연산자 (영어 : Operator )는 물리적 상태의 공간 에서 다른 상태의 공간으로 매핑되는 함수 이다. 연산자의 유용성에 대한 가장 간단한 예는 대칭 연구이다 (이러한 맥락에서 군 개념을 유용하게 만든다). 이 때문에 연산자는 고전역학 에서 유용한 도구이다. 연산자는 양자역학 에서 훨씬 더 중요하며, 이론의 공식화에 본질적인 부분을 형성한다. 연산자는 관측가능량(에너지, 운동량 등 측정 가능한 양)을 설명하는 데 중심적인 역할을 한다.
고전역학에서 입자(또는 입자 시스템)의 움직임은 라그랑지안
L
(
q
,
q
˙
,
t
)
{\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)}
해밀토니안
H
(
q
,
p
,
t
)
{\displaystyle H(q,p,t)}
일반화 좌표 q, 일반화 속도
q
˙
=
d
q
/
d
t
{\displaystyle {\dot {q}}=\mathrm {d} q/\mathrm {d} t}
켤레 운동량 의 함수이다.
p
=
∂
L
∂
q
˙
{\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}
L 또는 H가 일반화 좌표 q에 독립적이면, 즉 q가 변해도 L과 H가 변하지 않는다는 것은 q가 변해도 입자의 동역학이 여전히 동일하다는 것을 의미하며, 해당 좌표에 켤레인 운동량은 보존된다 (이는 뇌터 정리 의 일부이며, 좌표 q에 대한 운동의 불변성은 대칭 이다). 고전역학의 연산자는 이러한 대칭과 관련되어 있다.
보다 기술적으로, H가 특정 군 변환 G의 작용 하에서 불변일 때:
S
∈
G
,
H
(
S
(
q
,
p
)
)
=
H
(
q
,
p
)
{\displaystyle S\in G,H(S(q,p))=H(q,p)}
G의 원소는 물리적 연산자이며, 물리적 상태를 서로 매핑한다.
변환
연산자
위치
운동량
병진 대칭
X
(
a
)
{\displaystyle X(\mathbf {a} )}
r
→
r
+
a
{\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {a} }
p
→
p
{\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} }
시간 병진 대칭
U
(
t
0
)
{\displaystyle U(t_{0})}
r
(
t
)
→
r
(
t
+
t
0
)
{\displaystyle \mathbf {r} (t)\rightarrow \mathbf {r} (t+t_{0})}
p
(
t
)
→
p
(
t
+
t
0
)
{\displaystyle \mathbf {p} (t)\rightarrow \mathbf {p} (t+t_{0})}
회전 불변성
R
(
n
^
,
θ
)
{\displaystyle R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )}
r
→
R
(
n
^
,
θ
)
r
{\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {r} }
p
→
R
(
n
^
,
θ
)
p
{\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {p} }
갈릴레이 변환
G
(
v
)
{\displaystyle G(\mathbf {v} )}
r
→
r
+
v
t
{\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t}
p
→
p
+
m
v
{\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v} }
반전성
P
{\displaystyle P}
r
→
−
r
{\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r} }
p
→
−
p
{\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} }
시간 역전 대칭
T
{\displaystyle T}
r
→
r
(
−
t
)
{\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} (-t)}
p
→
−
p
(
−
t
)
{\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)}
여기서
R
(
n
^
,
θ
)
{\displaystyle R({\hat {\boldsymbol {n}}},\theta )}
단위 벡터
n
^
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {n}}}}
회전변환행렬 이다.
변환이 무한소 이면, 연산자 작용은 다음 형식이어야 한다.
I
+
ϵ
A
,
{\displaystyle I+\epsilon A,}
여기서
I
{\displaystyle I}
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
A
{\displaystyle A}
군의 생성 집합 이라고 불린다. 다시, 간단한 예로, 1차원 함수에 대한 공간 변환의 생성 집합을 유도할 것이다.
언급했듯이,
T
a
f
(
x
)
=
f
(
x
−
a
)
{\displaystyle T_{a}f(x)=f(x-a)}
a
=
ϵ
{\displaystyle a=\epsilon }
T
ϵ
f
(
x
)
=
f
(
x
−
ϵ
)
≈
f
(
x
)
−
ϵ
f
′
(
x
)
.
