작용-각도 좌표

고전역학에서 작용-각도 좌표(영어: Action-angle coordinates)는 보존된 에너지 준위 집합이 콤팩트하고 통근 흐름이 완전할 때 적분가능계에서 통근 흐름의 본질을 특징짓는 데 유용한 정준좌표 집합이다. 작용-각도 변수는 운동 방정식을 풀지 않고도 진동 또는 회전 운동의 진동수를 얻는 데도 중요하다. 이는 시스템이 완전히 적분 가능할 때, 즉 독립적인 푸아송 가환 불변량의 수가 최대이고 보존된 에너지 표면이 콤팩트할 때만 존재하며, 동역학의 주요 특징을 제공한다. 이는 일반적으로 해밀턴-야코비 방정식이 완전히 분리 가능하고 분리 상수를 위상 공간의 함수로 풀 수 있을 때 실제 계산적 가치가 있다. 작용-각도 변수는 푸아송 가환 불변량에 의해 유도된 흐름이 공동 준위 집합 내에 남아 있는 반면, 에너지 준위 집합의 콤팩트성이 토리임을 의미하므로 불변 라그랑주 토러스(영어: invariant Lagrangian tori)에 의한 엽층을 정의한다. 각도 변수는 통근 흐름이 선형인 잎에 대한 좌표를 제공한다.

고전 해밀턴 시스템과 슈뢰딩거 파동 역학 접근 방식에서의 양자화 사이의 연결은 해밀턴-야코비 방정식을 슈뢰딩거 방정식에 대한 WKB 점근 급수의 선행 항으로 봄으로써 명확해진다. 적분 가능한 시스템의 경우, 보어-조머펠트 양자화 조건은 양자 역학이 등장하기 전에 수소 원자의 스펙트럼을 계산하는 데 처음 사용되었다. 이들은 작용-각도 변수가 존재하고 환산 플랑크 상수 $\hbar$ 의 정수배여야 한다고 요구한다. 알베르트 아인슈타인의 EBK 양자화에서 비적분 시스템을 양자화하는 어려움에 대한 통찰력은 이 사실에 기반을 두었다.

작용-각도 좌표는 해밀턴 역학의 섭동 이론에서도 유용하며, 특히 단열 불변량을 결정하는 데 그렇다. 작은 섭동 하에서 적분 가능한 동적 시스템의 동적 안정성에 대한 혼돈 이론의 초기 결과 중 하나는 불변 토러스가 부분적으로 안정적임을 명시하는 KAM 정리이다.

적분가능계의 현대 이론에서 작용-각도 변수는 도다 격자의 해법, 랙스 쌍의 정의, 또는 더 일반적으로 적분 가능한 동역학을 특징짓는 선형 연산자의 등스펙트럼 진화 및 관련 스펙트럼 데이터를 해밀턴 형식에서 작용-각도 변수로 해석하는 데 사용되었다.

유도

작용 각도는 제2종 정준변환에서 생성 함수가 해밀턴의 특성 함수 $W(\mathbf {q} )$ (해밀턴의 주 함수 $S$ 가 아님)인 경우 발생한다. 원래 해밀토니안은 시간에 명시적으로 의존하지 않으므로, 새로운 해밀토니안 $K(\mathbf {w} ,\mathbf {J} )$ 는 단지 새로운 정준좌표 $\mathbf {w}$ (작용 각도, 즉 일반화 좌표)와 그 새로운 일반화 운동량 $\mathbf {J}$ 로 표현된 이전 해밀토니안 $H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )$ 이다. 여기서는 생성 함수 $W$ 자체를 풀 필요는 없으며, 대신 새로운 정준좌표와 이전 정준좌표를 연결하는 수단으로만 사용할 것이다.

작용 각도 $\mathbf {w}$ 를 직접 정의하기보다는, 대신 그들의 일반화 운동량을 정의하는데, 이는 각 원래 일반화 좌표에 대한 고전적 작용과 유사하다.

J_{k}\equiv \oint p_{k}\,\mathrm {d} q_{k}

여기서 적분 경로는 암묵적으로 상수 에너지 함수 $E=E(q_{k},p_{k})$ 에 의해 주어진다. 실제 운동은 이 적분에 관여하지 않으므로, 이러한 일반화 운동량 $J_{k}$ 는 운동의 상수이며, 이는 변환된 해밀토니안 $K$ 가 켤레 일반화 좌표 $w_{k}$ 에 의존하지 않음을 의미한다.

