 그로텐디크 등의 선행 연구를 바탕으로 발전했다.

공식화

실직선 상의 초함수는 상반평면에 정의된 하나의 정칙 함수와 하반평면에 정의된 다른 정칙 함수의 '차이'로 생각할 수 있다. 즉, 초함수는 (f, g) 쌍으로 지정되는데, 여기서 f는 상반평면의 정칙 함수이고 g는 하반평면의 정칙 함수이다.

비공식적으로, 초함수는 실직선 자체에서 $f-g$ 의 차이이다. 이 차이는 f와 g에 동일한 정칙 함수를 더해도 영향을 받지 않으므로, h가 전체 복소평면에서 정칙 함수라면 초함수 (f, g)와 (f + h, g + h)는 동등한 것으로 정의된다.

1차원에서의 정의

이러한 동기는 층 코호몰로지의 아이디어를 사용하여 구체적으로 구현될 수 있다. ${\mathcal {O}}$ 를 $\mathbb {C} .$ 상의 정칙 함수의 층이라고 하자. 실직선 상의 초함수를 첫 번째 국소 코호몰로지 군으로 정의한다:

{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )=H_{\mathbb {R} }^{1}(\mathbb {C} ,{\mathcal {O}}).

구체적으로, $\mathbb {C} ^{+}$ 와 $\mathbb {C} ^{-}$ 를 각각 상반평면과 하반평면이라고 하자. 그러면 $\mathbb {C} ^{+}\cup \mathbb {C} ^{-}=\mathbb {C} \setminus \mathbb {R}$ 이므로

H_{\mathbb {R} }^{1}(\mathbb {C} ,{\mathcal {O}})=\left[H^{0}(\mathbb {C} ^{+},{\mathcal {O}})\oplus H^{0}(\mathbb {C} ^{-},{\mathcal {O}})\right]/H^{0}(\mathbb {C} ,{\mathcal {O}}).

어떤 층의 0번째 코호몰로지 군은 단순히 그 층의 전체 단면이므로, 초함수는 상부 복소수 반평면과 하부 복소수 반평면에 각각 하나씩 있는 한 쌍의 정칙 함수를 전체 정칙 함수를 법으로 하여 정의된다는 것을 알 수 있다.

더 일반적으로, $U\subseteq \mathbb {R}$ 인 임의의 열린집합 $U$ 에 대해 ${\mathcal {B}}(U)$ 를 몫 $H^{0}({\tilde {U}}\setminus U,{\mathcal {O}})/H^{0}({\tilde {U}},{\mathcal {O}})$ 로 정의할 수 있다. 여기서 ${\tilde {U}}\subseteq \mathbb {C}$ 는 ${\tilde {U}}\cap \mathbb {R} =U$ 인 임의의 열린집합이다. 이 정의는 ${\tilde {U}}$ 의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있으며, 이는 초함수를 정칙 함수의 "경계값"으로 생각하는 또 다른 이유를 제공한다.

예시

f가 전체 복소평면에서 정칙 함수이면, f의 실수 축으로의 제한은 (f, 0) 또는 (0, -f)로 표현되는 초함수이다.
단위 계단 함수는 $H(x)=\left(1-{\frac {1}{2\pi i}}\log(z),-{\frac {1}{2\pi i}}\log(z)\right).$ 로 표현될 수 있다. 여기서 $\log(z)$ 는 $z$ 의 복소 로그의 주값이다.
디랙 델타 "함수"는 $\left({\dfrac {1}{2\pi iz}},{\dfrac {1}{2\pi iz}}\right).$ 로 표현된다. 이는 코시 적분 공식의 재진술이다. 이를 확인하기 위해 실수 선 바로 아래의 f 적분을 계산하고 실수 선 바로 위의 g 적분을 빼면 된다. 둘 다 왼쪽에서 오른쪽으로 진행한다. 초함수는 구성 요소가 동일한 함수의 해석적 연속이더라도 자명하지 않을 수 있다는 점에 유의해야 한다. 또한 이는 헤비사이드 함수를 미분하여 쉽게 확인할 수 있다.
I를 유계 구간으로 포함하는 지지집합을 가진 실직선 상의 연속 함수 (또는 더 일반적으로 분포) g에 대해, g는 (f, -f)에 대응한다. 여기서 f는 I의 보집합에서 정의된 정칙 함수이며, $f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{x\in I}g(x){\frac {1}{z-x}}\,dx.$ 로 주어진다. 이 함수 f는 x점에서 실수 축을 가로지를 때 g(x)만큼 값이 변화한다. f에 대한 공식은 g를 디랙 델타 함수와의 합성곱으로 작성함으로써 이전 예시로부터 얻을 수 있다.
단위 분할을 사용하여 모든 연속 함수(분포)를 콤팩트 지지집합을 갖는 함수(분포)들의 국소 유한 합으로 쓸 수 있다. 이를 이용하여 위 임베딩을 $\textstyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )\to {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).$ 로 확장할 수 있다.
f가 0에서 본질적 특이점을 제외하고 모든 곳에서 정칙 함수인 경우(예: e^1/z), $(f,-f)$ 는 지지집합 0을 갖는 초함수이지만 분포는 아니다. f가 0에서 유한 차수의 극을 갖는다면 $(f,-f)$ 는 분포이며, 따라서 f가 본질적 특이점을 갖는다면 $(f,-f)$ 는 0에서 "무한 차수의 분포"처럼 보인다. (분포는 항상 어떤 점에서 유한 차수를 갖는다.)