{\displaystyle T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )\approx f(x)-\epsilon f'(x).}
이 공식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
T
ϵ
f
(
x
)
=
(
I
−
ϵ
D
)
f
(
x
)
{\displaystyle T_{\epsilon }f(x)=(I-\epsilon D)f(x)}
여기서
D
{\displaystyle D}
미분 연산자 가 된다. 따라서 변환의 생성 집합은 미분이라고 한다.
정상적인 상황에서 전체 군은 지수 사상 을 통해 생성 집합에서 복구될 수 있다. 변환의 경우 아이디어는 다음과 같이 작동한다.
유한한 값
a
{\displaystyle a}
T
a
f
(
x
)
=
lim
N
→
∞
T
a
/
N
⋯
T
a
/
N
f
(
x
)
{\displaystyle T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }T_{a/N}\cdots T_{a/N}f(x)}
여기서
⋯
{\displaystyle \cdots }
N
{\displaystyle N}
N
{\displaystyle N}
T
a
f
(
x
)
=
lim
N
→
∞
(
I
−
a
N
D
)
N
f
(
x
)
.
{\displaystyle T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }\left(I-{\frac {a}{N}}D\right)^{N}f(x).}
그러나 이 극한은 지수로 다시 쓸 수 있다.
T
a
f
(
x
)
=
exp
(
−
a
D
)
f
(
x
)
.
{\displaystyle T_{a}f(x)=\exp(-aD)f(x).}
이 형식적인 표현의 유효성을 확신하려면, 지수를 멱급수 로 전개할 수 있다.
T
a
f
(
x
)
=
(
I
−
a
D
+
a
2
D
2
2
!
−
a
3
D
3
3
!
+
⋯
)
f
(
x
)
.
{\displaystyle T_{a}f(x)=\left(I-aD+{a^{2}D^{2} \over 2!}-{a^{3}D^{3} \over 3!}+\cdots \right)f(x).}
우변은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
f
(
x
)
−
a
f
′
(
x
)
+
a
2
2
!
f
(
x
)
−
a
3
3
!
f
(
3
)
(
x
)
+
⋯
{\displaystyle f(x)-af'(x)+{\frac {a^{2}}{2!}}f(x)-{\frac {a^{3}}{3!}}f^{(3)}(x)+\cdots }
이것은
f
(
x
−
a
)
{\displaystyle f(x-a)}
T
a
f
(
x
)
{\displaystyle T_{a}f(x)}
물리적 연산자의 수학적 속성은 그 자체로 매우 중요한 주제이다. 자세한 정보는 C* 대수 및 겔판트-나이마르크 정리 를 참조하라.
양자역학의 수학 공식화 (QM)는 연산자 개념을 기반으로 한다.
양자역학의 물리적 순수 상태 는 특수 복소 힐베르트 공간 에서 단위 노름 벡터 (확률이 1로 정규화됨)로 표현된다. 이 벡터 공간 에서 시간 변화 는 진화 연산자 의 적용으로 주어진다.
관측가능량 , 즉 물리적 실험에서 측정될 수 있는 모든 양은 자기 수반 선형 연산자 와 관련되어야 한다. 연산자는 실험 결과로 나타날 수 있는 값이기 때문에 실제 고윳값 을 산출해야 한다. 수학적으로 이것은 연산자가 에르미트 여야 함을 의미한다.[ 1]
양자역학의 파동 역학 공식화에서 파동 함수는 공간과 시간에 따라, 또는 동등하게 운동량과 시간에 따라 변하므로(자세한 내용은 위치 및 운동량 공간 참조), 관측가능량은 미분 연산자 이다.
행렬 역학 공식화에서 물리적 상태의 노름 은 고정되어야 하므로 진화 연산자는 유니타리 여야 하며, 연산자는 행렬로 표현될 수 있다. 물리적 상태를 다른 상태로 매핑하는 다른 대칭도 이 제한을 유지해야 한다.
파동 함수는 제곱 적분 가능 해야 한다. 즉:
∭
R
3
|
ψ
(
r
)
|
2
d
3
r
=
∭
R
3
ψ
(
r
)
∗
ψ
(
r
)
d
3
r
<
∞
{\displaystyle \iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}\psi (\mathbf {r} )^{*}\psi (\mathbf {r} )\,d^{3}\mathbf {r} <\infty }
그리고 정규화되어야 한다.