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}J_{k}=0={\frac {\partial K}{\partial w_{k}}}

여기서 $w_{k}$ 는 제2종 정준변환의 전형적인 방정식으로 주어진다.

w_{k}\equiv {\frac {\partial W}{\partial J_{k}}}

따라서 새로운 해밀토니안 $K=K(\mathbf {J} )$ 는 새로운 일반화 운동량 $\mathbf {J}$ 에만 의존한다.

작용 각도의 동역학은 해밀턴 방정식으로 주어진다.

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}w_{k}={\frac {\partial K}{\partial J_{k}}}\equiv \nu _{k}(\mathbf {J} )

우변은 운동의 상수이다 (모든 $J$ 가 상수이므로). 따라서 해는 다음과 같이 주어진다.

w_{k}=\nu _{k}(\mathbf {J} )t+\beta _{k}

여기서 $\beta _{k}$ 는 적분 상수이다. 특히, 원래의 일반화 좌표가 주기 $T$ 의 진동 또는 회전을 겪는다면, 해당하는 작용 각도 $w_{k}$ 는 $\Delta w_{k}=\nu _{k}(\mathbf {J} )T$ 만큼 변한다.

이러한 $\nu _{k}(\mathbf {J} )$ 는 원래의 일반화 좌표 $q_{k}$ 의 진동/회전 주파수이다. 이를 보이기 위해, 일반화 좌표 $q_{k}$ 의 정확히 한 완전한 변화 (즉, 진동 또는 회전)에 걸쳐 작용 각도 $w_{k}$ 의 순 변화를 적분한다.

\Delta w_{k}\equiv \oint {\frac {\partial w_{k}}{\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}=\oint {\frac {\partial ^{2}W}{\partial J_{k}\,\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} J_{k}}}\oint {\frac {\partial W}{\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} J_{k}}}\oint p_{k}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} J_{k}}{\mathrm {d} J_{k}}}=1

$\Delta w_{k}$ 에 대한 두 식을 같다고 놓으면, 원하는 방정식을 얻는다.

\nu _{k}(\mathbf {J} )={\frac {1}{T}}

작용 각도 $\mathbf {w}$ 는 일반화 좌표의 독립적인 집합이다. 따라서 일반적인 경우, 각 원래 일반화 좌표 $q_{k}$ 는 모든 작용 각도에 대한 푸리에 급수로 표현될 수 있다.

q_{k}=\sum _{s_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{s_{2}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{s_{N}=-\infty }^{\infty }A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}e^{i2\pi s_{1}w_{1}}e^{i2\pi s_{2}w_{2}}\cdots e^{i2\pi s_{N}w_{N}}

여기서 $A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}$ 는 푸리에 급수 계수이다. 그러나 대부분의 실제 경우에서, 원래 일반화 좌표 $q_{k}$ 는 자체 작용 각도 $w_{k}$ 에 대한 푸리에 급수로만 표현될 수 있다.

q_{k}=\sum _{s_{k}=-\infty }^{\infty }A_{s_{k}}^{k}e^{i2\pi s_{k}w_{k}}

기본 프로토콜 요약

일반적인 절차는 세 단계로 구성된다.

새로운 일반화 운동량 $J_{k}$ 를 계산한다.
원래 해밀토니안을 이 변수들로만 표현한다.
이 운동량에 대해 해밀토니안을 미분하여 주파수 $\nu _{k}$ 를 얻는다.

축퇴

어떤 경우에는 서로 다른 두 일반화 좌표의 주파수가 동일하다. 즉, $k\neq l$ 에 대해 $\nu _{k}=\nu _{l}$ 이다. 이런 경우, 운동을 축퇴라고 한다.

축퇴 운동은 추가적인 일반적인 보존량이 있음을 나타낸다. 예를 들어, 케플러 문제의 주파수는 축퇴되어 있으며, 이는 라플라스-룽게-렌츠 벡터의 보존에 해당한다.

축퇴 운동은 또한 해밀턴-야코비 방정식이 둘 이상의 좌표계에서 완전히 분리 가능함을 나타낸다. 예를 들어, 케플러 문제는 구면 좌표계와 포물선 좌표계 모두에서 완전히 분리 가능하다.

같이 보기

각주

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1976), 《Mechanics》 3판, Pergamon Press, ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover)
Goldstein, H. (1980), 《Classical Mechanics》 2판, Addison-Wesley, ISBN 0-201-02918-9
Sardanashvily, G. (2015), 《Handbook of Integrable Hamiltonian Systems》, URSS, ISBN 978-5-396-00687-4
Previato, Emma (2003), 《Dictionary of Applied Math for Engineers and Scientists》, CRC Press, Bibcode:2003dame.book.....P, ISBN 978-1-58488-053-0