Plot of the hypergeometric function 2F1(a,b; c; z) with a=2 and b=3 and c=4 in the complex plane from −2 − 2i to 2 + 2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D 수학 에서 가우스 또는 일반 초기하 함수 (hypergeometric function) 2 F1 (a, b; c; z)는 다른 많은 특수 함수를 특정 또는 극한 사례 로 포함하는 초기하 급수 로 표현되는 특수 함수 이다. 이것은 2차 선형 상미분 방정식 (ODE)의 해이다. 세 개의 정칙 특이점 을 갖는 모든 2차 선형 ODE는 이 방정식으로 변환될 수 있다.
초기하 함수를 포함하는 수천 개의 출판된 항등식 의 체계적인 목록은 Erdélyi 외. (1953) 및 Olde Daalhuis (2010) 의 참고 문헌을 참조하라. 모든 항등식을 정리하는 알려진 시스템은 없으며, 실제로 모든 항등식을 생성할 수 있는 알려진 알고리즘도 없다. 여러 가지 다른 알고리즘이 다른 계열의 항등식을 생성하는 것으로 알려져 있다. 항등식의 알고리즘적 발견 이론은 활발한 연구 주제로 남아있다.
"초기하 급수"라는 용어는 존 월리스 가 1655년 저서 『Arithmetica Infinitorum』에서 처음 사용했다.
초기하 급수는 레온하르트 오일러 에 의해 연구되었으나, 최초의 완전한 체계적인 처리는 칼 프리드리히 가우스 (1813 )에 의해 이루어졌다.
19세기 연구에는 Ernst Kummer (1836 )의 연구와 초기하 함수가 만족하는 미분 방정식을 통한 리만 의 근본적인 특성 규명(베른하르트 리만 (1857 ))이 포함된다.
리만은 복소 평면에서 조사된 2 F1 (z)에 대한 2차 미분 방정식이 (리만 구 에서) 세 개의 정칙 특이점 에 의해 특징지어질 수 있음을 보였다.
해가 대수함수 인 경우는 헤르만 슈바르츠 가 발견했다(슈바르츠 목록 ).
초기하 함수는 |z| < 1 에 대해 멱급수 로 정의된다.
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
∑
n
=
0
∞
(
a
)
n
(
b
)
n
(
c
)
n
z
n
n
!
=
1
+
a
b
c
z
1
!
+
a
(
a
+
1
)
b
(
b
+
1
)
c
(
c
+
1
)
z
2
2
!
+
⋯
.
{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}=1+{\frac {ab}{c}}{\frac {z}{1!}}+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots .}
c 가 음이 아닌 정수 와 같으면 정의되지 않거나 (무한대가 된다). 여기서 (q)n 은 (증가) 포흐하머 기호 (Pochhammer symbol)이다.[ 주 1]
(
q
)
n
=
{
1
n
=
0
q
(
q
+
1
)
⋯
(
q
+
n
−
1
)
n
>
0
{\displaystyle (q)_{n}={\begin{cases}1&n=0\\q(q+1)\cdots (q+n-1)&n>0\end{cases}}}
a 또는 b 가 음이 아닌 정수인 경우 이 급수는 유한하며, 이 경우 함수는 다항식으로 환원된다.
2
F
1
(
−
m
,
b
;
c
;
z
)
=
∑
n
=
0
m
(
−
1
)
n
(
m
n
)
(
b
)
n
(
c
)
n
z
n
.
{\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;z)=\sum _{n=0}^{m}(-1)^{n}{\binom {m}{n}}{\frac {(b)_{n}}{(c)_{n}}}z^{n}.}
|z| ≥ 1 인 복소 인수 z 에 대해, 이 함수는 1과 무한대의 분기점을 피하는 복소 평면상의 모든 경로를 따라 해석적 연속 될 수 있다. 실제로, 초기하 함수의 대부분의 컴퓨터 구현은 선 z ≥ 1 을 따라 분지 절단을 채택한다.
m 이 음이 아닌 정수일 때, c → −m 이면 2 F1 (z) → ∞감마 함수 의 값 Γ(c) 로 나누면 다음 극한을 얻는다.
lim
c
→
−
m
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
Γ
(
c
)
=
(
a
)
m
+
1
(
b
)
m
+
1
(
m
+
1
)
!
z
m
+
1
2
F
1
(
a
+
m
+
1
,
b
+
m
+
1
;
m
+
2
;
z
)
{\displaystyle \lim _{c\to -m}{\frac {{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}{\Gamma (c)}}={\frac {(a)_{m+1}(b)_{m+1}}{(m+1)!}}z^{m+1}{}_{2}F_{1}(a+m+1,b+m+1;m+2;z)}
2 F1 (z)일반화된 초기하급수 p Fq
항등식
(
a
)
n
+
1
=
a
(
a
+
1
)
n
{\displaystyle (a)_{n+1}=a(a+1)_{n}}
d
d
z
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
a
b
c
2
F
1
(
a
+
1
,
b
+
1
;
c
+
1
;
z
)
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {ab}{c}}\ {}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}
그리고 더 일반적으로,
d
n
d
z
n
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
(
a
)
n
(
b
)
n
(
c
)
n
2
F
1
(
a
+
n
,
b
+
n
;
c
+
n
;
z
)
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a+n,b+n;c+n;z)}
많은 일반적인 수학 함수는 초기하 함수로 표현될 수 있거나 그 극한 사례로 표현될 수 있다. 몇 가지 전형적인 예는 다음과 같다.