∭
R
3
|
ψ
(
r
)
|
2
d
3
r
=
1
{\displaystyle \iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =1}
고유 상태(및 고유값)의 두 가지 경우는 다음과 같다:
이산 기저를 형성하는 '이산' 고유 상태
|
ψ
i
⟩
{\displaystyle |\psi _{i}\rangle }
합
|
ψ
⟩
=
∑
i
c
i
|
ϕ
i
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|\phi _{i}\rangle }
ci 는 복소수로 |ci |2 = ci * ci 는 상태
|
ϕ
i
⟩
{\displaystyle |\phi _{i}\rangle }
ai 도 이산적이다. 이는 유한 하거나 가산 무한 일 수 있다. 이 경우 두 고유 상태의 내적은
⟨
ϕ
i
|
ϕ
j
⟩
=
δ
i
j
{\displaystyle \langle \phi _{i}\vert \phi _{j}\rangle =\delta _{ij}}
δ
m
n
{\displaystyle \delta _{mn}}
크로네커 델타 를 나타낸다. 그러나,
연속 기저를 형성하는 고유 상태의 연속체 의 경우, 모든 상태는 적분
|
ψ
⟩
=
∫
c
(
ϕ
)
d
ϕ
|
ϕ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle =\int c(\phi )\,d\phi |\phi \rangle }
c (φ )는 복소 함수로 |c (φ)|2 = c (φ)* c (φ)는 상태
|
ϕ
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle }
비가산 무한 한 고유값 집합 a 가 있다. 이 경우 두 고유 상태의 내적은
⟨
ϕ
′
|
ϕ
⟩
=
δ
(
ϕ
−
ϕ
′
)
{\displaystyle \langle \phi '\vert \phi \rangle =\delta (\phi -\phi ')}
δ
(
x
−
y
)
{\displaystyle \delta (x-y)}
디랙 델타 를 나타낸다. 양자 계의 파동 함수를 ψ 관측가능량 A 선형 연산자 를
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
ψ
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
고유 함수 라면,
A
^
ψ
=
a
ψ
,
{\displaystyle {\hat {A}}\psi =a\psi ,}
여기서 a 고윳값 이며, 관측가능량의 측정값에 해당한다. 즉, 관측가능량 A a
만약 ψ
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
A ψ a ψ
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
A
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
ψ
브라-켓 표기법에서 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
A
^
ψ
=
A
^
ψ
(
r
)
=
A
^
⟨
r
∣
ψ
⟩
=
⟨
r
|
A
^
|
ψ
⟩
a
ψ
=
a
ψ
(
r
)
=
a
⟨
r
∣
ψ
⟩
=
⟨
r
∣
a
∣
ψ
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}\psi &={\hat {A}}\psi (\mathbf {r} )={\hat {A}}\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \left\vert {\hat {A}}\right\vert \psi \right\rangle \\a\psi &=a\psi (\mathbf {r} )=a\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \mid a\mid \psi \right\rangle \\\end{aligned}}}
만약
|
ψ
⟩
{\displaystyle \left|\psi \right\rangle }
A 고유 벡터 또는 고유 케트 라면 이들은 같다.
선형성 때문에 벡터는 임의의 차원으로 정의될 수 있으며, 벡터의 각 성분은 함수에 개별적으로 작용한다. 수학적 예시 중 하나는 나블라 연산자이며, 이는 그 자체로 벡터이다 (아래 표에서 운동량 관련 양자 연산자에 유용함).
n 차원 공간의 연산자는 다음과 같이 쓸 수 있다.
A
^
=
∑
j
=
1
n
e
j
A
^
j
{\displaystyle \mathbf {\hat {A}} =\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}}
여기서 e j Aj 에 해당하는 기저 벡터이다. 각 성분은 해당 고윳값
a
j
{\displaystyle a_{j}}
ψ
A
^
ψ
=
(
∑
j
=
1
n
e
j
A
^
j
)
ψ
=
∑
j
=
1
n
(
e
j
A
^
j
ψ
)
=
∑
j
=
1
n
(
e
j
a
j
ψ
)
{\displaystyle \mathbf {\hat {A}} \psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\psi \right)=\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}a_{j}\psi \right)}
여기서
A
^
j
ψ
=
a
j
ψ
.
