수학 에서 쌍입방 보간법 (Bicubic interpolation)은 입방 스플라인 보간 (데이터 세트에 입방 보간을 적용하는 방법)을 2차원 정규 격자 의 데이터 포인트를 보간 하기 위해 확장한 것이다. 보간된 표면(이미지가 아닌 커널 모양을 의미함)은 해당 쌍선형 보간법 또는 최근접 이웃 보간법 으로 얻은 표면보다 더 매끄럽다 . 쌍입방 보간법은 라그랑주 다항식 , 입방 스플라인 또는 입방 합성곱 알고리즘을 사용하여 수행할 수 있다.
영상 처리 에서 쌍입방 보간법은 속도가 문제가 되지 않을 때 이미지 리샘플링 에서 쌍선형 또는 최근접 이웃 보간법보다 자주 선택된다. 4개의 화소 (2×2)만 고려하는 쌍선형 보간법과 달리 쌍입방 보간법은 16개의 화소 (4×4)를 고려한다. 쌍입방 보간법으로 리샘플링된 이미지는 선택된 b 및 c 값에 따라 다른 보간 아티팩트 를 가질 수 있다.
25개의 단위 정사각형으로 패치된
[
0
,
4
]
×
[
0
,
4
]
{\displaystyle [0,4]\times [0,4]}
Matplotlib 의 구현에 따른 쌍입방 보간법. 색상은 함수 값을 나타낸다. 검은 점은 보간되는 지정된 데이터의 위치이다. 색상 샘플이 방사상으로 대칭이 아님에 유의하라. 위와 동일한 데이터 세트에 대한 쌍선형 보간법 . 표면의 도함수는 정사각형 경계에서 연속적이지 않다. 위와 동일한 데이터 세트에 대한 최근접 이웃 보간법 . 단위 정사각형의 네 모서리
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
(
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0)}
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
(
1
,
1
)
{\displaystyle (1,1)}
f
{\displaystyle f}
f
x
{\displaystyle f_{x}}
f
y
{\displaystyle f_{y}}
f
x
y
{\displaystyle f_{xy}}
p
(
x
,
y
)
=
∑
i
=
0
3
∑
j
=
0
3
a
i
j
x
i
y
j
.
{\displaystyle p(x,y)=\sum \limits _{i=0}^{3}\sum _{j=0}^{3}a_{ij}x^{i}y^{j}.}
보간 문제는 16개의 계수
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
p
(
x
,
y
)
{\displaystyle p(x,y)}
f
(
0
,
0
)
=
p
(
0
,
0
)
=
a
00
,
{\displaystyle f(0,0)=p(0,0)=a_{00},}
f
(
1
,
0
)
=
p
(
1
,
0
)
=
a
00
+
a
10
+
a
20
+
a
30
,
{\displaystyle f(1,0)=p(1,0)=a_{00}+a_{10}+a_{20}+a_{30},}
f
(
0
,
1
)
=
p
(
0
,
1
)
=
a
00
+
a
01
+
a
02
+
a
03
,
{\displaystyle f(0,1)=p(0,1)=a_{00}+a_{01}+a_{02}+a_{03},}
f
(
1
,
1
)
=
p
(
1
,
1
)
=
∑
i
=
0
3
∑
j
=
0
3
a
i
j
.