2
F
1
(
1
,
1
;
2
;
−
z
)
=
ln
(
1
+
z
)
z
2
F
1
(
a
,
b
;
b
;
z
)
=
(
1
−
z
)
−
a
(
b
임의의
)
2
F
1
(
1
2
,
1
2
;
3
2
;
z
2
)
=
arcsin
(
z
)
z
2
F
1
(
1
3
,
2
3
;
3
2
;
−
27
x
2
4
)
=
3
x
3
+
27
x
2
+
4
2
3
−
2
3
x
3
+
27
x
2
+
4
3
x
3
{\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,1;2;-z\right)&={\frac {\ln(1+z)}{z}}\\_{2}F_{1}(a,b;b;z)&=(1-z)^{-a}\quad (b{\text{ 임의의}})\\_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};z^{2}\right)&={\frac {\arcsin(z)}{z}}\\\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}};{\frac {3}{2}};-{\frac {27x^{2}}{4}}\right)&={\frac {{\sqrt[{3}]{\frac {3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}}}}{x{\sqrt {3}}}}\end{aligned}}}
등비급수 로 환원된다. 즉,
2
F
1
(
1
,
b
;
b
;
z
)
=
1
F
0
(
1
;
;
z
)
=
1
+
z
+
z
2
+
z
3
+
z
4
+
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,b;b;z\right)&={_{1}F_{0}}\left(1;;z\right)=1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+\cdots \end{aligned}}}
따라서 초기하라는 이름이 붙는다. 이 함수는 등비급수 의 일반화로 볼 수 있다.
합류 초기하 함수 (또는 쿠머 함수)는 초기하 함수의 극한으로 주어질 수 있다.
M
(
a
,
c
,
z
)
=
lim
b
→
∞
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
b
−
1
z
)
{\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }{_{2}F_{1}}(a,b;c;b^{-1}z)}
따라서 베셀 함수 와 같이 본질적으로 이 함수의 특수 사례인 모든 함수는 초기하 함수의 극한으로 표현될 수 있다. 여기에는 수학 물리학에서 일반적으로 사용되는 대부분의 함수가 포함된다.
르장드르 함수 는 3개의 정칙 특이점을 갖는 2차 미분 방정식의 해이므로 여러 가지 방식으로 초기하 함수로 표현될 수 있다. 예를 들어
2
F
1
(
a
,
1
−
a
;
c
;
z
)
=
Γ
(
c
)
z
1
−
c
2
(
1
−
z
)
c
−
1
2
P
−
a
1
−
c
(
1
−
2
z
)
{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,1-a;c;z)=\Gamma (c)z^{\tfrac {1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac {c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z)}
야코비 다항식 P(α,β) 및 그 특수 사례인 르장드르 다항식 , 체비쇼프 다항식 , 게겐바우어 다항식 , 제르니케 다항식 을 포함한 여러 직교 다항식은 다음을 사용하여 초기하 함수로 표현될 수 있다.
2
F
1
(
−
n
,
α
+
1
+
β
+
n
;
α
+
1
;
x
)
=
n
!
(
α
+
1
)
n
P
n
(
α
,
β
)
(
1
−
2
x
)
{\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)={\frac {n!}{(\alpha +1)_{n}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x)}
특수 사례인 다른 다항식에는 크라우추크 다항식 , 마이크스너 다항식 , 마이크스너-폴라체크 다항식 이 포함된다.
z
∈
C
∖
{
0
,
1
}
{\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}
τ
=
i
2
F
1
(
1
2
,
1
2
;
1
;
1
−
z
)
2
F
1
(
1
2
,
1
2
;
1
;
z
)
.
{\displaystyle \tau ={\rm {i}}{\frac {{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;1-z{\bigr )}}{{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;z{\bigr )}}}.}
그러면
λ
(
τ
)
=
θ
2
(
τ
)
4
θ
3
(
τ
)
4
=
z
{\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}=z}
는 모듈러 람다 함수 이며, 여기서
θ
2
(
τ
)
=
∑
n
∈
Z
e
π
i
τ
(
n
+
1
/
2
)
2
,
θ
3
(
τ
)
=
∑
n
∈
Z
e
π
i
τ
n
2
.