{\displaystyle {\hat {A}}_{j}\psi =a_{j}\psi .}
브라-켓 표기법에서:
A
^
ψ
=
A
^
ψ
(
r
)
=
A
^
⟨
r
∣
ψ
⟩
=
⟨
r
|
A
^
|
ψ
⟩
(
∑
j
=
1
n
e
j
A
^
j
)
ψ
=
(
∑
j
=
1
n
e
j
A
^
j
)
ψ
(
r
)
=
(
∑
j
=
1
n
e
j
A
^
j
)
⟨
r
∣
ψ
⟩
=
⟨
r
|
∑
j
=
1
n
e
j
A
^
j
|
ψ
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {A}} \psi =\mathbf {\hat {A}} \psi (\mathbf {r} )=\mathbf {\hat {A}} \left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \mathbf {\hat {A}} \right\vert \psi \right\rangle \\\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right\vert \psi \right\rangle \end{aligned}}}
이 부분의 본문은
교환자 입니다.
두 관측가능량 A 와 B 가 선형 연산자
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
B
^
{\displaystyle {\hat {B}}}
[
A
^
,
B
^
]
=
A
^
B
^
−
B
^
A
^
{\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}
교환자 자체는 (복합) 연산자이다. 교환자를 ψ 에 작용시키면 다음과 같다.
[
A
^
,
B
^
]
ψ
=
A
^
B
^
ψ
−
B
^
A
^
ψ
.
{\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi ={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi .}
만약 ψ 가 각각 관측가능량 A 와 B 에 대한 고윳값 a 와 b 를 가진 고유 함수이고, 연산자들이 교환한다면:
[
A
^
,
B
^
]
ψ
=
0
,
{\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi =0,}
그러면 관측가능량 A 와 B 는 무한한 정밀도로 동시에 측정될 수 있다. 즉, 불확정성
Δ
A
=
0
{\displaystyle \Delta A=0}
Δ
B
=
0
{\displaystyle \Delta B=0}
ψ 는 A와 B의 동시 고유 함수라고 한다. 이를 설명하자면:
[
A
^
,
B
^
]
ψ
=
A
^
B
^
ψ
−
B
^
A
^
ψ
=
a
(
b
ψ
)
−
b
(
a
ψ
)
=
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi &={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi \\&=a(b\psi )-b(a\psi )\\&=0.\\\end{aligned}}}
이는 A와 B의 측정이 상태의 변화를 일으키지 않음을 보여준다. 즉, 초기 상태와 최종 상태가 동일하다(측정으로 인한 교란 없음). A를 측정하여 값 a를 얻었다고 가정하자. 그런 다음 B를 측정하여 값 b를 얻는다. 다시 A를 측정한다. 여전히 동일한 값 a를 얻는다. 분명히 시스템의 상태('ψ')는 파괴되지 않으므로 A와 B를 무한한 정밀도로 동시에 측정할 수 있다.
만약 연산자들이 교환하지 않는다면:
[
A
^
,
B
^
]
ψ
≠
0
,
{\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi \neq 0,}
이들은 임의의 정밀도로 동시에 준비될 수 없으며, 관측가능량 사이에 불확정성 관계 가 존재한다.
Δ
A
Δ
B
≥
|
1
2
⟨
[
A
,
B
]
⟩
|
{\displaystyle \Delta A\Delta B\geq \left|{\frac {1}{2}}\langle [A,B]\rangle \right|}
심지어 ψ 가 고유 함수일지라도 위 관계는 성립한다. 주목할 만한 쌍은 위치-운동량 및 에너지-시간 불확정성 관계, 그리고 임의의 두 직교 축(예: Lx 와 Ly , 또는 sy 와 sz 등)에 대한 각운동량(스핀, 궤도 및 총)[ 2]
기댓값 (동등하게 평균 또는 평균값)은 영역 R 내 입자에 대한 관측가능량의 평균 측정값이다. 연산자
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
⟨
A
^
⟩
{\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle }
[ 3]
⟨
A
^
⟩
=
∫
R
ψ
∗
(
r
)
A
^
ψ
(
r
)
d
3
r
=
⟨
ψ
|
A
^
|
ψ
⟩
.