{\displaystyle f(1,1)=p(1,1)=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{3}\sum \limits _{j=0}^{3}a_{ij}.}
마찬가지로
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
f
x
(
0
,
0
)
=
p
x
(
0
,
0
)
=
a
10
,
{\displaystyle f_{x}(0,0)=p_{x}(0,0)=a_{10},}
f
x
(
1
,
0
)
=
p
x
(
1
,
0
)
=
a
10
+
2
a
20
+
3
a
30
,
{\displaystyle f_{x}(1,0)=p_{x}(1,0)=a_{10}+2a_{20}+3a_{30},}
f
x
(
0
,
1
)
=
p
x
(
0
,
1
)
=
a
10
+
a
11
+
a
12
+
a
13
,
{\displaystyle f_{x}(0,1)=p_{x}(0,1)=a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13},}
f
x
(
1
,
1
)
=
p
x
(
1
,
1
)
=
∑
i
=
1
3
∑
j
=
0
3
a
i
j
i
,
{\displaystyle f_{x}(1,1)=p_{x}(1,1)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{3}\sum \limits _{j=0}^{3}a_{ij}i,}
f
y
(
0
,
0
)
=
p
y
(
0
,
0
)
=
a
01
,
{\displaystyle f_{y}(0,0)=p_{y}(0,0)=a_{01},}
f
y
(
1
,
0
)
=
p
y
(
1
,
0
)
=
a
01
+
a
11
+
a
21
+
a
31
,
{\displaystyle f_{y}(1,0)=p_{y}(1,0)=a_{01}+a_{11}+a_{21}+a_{31},}
f
y
(
0
,
1
)
=
p
y
(
0
,
1
)
=
a
01
+
2
a
02
+
3
a
03
,
{\displaystyle f_{y}(0,1)=p_{y}(0,1)=a_{01}+2a_{02}+3a_{03},}
f
y
(
1
,
1
)
=
p
y
(
1
,
1
)
=
∑
i
=
0
3
∑
j
=
1
3
a
i
j
j
.
{\displaystyle f_{y}(1,1)=p_{y}(1,1)=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{3}\sum \limits _{j=1}^{3}a_{ij}j.}
그리고
x
y
{\displaystyle xy}
혼합 편미분 에 대한 네 가지 방정식:
f
x
y
(
0
,
0
)
=
p
x
y
(
0
,
0
)
=
a
11
,
{\displaystyle f_{xy}(0,0)=p_{xy}(0,0)=a_{11},}
f
x
y
(
1
,
0
)
=
p
x
y
(
1
,
0
)
=
a
11
+
2
a
21
+
3
a
31
,
{\displaystyle f_{xy}(1,0)=p_{xy}(1,0)=a_{11}+2a_{21}+3a_{31},}
f
x
y
(
0
,
1
)
=
p
x
y
(
0
,
1
)
=
a
11
+
2
a
12
+
3
a
13
,
{\displaystyle f_{xy}(0,1)=p_{xy}(0,1)=a_{11}+2a_{12}+3a_{13},}
f
x
y
(
1
,
1
)
=
p
x
y
(
1
,
1
)
=
∑
i
=
1
3
∑
j
=
1
3
a
i
j
i
j
.
{\displaystyle f_{xy}(1,1)=p_{xy}(1,1)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{3}\sum \limits _{j=1}^{3}a_{ij}ij.}
위의 표현식은 다음 항등식을 사용했다.
p
x
(
x
,
y
)
=
∑
i
=
1
3
∑
j
=
0
3
a
i
j
i
x
i
−
1
y
j
,
{\displaystyle p_{x}(x,y)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{3}\sum \limits _{j=0}^{3}a_{ij}ix^{i-1}y^{j},}
p
y
(
x
,
y
)
=
∑
i
=
0
3
∑
j
=
1
3
a
i
j
x
i
j
y
j
−
1
,
{\displaystyle p_{y}(x,y)=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{3}\sum \limits _{j=1}^{3}a_{ij}x^{i}jy^{j-1},}
p
x
y
(
x
,
y
)
=
∑
i
=
1
3
∑
j
=
1
3
a
i
j
i
x
i
−
1
j
y
j
−
1
.
{\displaystyle p_{xy}(x,y)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{3}\sum \limits _{j=1}^{3}a_{ij}ix^{i-1}jy^{j-1}.}
이 절차는 단위정사각형
[
0
,
1
]
×
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]\times [0,1]}
p
(
x
,
y
)
{\displaystyle p(x,y)}
정규 격자 에 대한 쌍입방 보간법은 이러한 쌍입방 표면을 패치하여 경계에서 도함수가 일치하도록 보장함으로써 수행할 수 있다.