초함수의 연산

$U\subseteq \mathbb {R}$ 가 임의의 열린 부분집합이라고 하자.

정의에 따라 ${\mathcal {B}}(U)$ 는 덧셈과 복소수 곱셈이 잘 정의된 벡터 공간이다. 명시적으로: $a(f_{+},f_{-})+b(g_{+},g_{-}):=(af_{+}+bg_{+},af_{-}+bg_{-})$
명백한 제한 사상은 ${\mathcal {B}}$ 를 층으로 만든다 (실제로는 말랑한 층이다).
실수 해석 함수 $h\in {\mathcal {O}}(U)$ 와의 곱셈 및 미분은 잘 정의된다: ${\begin{aligned}h(f_{+},f_{-})&:=(hf_{+},hf_{-})\\[6pt]{\frac {d}{dz}}(f_{+},f_{-})&:=\left({\frac {df_{+}}{dz}},{\frac {df_{-}}{dz}}\right)\end{aligned}}$ 이 정의로 ${\mathcal {B}}(U)$ 는 D가군이 되고, ${\mathcal {D}}'\hookrightarrow {\mathcal {B}}$ 임베딩은 D가군의 사상이 된다.
$a\in U$ 는 $f\in {\mathcal {B}}(U)$ 의 정칙점이라고 불리는데, 만약 $f$ 가 $a$ 의 어떤 작은 이웃에서 실수 해석 함수로 제한된다면 그렇다. 만약 $a\leqslant b$ 가 두 개의 정칙점이라면, 적분은 잘 정의된다: $\int _{a}^{b}f:=-\int _{\gamma _{+}}f_{+}(z)\,dz+\int _{\gamma _{-}}f_{-}(z)\,dz$ 여기서 $\gamma _{\pm }:[0,1]\to \mathbb {C} ^{\pm }$ 는 $\gamma _{\pm }(0)=a,\gamma _{\pm }(1)=b.$ 인 임의의 곡선이다. 상반평면과 하반평면이 단일 연결이므로 적분은 이 곡선들의 선택에 독립적이다.
콤팩트 지지집합을 갖는 초함수의 공간을 ${\mathcal {B}}_{c}(U)$ 라고 하자. 쌍선형 형식 ${\begin{cases}{\mathcal {B}}_{c}(U)\times {\mathcal {O}}(U)\to \mathbb {C} \\(f,\varphi )\mapsto \int f\cdot \varphi \end{cases}}$ 를 통해 콤팩트 지지집합을 갖는 각 초함수에 대해 ${\mathcal {O}}(U)$ 상의 연속 선형 함수를 연관시킨다. 이는 이중 공간인 ${\mathcal {O}}'(U),$ 와 ${\mathcal {B}}_{c}(U).$ 의 동형을 유도한다. 고려할 가치가 있는 특별한 경우는 콤팩트 지지집합을 갖는 연속 함수 또는 분포의 경우이다: 만약 $C_{c}^{0}(U)$ (또는 ${\mathcal {E}}'(U)$ )를 위 임베딩을 통해 ${\mathcal {B}}(U)$ 의 부분집합으로 간주하면, 이는 정확히 전통적인 르베그 적분을 계산한다. 또한: 만약 $u\in {\mathcal {E}}'(U)$ 가 콤팩트 지지집합을 갖는 분포이고, $\varphi \in {\mathcal {O}}(U)$ 가 실수 해석 함수이며, $\operatorname {supp} (u)\subset (a,b)$ 이면 $\int _{a}^{b}u\cdot \varphi =\langle u,\varphi \rangle .$ 따라서 이 적분 개념은 $\int _{a}^{b}\delta (x)\,dx$ 와 같은 형식적인 표현에 정확한 의미를 부여하며, 이는 일반적인 의미에서는 정의되지 않는다. 더욱이: 실수 해석 함수가 ${\mathcal {E}}(U)$ 에서 조밀하기 때문에 ${\mathcal {E}}'(U)$ 는 ${\mathcal {O}}'(U)$ 의 부분공간이다. 이는 동일한 임베딩 ${\mathcal {E}}'\hookrightarrow {\mathcal {B}}$ 의 다른 설명이다.
$\Phi :U\to V$ 가 $\mathbb {R}$ 의 열린집합들 사이의 실수 해석 사상이라면, $\Phi$ 와의 합성은 ${\mathcal {B}}(V)$ 에서 ${\mathcal {B}}(U)$ 로의 잘 정의된 연산자이다: $f\circ \Phi :=(f_{+}\circ \Phi ,f_{-}\circ \Phi )$

같이 보기

각주

Imai, Isao (2012) [1992], 《Applied Hyperfunction Theory》, Mathematics and its Applications (Book 8), Springer, ISBN 978-94-010-5125-5 .
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외부 링크

Jacobs, Bryan. “Hyperfunction” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“Hyperfunction” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.