{\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle =\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|{\hat {A}}\right|\psi \right\rangle .}
이는 연산자의 임의의 함수 F 에 대해 일반화될 수 있다.
⟨
F
(
A
^
)
⟩
=
∫
R
ψ
(
r
)
∗
[
F
(
A
^
)
ψ
(
r
)
]
d
3
r
=
⟨
ψ
|
F
(
A
^
)
|
ψ
⟩
,
{\displaystyle \left\langle F\left({\hat {A}}\right)\right\rangle =\int _{R}\psi (\mathbf {r} )^{*}\left[F\left({\hat {A}}\right)\psi (\mathbf {r} )\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|F\left({\hat {A}}\right)\right|\psi \right\rangle ,}
F 의 예로는 ψ 에 대한 A 의 2중 작용, 즉 연산자를 제곱하거나 두 번 수행하는 것이다.
F
(
A
^
)
=
A
^
2
⇒
⟨
A
^
2
⟩
=
∫
R
ψ
∗
(
r
)
A
^
2
ψ
(
r
)
d
3
r
=
⟨
ψ
|
A
^
2
|
ψ
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}F\left({\hat {A}}\right)&={\hat {A}}^{2}\\\Rightarrow \left\langle {\hat {A}}^{2}\right\rangle &=\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}^{2}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left\vert {\hat {A}}^{2}\right\vert \psi \right\rangle \\\end{aligned}}\,\!}
에르미트 연산자 의 정의는 다음과 같다.[ 1]
A
^
=
A
^
†
{\displaystyle {\hat {A}}={\hat {A}}^{\dagger }}
이로부터 브라-켓 표기법으로 다음과 같이 표현할 수 있다.
⟨
ϕ
i
|
A
^
|
ϕ
j
⟩
=
⟨
ϕ
j
|
A
^
|
ϕ
i
⟩
∗
.
{\displaystyle \left\langle \phi _{i}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{j}\right\rangle =\left\langle \phi _{j}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{i}\right\rangle ^{*}.}
에르미트 연산자의 중요한 특성들은 다음과 같다.
고윳값은 실수이다.
서로 다른 고윳값을 갖는 고유 벡터는 직교 한다.
고유 벡터는 완전한 정규 직교 기저 가 되도록 선택할 수 있다. 연산자는 하나의 기저 벡터를 다른 기저 벡터로 매핑하는 행렬 형태로 쓸 수 있다. 연산자는 선형이므로, 행렬은 기저들 사이의 선형 변환 (또는 전이 행렬)이다. 각 기저 원소
ϕ
j
{\displaystyle \phi _{j}}
[ 3]
A
i
j
=
⟨
ϕ
i
|
A
^
|
ϕ
j
⟩
,
{\displaystyle A_{ij}=\left\langle \phi _{i}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{j}\right\rangle ,}
이는 행렬 원소이다.
A
^
=
(
A
11
A
12
⋯
A
1
n
A
21
A
22
⋯
A
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
A
n
1
A
n
2
⋯
A
n
n
)
{\displaystyle {\hat {A}}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\\\end{pmatrix}}}
에르미트 연산자의 또 다른 속성은 서로 다른 고윳값에 해당하는 고유 함수가 직교한다는 것이다.[ 1] 정방 행렬 과 동일한 방식으로 고유 다항식 을 풀어 평가한다.
det
(
A
^
−
a
I
^
)
=
0
,
{\displaystyle \det \left({\hat {A}}-a{\hat {I}}\right)=0,}
여기서 I 는 n × n 단위 행렬 이며, 연산자로서 항등 연산자에 해당한다. 이산 기저의 경우:
I
^
=
∑
i
|
ϕ
i
⟩
⟨
ϕ
i
|
{\displaystyle {\hat {I}}=\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}
연속 기저의 경우:
I
^
=
∫
|
ϕ
⟩
⟨
ϕ
|
d
ϕ
{\displaystyle {\hat {I}}=\int |\phi \rangle \langle \phi |\mathrm {d} \phi }
비특이 연산자
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
A
^
−
1
{\displaystyle {\hat {A}}^{-1}}
A
^
A
^
−
1
=
A
^
−
1
A
^
=
I
^
{\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{-1}={\hat {A}}^{-1}{\hat {A}}={\hat {I}}}
만약 연산자가 역행렬을 갖지 않는다면, 그것은 특이 연산자이다. 유한 차원 공간에서 연산자는 그 필요충분조건 이 0이 아닐 때만 비특이적이다.
det
(
A
^
)
≠
0
{\displaystyle \det \left({\hat {A}}\right)\neq 0}
따라서 특이 연산자의 경우 행렬식은 0이다.