알려지지 않은 매개변수
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
α
=
[
a
00
a
10
a
20
a
30
a
01
a
11
a
21
a
31
a
02
a
12
a
22
a
32
a
03
a
13
a
23
a
33
]
T
{\displaystyle \alpha =\left[{\begin{smallmatrix}a_{00}&a_{10}&a_{20}&a_{30}&a_{01}&a_{11}&a_{21}&a_{31}&a_{02}&a_{12}&a_{22}&a_{32}&a_{03}&a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{smallmatrix}}\right]^{T}}
x
=
[
f
(
0
,
0
)
f
(
1
,
0
)
f
(
0
,
1
)
f
(
1
,
1
)
f
x
(
0
,
0
)
f
x
(
1
,
0
)
f
x
(
0
,
1
)
f
x
(
1
,
1
)
f
y
(
0
,
0
)
f
y
(
1
,
0
)
f
y
(
0
,
1
)
f
y
(
1
,
1
)
f
x
y
(
0
,
0
)
f
x
y
(
1
,
0
)
f
x
y
(
0
,
1
)
f
x
y
(
1
,
1
)
]
T
,
{\displaystyle x=\left[{\begin{smallmatrix}f(0,0)&f(1,0)&f(0,1)&f(1,1)&f_{x}(0,0)&f_{x}(1,0)&f_{x}(0,1)&f_{x}(1,1)&f_{y}(0,0)&f_{y}(1,0)&f_{y}(0,1)&f_{y}(1,1)&f_{xy}(0,0)&f_{xy}(1,0)&f_{xy}(0,1)&f_{xy}(1,1)\end{smallmatrix}}\right]^{T},}
A
α
=
x
{\displaystyle A\alpha =x}
행렬을 반전시키면 더 유용한 선형 방정식
A
−
1
x
=
α
{\displaystyle A^{-1}x=\alpha }
A
−
1
=
[
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−
3
3
0
0
−
2
−
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
−
2
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−
3
3
0
0
−
2
−
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
−
2
0
0
1
1
0
0
−
3
0
3
0
0
0
0
0
−
2
0
−
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−
3
0
3
0
0
0
0
0
−
2
0
−
1
0
9
−
9
−
9
9
6
3
−
6
−
3
6
−
6
3
−
3
4
2
2
1
−
6
6
6
−
6
−
3
−
3
3
3
−
4
4
−
2
2
−
2
−
2
−
1
−
1
2
0
−
2
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
−
2
0
0
0
0
0
1
0
1
0
−
6
6
6
−
6
−
4
−
2
4
2
−
3
3
−
3
3
−
2
−
1
−
2
−
1
4
−
4
−
4
4
2
2
−
2
−
2
2
−
2
2
−
2
1
1
1
1
]
,
{\displaystyle A^{-1}=\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrr}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-3&3&0&0&-2&-1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\2&-2&0&0&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&-3&3&0&0&-2&-1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&2&-2&0&0&1&1&0&0\\-3&0&3&0&0&0&0&0&-2&0&-1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&-3&0&3&0&0&0&0&0&-2&0&-1&0\\9&-9&-9&9&6&3&-6&-3&6&-6&3&-3&4&2&2&1\\-6&6&6&-6&-3&-3&3&3&-4&4&-2&2&-2&-2&-1&-1\\2&0&-2&0&0&0&0&0&1&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&2&0&-2&0&0&0&0&0&1&0&1&0\\-6&6&6&-6&-4&-2&4&2&-3&3&-3&3&-2&-1&-2&-1\\4&-4&-4&4&2&2&-2&-2&2&-2&2&-2&1&1&1&1\end{array}}\end{smallmatrix}}\right],}
α
{\displaystyle \alpha }
16개의 계수에 대한 또 다른 간결한 행렬 형식은 다음과 같다.
