슈발레-바르닝 정리

수론에서, 슈발레-바르닝 정리(영어: Chevalley–Warning theorem)는 변수가 많고 차수가 낮은 유한체 계수 연립 다항 방정식이 유일한 해를 가질 수 없다는 정리이다.

정의

$\mathbb {F} _{q}$가 표수가 $p$, 크기가 $q$인 유한체라고 하자. $f_{1},\dots ,f_{m}\in \mathbb {F} _{q}[t_{1},\dots ,t_{n}]$가 $d_{1},\dots ,d_{m}$차 다항식들이며,

$d_{1}+\cdots +d_{m}<n$

이라고 하자. 또한

$V(f_{1},\dots ,f_{m})=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {F} _{q}^{n}\colon f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})=\cdots =f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})=0\}$

이 이에 대응하는 연립 다항 방정식의 해의 집합이라고 하자. 슈발레-바르닝 정리에 따르면,

$p\mid \#V(f_{1},\dots ,f_{m})$

이다.^{:605, Theorem 1.1:273, Theorem 6.8} 즉, 체의 표수는 이 연립 다항 방정식의 해의 개수를 나눈다. 특히,

$\#V(f_{1},\dots ,f_{r})\neq 1$

이다. 즉, 이 연립 다항 방정식의 해는 존재하지 않거나, 2개 이상이다.

증명:

임의의 $i\in \{0,1,\dots ,q-2\}$에 대하여

$\sum _{x\in \mathbb {F} _{q}}x^{i}=0$

이다. 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 편의상 $i>0$이라고 하자. $\mathbb {F} _{q}$의 가역원군 $\mathbb {F} _{q}^{\times }$은 순환군이다. $a$가 그 생성 원소라고 하자. 그렇다면,

$\sum _{x\in \mathbb {F} _{q}}x^{i}=\sum _{j=0}^{q-2}(a^{j})^{i}={\frac {a^{i(q-1)}-1}{a^{i}-1}}=0$

이다.

만약 단항식 $t_{1}^{a_{1}}\cdots t_{n}^{a_{n}}$의 차수 $a_{1}+\cdots +a_{n}$이 $n(q-1)$ 미만이라면, $a_{i}<q-1$인 $i$가 존재하므로,

$\sum _{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {F} _{q}^{n}}x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{n}^{a_{n}}=\left(\sum _{x_{1}\in \mathbb {F} _{q}}x_{1}^{a_{1}}\right)\cdots \left(\sum _{x_{n}\in \mathbb {F} _{q}}x_{n}^{a_{n}}\right)=0$

이다.

만약 다항식 $f\in \mathbb {F} _{q}[t_{1},\dots ,t_{n}]$의 차수가 $n(q-1)$ 미만이라면, $f$는 차수가 $n(q-1)$ 미만인 단항식들의 $\mathbb {F} _{q}$-선형 결합이므로,

$\sum _{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {F} _{q}^{n}}f(x_{1},\dots ,x_{n})=0$

이다.

다항식

$f(t_{1},\dots ,t_{n})=\prod _{i=1}^{m}(1-f_{i}(t_{1},\dots ,t_{n})^{q-1})\in \mathbb {F} _{q}[t_{1},\dots ,t_{n}]$

을 생각하자. 그렇다면,

$f(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{cases}1&(x_{1},\dots ,x_{n})\in V(f_{1},\dots ,f_{m})\\0&(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {F} _{q}^{n}\setminus V(f_{1},\dots ,f_{m})\end{cases}}$

이며,

$\deg f=(q-1)\sum _{i=1}^{m}d_{i}<(q-1)n$

이다. 따라서,

$0=\sum _{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {F} _{q}^{n}}f(x_{1},\dots ,x_{n})=\#V(f_{1},\dots ,f_{m})\cdot 1_{\mathbb {F} _{q}}$

이다. 즉, $p\mid \#V(f_{1},\dots ,f_{r})$이다.

역사

1935년에 레너드 유진 딕슨과 에밀 아르틴은 차수가 변수 개수보다 작은 유한체 계수 동차 다항식이 자명하지 않은 해를 가진다고 추측하였다.

클로드 슈발레가 1935년 논문에서 슈발레-바르닝 정리의 약한 형태($\#V(f_{1},\dots ,f_{r})\neq 1$)를 증명하였다. 에발트 바르닝(영어: Ewald Warning, 1910~1999)이 1935년 논문에서 슈발레-바르닝 정리($p\mid \#V(f_{1},\dots ,f_{r})$)를 증명하였다. (두 논문은 같은 학술지 같은 호에 연이어 실렸다.)

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Chevalley’s theorem” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Chevalley–Warning theorem” (영어). 《PlanetMath》. 
• “Proofs of the Chevalley-Warning Theorem” (영어). 《MathOverflow》.