양자 역학에서 사용되는 연산자는 아래 표에 수집되어 있다 (예를 들어 참조[ 1] [ 4] 단위 벡터 가 아니며, 3차원 벡터 연산자이다. 즉, 세 공간 성분이 함께 고려된다.
연산자 (일반적인 이름)
데카르트 성분
일반 정의
SI 단위
차원
위치
x
^
=
x
,
y
^
=
y
,
z
^
=
z
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {x}}&=x,&{\hat {y}}&=y,&{\hat {z}}&=z\end{aligned}}}
r
^
=
r
{\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\mathbf {r} \,\!}
m
[L]
운동량
일반
p
^
x
=
−
i
ℏ
∂
∂
x
,
p
^
y
=
−
i
ℏ
∂
∂
y
,
p
^
z
=
−
i
ℏ
∂
∂
z
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},&{\hat {p}}_{y}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}},&{\hat {p}}_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\end{aligned}}}
일반
p
^
=
−
i
ℏ
∇
{\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla \,\!}
J s m−1 = N s
[M] [L] [T]−1
전자기장
p
^
x
=
−
i
ℏ
∂
∂
x
−
q
A
x
p
^
y
=
−
i
ℏ
∂
∂
y
−
q
A
y
p
^
z
=
−
i
ℏ
∂
∂
z
−
q
A
z
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\\{\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\\{\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\end{aligned}}}
전자기장 (운동 운동량 사용; A , 벡터 퍼텐셜 )
p
^
=
P
^
−
q
A
=
−
i
ℏ
∇
−
q
A
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {p}} &=\mathbf {\hat {P}} -q\mathbf {A} \\&=-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} \\\end{aligned}}\,\!}
J s m−1 = N s
[M] [L] [T]−1
운동 에너지
병진
T
^
x
=
−
ℏ
2
2
m
∂
2
∂
x
2
T
^
y
=
−
ℏ
2
2
m
∂
2
∂
y
2
T
^
z
=
−
ℏ
2
2
m
∂
2
∂
z
2
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\\[2pt]{\hat {T}}_{y}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\\[2pt]{\hat {T}}_{z}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\\end{aligned}}}
T
^
=
1
2
m
p
^
⋅
p
^
=
1
2
m
(
−
i
ℏ
∇
)
⋅
(
−
i
ℏ
∇
)
=
−
ℏ
2
2
m
∇
2
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {1}{2m}}\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} \\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla )\cdot (-i\hbar \nabla )\\&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\end{aligned}}\,\!}
J
[M] [L]2 [T]−2
전자기장
T
^
x
=
1
2
m
(
−
i
ℏ
∂
∂
x
−
q
A
x
)
2
T
^
y
=
1
2
m
(
−
i
ℏ
∂
∂
y
−
q
A
y
)
2
T
^
z
=
1
2
m
(
−
i
ℏ
∂
∂
z
−
q
A
z
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{y}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{z}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\right)^{2}\end{aligned}}\,\!}
전자기장 (A , 벡터 퍼텐셜 )
T
^
=
1
2
m
p
^
⋅
p
^
=
1
2
m
(
−
i
ℏ
∇
−
q
A
)
⋅
(
−
i
ℏ
∇
−
q
A
)
=
1
2
m
(
−
i
ℏ
∇
−
q
A
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {1}{2m}}\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} \\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\cdot (-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )^{2}\end{aligned}}\,\!}
J
[M] [L]2 [T]−2
회전 (I , 관성 모멘트 )
T
^
x
x
=
J
^
x
2
2
I
x
x
T
^
y
y
=
J
^
y
2
2
I
y
y
T
^
z
z
=
J
^
z
2
2
I
z
z
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{xx}&={\frac {{\hat {J}}_{x}^{2}}{2I_{xx}}}\\{\hat {T}}_{yy}&={\frac {{\hat {J}}_{y}^{2}}{2I_{yy}}}\\{\hat {T}}_{zz}&={\frac {{\hat {J}}_{z}^{2}}{2I_{zz}}}\\\end{aligned}}\,\!}
회전
T
^
=
J
^
⋅
J