[
f
(
0
,
0
)
f
(
0
,
1
)
f
y
(
0
,
0
)
f
y
(
0
,
1
)
f
(
1
,
0
)
f
(
1
,
1
)
f
y
(
1
,
0
)
f
y
(
1
,
1
)
f
x
(
0
,
0
)
f
x
(
0
,
1
)
f
x
y
(
0
,
0
)
f
x
y
(
0
,
1
)
f
x
(
1
,
0
)
f
x
(
1
,
1
)
f
x
y
(
1
,
0
)
f
x
y
(
1
,
1
)
]
=
[
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
2
3
]
[
a
00
a
01
a
02
a
03
a
10
a
11
a
12
a
13
a
20
a
21
a
22
a
23
a
30
a
31
a
32
a
33
]
[
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
2
0
1
0
3
]
,
{\displaystyle {\begin{bmatrix}f(0,0)&f(0,1)&f_{y}(0,0)&f_{y}(0,1)\\f(1,0)&f(1,1)&f_{y}(1,0)&f_{y}(1,1)\\f_{x}(0,0)&f_{x}(0,1)&f_{xy}(0,0)&f_{xy}(0,1)\\f_{x}(1,0)&f_{x}(1,1)&f_{xy}(1,0)&f_{xy}(1,1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\1&1&1&1\\0&1&0&0\\0&1&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{30}&a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&1\\0&1&0&2\\0&1&0&3\end{bmatrix}},}
[
a
00
a
01
a
02
a
03
a
10
a
11
a
12
a
13
a
20
a
21
a
22
a
23
a
30
a
31
a
32
a
33
]
=
[
1
0
0
0
0
0
1
0
−
3
3
−
2
−
1
2
−
2
1
1
]
[
f
(
0
,
0
)
f
(
0
,
1
)
f
y
(
0
,
0
)
f
y
(
0
,
1
)
f
(
1
,
0
)
f
(
1
,
1
)
f
y
(
1
,
0
)
f
y
(
1
,
1
)
f
x
(
0
,
0
)
f
x
(
0
,
1
)
f
x
y
(
0
,
0
)
f
x
y
(
0
,
1
)
f
x
(
1
,
0
)
f
x
(
1
,
1
)
f
x
y
(
1
,
0
)
f
x
y
(
1
,
1
)
]
[
1
0
−
3
2
0
0
3
−
2
0
1
−
2
1
0
0
−
1
1
]
,
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{30}&a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\-3&3&-2&-1\\2&-2&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(0,0)&f(0,1)&f_{y}(0,0)&f_{y}(0,1)\\f(1,0)&f(1,1)&f_{y}(1,0)&f_{y}(1,1)\\f_{x}(0,0)&f_{x}(0,1)&f_{xy}(0,0)&f_{xy}(0,1)\\f_{x}(1,0)&f_{x}(1,1)&f_{xy}(1,0)&f_{xy}(1,1)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&-3&2\\0&0&3&-2\\0&1&-2&1\\0&0&-1&1\end{bmatrix}},}
p
(
x
,
y
)
=
[
1
x
x
2
x
3
]
[
a
00
a
01
a
02
a
03
a
10
a
11
a
12
a
13
a
20
a
21
a
22
a
23
a
30
a
31
a
32
a
33
]
[
1
y
y
2
y
3
]
.