^
2
I
{\displaystyle {\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {J}} \cdot \mathbf {\hat {J}} }{2I}}\,\!}
J
[M] [L]2 [T]−2
퍼텐셜 에너지
N/A
V
^
=
V
(
r
,
t
)
=
V
{\displaystyle {\hat {V}}=V\left(\mathbf {r} ,t\right)=V\,\!}
J
[M] [L]2 [T]−2
총 에너지
N/A
시간에 따라 변하는 퍼텐셜:
E
^
=
i
ℏ
∂
∂
t
{\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\,\!}
시간에 독립적인:
E
^
=
E
{\displaystyle {\hat {E}}=E\,\!}
J
[M] [L]2 [T]−2
해밀토니언
H
^
=
T
^
+
V
^
=
1
2
m
p
^
⋅
p
^
+
V
=
1
2
m
p
^
2
+
V
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\&={\frac {1}{2m}}\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} +V\\&={\frac {1}{2m}}{\hat {p}}^{2}+V\\\end{aligned}}\,\!}
J
[M] [L]2 [T]−2
각운동량 연산자
L
^
x
=
−
i
ℏ
(
y
∂
∂
z
−
z
∂
∂
y
)
L
^
y
=
−
i
ℏ
(
z
∂
∂
x
−
x
∂
∂
z
)
L
^
z
=
−
i
ℏ
(
x
∂
∂
y
−
y
∂
∂
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {L}}_{x}&=-i\hbar \left(y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y}\right)\\{\hat {L}}_{y}&=-i\hbar \left(z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z}\right)\\{\hat {L}}_{z}&=-i\hbar \left(x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x}\right)\end{aligned}}}
L
^
=
r
×
−
i
ℏ
∇
{\displaystyle \mathbf {\hat {L}} =\mathbf {r} \times -i\hbar \nabla }
J s = N s m
[M] [L]2 [T]−1
스핀 각운동량
S
^
x
=
ℏ
2
σ
x
S
^
y
=
ℏ
2
σ
y
S
^
z
=
ℏ
2
σ
z
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {S}}_{x}&={\hbar \over 2}\sigma _{x}&{\hat {S}}_{y}&={\hbar \over 2}\sigma _{y}&{\hat {S}}_{z}&={\hbar \over 2}\sigma _{z}\end{aligned}}}
여기서
σ
x
=
(
0
1
1
0
)
σ
y
=
(
0
−
i
i
0
)
σ
z
=
(
1
0
0
−
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
는 스핀-1/2 입자에 대한 파울리 행렬 이다.
S
^
=
ℏ
2
σ
{\displaystyle \mathbf {\hat {S}} ={\hbar \over 2}{\boldsymbol {\sigma }}\,\!}
여기서 σ 는 파울리 행렬을 성분으로 하는 벡터이다.
J s = N s m
[M] [L]2 [T]−1
총 각운동량
J
^
x
=
L
^
x
+
S
^
x
J
^
y
=
L
^
y
+
S
^
y
J
^
z
=
L
^
z
+
S
^
z
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {J}}_{x}&={\hat {L}}_{x}+{\hat {S}}_{x}\\{\hat {J}}_{y}&={\hat {L}}_{y}+{\hat {S}}_{y}\\{\hat {J}}_{z}&={\hat {L}}_{z}+{\hat {S}}_{z}\end{aligned}}}
J
^
=
L
^
+
S
^
=
−
i
ℏ
r
×
∇
+
ℏ
2
σ
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {J}} &=\mathbf {\hat {L}} +\mathbf {\hat {S}} \\&=-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla +{\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}\end{aligned}}}
J s = N s m
[M] [L]2 [T]−1
전이 쌍극자 모멘트 (전기)
d
^
x
=
q
x
^
,
d
^
y
=
q
y
^
,
d
^
z
=
q
z
^
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {d}}_{x}&=q{\hat {x}},&{\hat {d}}_{y}&=q{\hat {y}},&{\hat {d}}_{z}&=q{\hat {z}}\end{aligned}}}
d
^
=
q
r
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {\hat {r}} }
C m
[I] [T] [L]
파동 함수에서 정보를 추출하는 절차는 다음과 같다. 입자의 운동량 p 를 예로 들어보자. 1차원 위치 기저에서 운동량 연산자는 다음과 같다.
p
^
=
−
i
ℏ
∂
∂
x
{\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}
이를 ψ 에 작용시키면 다음을 얻는다.
p
^
ψ
=
−
i
ℏ
∂
∂
x
ψ
,
{\displaystyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi ,}
만약 ψ 가
p
^
{\displaystyle {\hat {p}}}
p 는 입자의 운동량 값이며, 다음 식을 통해 찾는다.