{\displaystyle p(x,y)={\begin{bmatrix}1&x&x^{2}&x^{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{30}&a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\y\\y^{2}\\y^{3}\end{bmatrix}}.}
종종 응용 프로그램은 단위 정사각형이 아닌 직교 격자의 데이터를 사용하여 쌍입방 보간법을 호출한다. 이 경우
p
x
,
p
y
,
{\displaystyle p_{x},p_{y},}
p
x
y
{\displaystyle p_{xy}}
p
x
(
x
,
y
)
=
∑
i
=
1
3
∑
j
=
0
3
a
i
j
i
x
i
−
1
y
j
Δ
x
,
{\displaystyle p_{x}(x,y)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{3}\sum \limits _{j=0}^{3}{\frac {a_{ij}ix^{i-1}y^{j}}{\Delta x}},}
p
y
(
x
,
y
)
=
∑
i
=
0
3
∑
j
=
1
3
a
i
j
x
i
j
y
j
−
1
Δ
y
,
{\displaystyle p_{y}(x,y)=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{3}\sum \limits _{j=1}^{3}{\frac {a_{ij}x^{i}jy^{j-1}}{\Delta y}},}
p
x
y
(
x
,
y
)
=
∑
i
=
1
3
∑
j
=
1
3
a
i
j
i
x
i
−
1
j
y
j
−
1
Δ
x
Δ
y
,
{\displaystyle p_{xy}(x,y)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{3}\sum \limits _{j=1}^{3}{\frac {a_{ij}ix^{i-1}jy^{j-1}}{\Delta x\Delta y}},}
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
x
{\displaystyle x}
Δ
y
{\displaystyle \Delta y}
α
{\displaystyle \alpha }
x
=
[
f
(
0
,
0
)
f
(
1
,
0
)
f
(
0
,
1
)
f
(
1
,
1
)
Δ
x
f
x
(
0
,
0
)
Δ
x
f
x
(
1
,
0
)
Δ
x
f
x
(
0
,
1
)
Δ
x
f
x
(
1
,
1
)
Δ
y
f
y
(
0
,
0
)
Δ
y
f
y
(
1
,
0
)
Δ
y
f
y
(
0
,
1
)
Δ
y
f
y
(
1
,
1
)
Δ
x
Δ
y
f
x
y
(
0
,
0
)
Δ
x
Δ
y
f
x
y
(
1
,
0
)
Δ
x
Δ
y
f
x
y
(
0
,
1
)
Δ
x
Δ
y
f
x
y
(
1
,
1
)
]
T
,
{\displaystyle x=\left[{\begin{smallmatrix}f(0,0)&f(1,0)&f(0,1)&f(1,1)&\Delta xf_{x}(0,0)&\Delta xf_{x}(1,0)&\Delta xf_{x}(0,1)&\Delta xf_{x}(1,1)&\Delta yf_{y}(0,0)&\Delta yf_{y}(1,0)&\Delta yf_{y}(0,1)&\Delta yf_{y}(1,1)&\Delta x\Delta yf_{xy}(0,0)&\Delta x\Delta yf_{xy}(1,0)&\Delta x\Delta yf_{xy}(0,1)&\Delta x\Delta yf_{xy}(1,1)\end{smallmatrix}}\right]^{T},}
A
{\displaystyle A}
α
=
A
−
1
x
{\displaystyle \alpha =A^{-1}x}
x
¯
=
x
−
x
0
x
1
−
x
0
,
y
¯
=
y
−
y
0
y
1
−
y
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {x}}&={\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}},\\{\overline {y}}&={\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}\end{aligned}}}
x
0
,
x
1
,
y
0
,
{\displaystyle x_{0},x_{1},y_{0},}
y
1
{\displaystyle y_{1}}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
p
(
x
,
y
)
=
∑
i
=
0
3
∑
j
=
0
3
a
i
j
x
¯
i
y
¯
j
.
{\displaystyle p(x,y)=\sum \limits _{i=0}^{3}\sum _{j=0}^{3}a_{ij}{\overline {x}}^{i}{\overline {y}}^{j}.}
도함수가 알려지지 않은 경우, 일반적으로 유한 차분 을 사용하여 단위 정사각형 모서리 주변의 점들에서 함수 값으로부터 근사화된다.
이 방법을 사용하여 단일 도함수
f
x
{\displaystyle f_{x}}
f
y
{\displaystyle f_{y}}
f
x
{\displaystyle f_{x}}
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
f
y
{\displaystyle f_{y}}
교차 도함수
f
x
y
{\displaystyle f_{xy}}
f
x
{\displaystyle f_{x}}
x
{\displaystyle x}
f
{\displaystyle f}
f
y
{\displaystyle f_{y}}
f
x
y
(
x
,
y
)
{\displaystyle f_{xy}(x,y)}
f
y
{\displaystyle f_{y}}
f
x
{\displaystyle f_{x}}
데이터 세트의 가장자리에서 주변 점들 중 일부가 누락된 경우, 누락된 점들은 여러 가지 방법으로 근사화될 수 있다. 간단하고 일반적인 방법은 기존 점에서 대상 점까지의 기울기가 더 이상 변하지 않고 계속된다고 가정하고, 이를 사용하여 누락된 점의 가상 값을 계산하는 것이다.