−
i
ℏ
∂
∂
x
ψ
=
p
ψ
.
{\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p\psi .}
3차원의 경우 운동량 연산자는 나블라 연산자를 사용하여 다음이 된다.
p
^
=
−
i
ℏ
∇
.
{\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla .}
데카르트 좌표계(표준 데카르트 기저 벡터 e x , e y , e z 사용)에서 이는 다음과 같이 쓸 수 있다.
e
x
p
^
x
+
e
y
p
^
y
+
e
z
p
^
z
=
−
i
ℏ
(
e
x
∂
∂
x
+
e
y
∂
∂
y
+
e
z
∂
∂
z
)
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\hat {p}}_{x}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\hat {p}}_{y}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\hat {p}}_{z}=-i\hbar \left(\mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\frac {\partial }{\partial z}}\right),}
즉:
p
^
x
=
−
i
ℏ
∂
∂
x
,
p
^
y
=
−
i
ℏ
∂
∂
y
,
p
^
z
=
−
i
ℏ
∂
∂
z
{\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},\quad {\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}},\quad {\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\,\!}
고윳값을 찾는 과정은 동일하다. 이는 벡터 및 연산자 방정식이므로, ψ가 고유 함수라면 운동량 연산자의 각 성분은 운동량의 해당 성분에 해당하는 고윳값을 가질 것이다.
p
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }
p
^
x
ψ
=
−
i
ℏ
∂
∂
x
ψ
=
p
x
ψ
p
^
y
ψ
=
−
i
ℏ
∂
∂
y
ψ
=
p
y
ψ
p
^
z
ψ
=
−
i
ℏ
∂
∂
z
ψ
=
p
z
ψ
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p_{x}\psi \\{\hat {p}}_{y}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\psi =p_{y}\psi \\{\hat {p}}_{z}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\psi =p_{z}\psi \\\end{aligned}}\,\!}
↑ 가 나 다 라 Molecular Quantum Mechanics Parts I and II: An Introduction to Quantum Chemistry (Volume 1), P.W. Atkins, Oxford University Press, 1977, ISBN 0-19-855129-0
↑ Ballentine, L. E. (1970), “The Statistical Interpretation of Quantum Mechanics”, 《Reviews of Modern Physics》 42 (4): 358–381, Bibcode :1970RvMP...42..358B , doi :10.1103/RevModPhys.42.358 ↑ 가 나 Quantum Mechanics Demystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN 0-07-145546-9
↑ Operators - The Feynman Lectures on Physics
이 부분의 본문은 파동 함수입니다.
![{\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa7917e45fa532ccc9cfd210a2ac545e0b60b093)
![{\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi ={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7967ebafc93ebd938b2cac7691d783e42e8e67c6)
![{\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02d5d62427be967a2826edc5f9cf45ea1d2c25d3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi &={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi \\&=a(b\psi )-b(a\psi )\\&=0.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/185fc76a611137a886e1661f483db74dd073084d)
![{\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi \neq 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b87d66f7edae65001f4b897bc0184bdc896709a0)
![{\displaystyle \Delta A\Delta B\geq \left|{\frac {1}{2}}\langle [A,B]\rangle \right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815d659c43d441760fba8fb8c923b4831b78c06e)
![{\displaystyle \left\langle F\left({\hat {A}}\right)\right\rangle =\int _{R}\psi (\mathbf {r} )^{*}\left[F\left({\hat {A}}\right)\psi (\mathbf {r} )\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|F\left({\hat {A}}\right)\right|\psi \right\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9fbfee146f6571810c1b9b10e2069429567a04c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\\[2pt]{\hat {T}}_{y}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\\[2pt]{\hat {T}}_{z}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cd698c8c164b000d326bf75bd7de8529befba36)