쌍입방 스플라인 보간법은 각 그리드 셀에 대해 위에 설명된 선형 시스템의 해를 요구한다. 다음과 같은 커널을 두 차원에서 합성곱 에 적용하여 유사한 속성을 가진 보간기를 얻을 수 있다.
W
(
x
)
=
{
(
a
+
2
)
|
x
|
3
−
(
a
+
3
)
|
x
|
2
+
1
for
|
x
|
≤
1
,
a
|
x
|
3
−
5
a
|
x
|
2
+
8
a
|
x
|
−
4
a
for
1
<
|
x
|
<
2
,
0
otherwise
,
{\displaystyle W(x)={\begin{cases}(a+2)|x|^{3}-(a+3)|x|^{2}+1&{\text{for }}|x|\leq 1,\\a|x|^{3}-5a|x|^{2}+8a|x|-4a&{\text{for }}1<|x|<2,\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}}
a
{\displaystyle a}
W
(
0
)
=
1
{\displaystyle W(0)=1}
n
{\displaystyle n}
W
(
n
)
=
0
{\displaystyle W(n)=0}
이 접근법은 Keys에 의해 제안되었으며,
a
=
−
0.5
{\displaystyle a=-0.5}
[ 1]
일반적인 경우
a
=
−
0.5
{\displaystyle a=-0.5}
p
(
t
)
=
1
2
[
1
t
t
2
t
3
]
[
0
2
0
0
−
1
0
1
0
2
−
5
4
−
1
−
1
3
−
3
1
]
[
f
−
1
f
0
f
1
f
2
]
{\displaystyle p(t)={\tfrac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&t&t^{2}&t^{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&2&0&0\\-1&0&1&0\\2&-5&4&-1\\-1&3&-3&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f_{-1}\\f_{0}\\f_{1}\\f_{2}\end{bmatrix}}}
t
{\displaystyle t}
두 차원의 경우 먼저
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
b
−
1
=
p
(
t
x
,
f
(
−
1
,
−
1
)
,
f
(
0
,
−
1
)
,
f
(
1
,
−
1
)
,
f
(
2
,
−
1
)
)
,
b
0
=
p
(
t
x
,
f
(
−
1
,
0
)
,
f
(
0
,
0
)
,
f
(
1
,
0
)
,
f
(
2
,
0
)
)
,
b
1
=
p
(
t
x
,
f
(
−
1
,
1
)
,
f
(
0
,
1
)
,
f
(
1
,
1
)
,
f
(
2
,
1
)
)
,
b
2
=
p
(
t
x
,
f
(
−
1
,
2
)
,
f
(
0
,
2
)
,
f
(
1
,
2
)
,
f
(
2
,
2
)
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}b_{-1}&=p(t_{x},f_{(-1,-1)},f_{(0,-1)},f_{(1,-1)},f_{(2,-1)}),\\[1ex]b_{0}&=p(t_{x},f_{(-1,0)},f_{(0,0)},f_{(1,0)},f_{(2,0)}),\\[1ex]b_{1}&=p(t_{x},f_{(-1,1)},f_{(0,1)},f_{(1,1)},f_{(2,1)}),\\[1ex]b_{2}&=p(t_{x},f_{(-1,2)},f_{(0,2)},f_{(1,2)},f_{(2,2)}),\end{aligned}}}
p
(
x
,
y
)
=
p
(
t
y
,
b
−
1
,
b
0
,
b
1
,
b
2
)
.
{\displaystyle p(x,y)=p(t_{y},b_{-1},b_{0},b_{1},b_{2}).}
이 그림의 아래쪽 절반은 위쪽 절반을 확대한 것으로, 왼쪽 선의 명백한 선명도가 어떻게 생성되는지 보여준다. 쌍입방 보간법은 오버슈트 를 유발하여 선명도 를 증가시킨다. 쌍입방 알고리즘은 디스플레이를 위해 이미지와 비디오를 스케일링하는 데 자주 사용된다(비트맵 리샘플링 참조). 이는 일반적인 쌍선형 필터링 알고리즘보다 미세한 디테일을 더 잘 보존한다.
그러나 커널의 음의 엽(lobe) 때문에 오버슈트 (할로잉)를 유발한다. 이는 클리핑 을 유발할 수 있으며 아티팩트(링잉 아티팩트 참조)이지만, 선명도 (명백한 선명도)를 증가시켜 바람직할 수 있다.
![{\displaystyle [0,4]\times [0,4]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad39d6c0224c138cc09eaa0ae42be5d8f3e2dd94)
![{\displaystyle [0,1]\times [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92f35a051af39d8299688d7c4a63e39ee5f95c8b)
![{\displaystyle \alpha =\left[{\begin{smallmatrix}a_{00}&a_{10}&a_{20}&a_{30}&a_{01}&a_{11}&a_{21}&a_{31}&a_{02}&a_{12}&a_{22}&a_{32}&a_{03}&a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{smallmatrix}}\right]^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd6f651f3dadce77a2d783292b915d0dcdd847e)
![{\displaystyle x=\left[{\begin{smallmatrix}f(0,0)&f(1,0)&f(0,1)&f(1,1)&f_{x}(0,0)&f_{x}(1,0)&f_{x}(0,1)&f_{x}(1,1)&f_{y}(0,0)&f_{y}(1,0)&f_{y}(0,1)&f_{y}(1,1)&f_{xy}(0,0)&f_{xy}(1,0)&f_{xy}(0,1)&f_{xy}(1,1)\end{smallmatrix}}\right]^{T},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef927b58762664c061d9a9159bad1c2f1776e55b)
![{\displaystyle A^{-1}=\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrr}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-3&3&0&0&-2&-1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\2&-2&0&0&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&-3&3&0&0&-2&-1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&2&-2&0&0&1&1&0&0\\-3&0&3&0&0&0&0&0&-2&0&-1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&-3&0&3&0&0&0&0&0&-2&0&-1&0\\9&-9&-9&9&6&3&-6&-3&6&-6&3&-3&4&2&2&1\\-6&6&6&-6&-3&-3&3&3&-4&4&-2&2&-2&-2&-1&-1\\2&0&-2&0&0&0&0&0&1&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&2&0&-2&0&0&0&0&0&1&0&1&0\\-6&6&6&-6&-4&-2&4&2&-3&3&-3&3&-2&-1&-2&-1\\4&-4&-4&4&2&2&-2&-2&2&-2&2&-2&1&1&1&1\end{array}}\end{smallmatrix}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf957521e2c463578afe8aa16b7f8f64a009a8f)
![{\displaystyle x=\left[{\begin{smallmatrix}f(0,0)&f(1,0)&f(0,1)&f(1,1)&\Delta xf_{x}(0,0)&\Delta xf_{x}(1,0)&\Delta xf_{x}(0,1)&\Delta xf_{x}(1,1)&\Delta yf_{y}(0,0)&\Delta yf_{y}(1,0)&\Delta yf_{y}(0,1)&\Delta yf_{y}(1,1)&\Delta x\Delta yf_{xy}(0,0)&\Delta x\Delta yf_{xy}(1,0)&\Delta x\Delta yf_{xy}(0,1)&\Delta x\Delta yf_{xy}(1,1)\end{smallmatrix}}\right]^{T},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16cf673b5dac2b4e6a784256efe13c774ee6b2fd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}b_{-1}&=p(t_{x},f_{(-1,-1)},f_{(0,-1)},f_{(1,-1)},f_{(2,-1)}),\\[1ex]b_{0}&=p(t_{x},f_{(-1,0)},f_{(0,0)},f_{(1,0)},f_{(2,0)}),\\[1ex]b_{1}&=p(t_{x},f_{(-1,1)},f_{(0,1)},f_{(1,1)},f_{(2,1)}),\\[1ex]b_{2}&=p(t_{x},f_{(-1,2)},f_{(0,2)},f_{(1,2)},f_{(2,2)}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7b7deeb9b31b1fe3ba169c7802e1fc0480a4256)