{\displaystyle \theta _{2}(\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{\pi i\tau (n+1/2)^{2}},\quad \theta _{3}(\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{\pi i\tau n^{2}}.}
J-불변량 , 즉 모듈러 형식 은
λ
(
τ
)
{\displaystyle \lambda (\tau )}
불완전 베타 함수 Bx (p, q)는 다음과 같이 관련되어 있다.
B
x
(
p
,
q
)
=
x
p
p
2
F
1
(
p
,
1
−
q
;
p
+
1
;
x
)
.
{\displaystyle B_{x}(p,q)={\tfrac {x^{p}}{p}}{}_{2}F_{1}(p,1-q;p+1;x).}
완전 타원 적분 K와 E는 다음과 같이 주어진다.[ 1]
K
(
k
)
=
π
2
2
F
1
(
1
2
,
1
2
;
1
;
k
2
)
,
E
(
k
)
=
π
2
2
F
1
(
−
1
2
,
1
2
;
1
;
k
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right),\\E(k)&={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).\end{aligned}}}
초기하 함수는 오일러의 초기하 미분 방정식의 해이다.
z
(
1
−
z
)
d
2
w
d
z
2
+
[
c
−
(
a
+
b
+
1
)
z
]
d
w
d
z
−
a
b
w
=
0.
{\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}}-ab\,w=0.}
이 방정식은 세 개의 정칙 특이점 : 0, 1, ∞를 갖는다. 세 개의 임의의 정칙 특이점에 대한 이 방정식의 일반화는 리만의 미분 방정식 에 의해 주어진다. 세 개의 정칙 특이점을 갖는 모든 2차 선형 미분 방정식은 변수 변환을 통해 초기하 미분 방정식으로 변환될 수 있다.
초기하 미분 방정식의 해는 초기하 급수 2 F1 (a, b; c; z)로 구성된다. 이 방정식은 두 개의 선형 독립 해를 갖는다. 세 개의 특이점 0, 1, ∞ 각각에서, 일반적으로 xs 에 x의 정칙 함수를 곱한 형태의 두 개의 특수 해가 존재한다. 여기서 s는 지표 방정식의 두 근 중 하나이고 x는 정칙 특이점에서 소멸하는 국소 변수이다. 이는 다음과 같이 3 × 2 = 6개의 특수 해를 제공한다.
z = 0 지점 근처에서 c가 음이 아닌 정수가 아닌 경우 두 개의 독립적인 해는 다음과 같다.
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
{\displaystyle _{2}F_{1}(a,b;c;z)}
그리고 c가 정수가 아니라는 조건하에,
z
1
−
c
2
F
1
(
1
+
a
−
c
,
1
+
b
−
c
;
2
−
c
;
z
)
{\displaystyle z^{1-c}{_{2}F_{1}}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}
c가 음이 아닌 정수 1 − m인 경우, 첫 번째 해는 존재하지 않으며
z
m
F
(
a
+
m
,
b
+
m
;
1
+
m
;
z
)
{\displaystyle z^{m}F(a+m,b+m;1+m;z)}
디감마 함수 를 포함하는 더 복잡한 표현이 사용되어야 한다. 자세한 내용은 Olde Daalhuis (2010) 을 참조하라.
z = 1 근처에서 c − a − b가 정수가 아니면 두 개의 독립적인 해는 다음과 같다.
2
F
1
(
a
,
b
;
1
+
a
+
b
−
c
;
1
−
z
)
{\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;1+a+b-c;1-z)}
그리고
(
1
−
z
)
c
−
a
−
b
2
F
1
(
c
−
a
,
c
−
b
;
1
+
c
−
a
−
b
;
1
−
z
)
{\displaystyle (1-z)^{c-a-b}\;_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z)}
z = ∞ 근처에서 a − b가 정수가 아니면 두 개의 독립적인 해는 다음과 같다.
z
−
a
2
F
1
(
a
,
1
+
a
−
c
;
1
+
a
−
b
;
z
−
1
)
{\displaystyle z^{-a}\,_{2}F_{1}\left(a,1+a-c;1+a-b;z^{-1}\right)}
그리고
z
−
b
2
F
1
(
b
,
1
+
b
−
c
;
1
+
b
−
a
;
z
−
1
)
.
{\displaystyle z^{-b}\,_{2}F_{1}\left(b,1+b-c;1+b-a;z^{-1}\right).}
다시 말해, 정수가 아닌 조건이 충족되지 않을 때, 더 복잡한 다른 해들이 존재한다.
위 6가지 해 중 임의의 3가지는 해 공간이 2차원이므로 선형 관계를 만족하며, 이로 인해 (6 ) = 20가지 선형 관계가 발생하는데, 이를 연결 공식 이라고 한다.
n개의 특이점을 갖는 2차 푸크스형 방정식 은 해에 (사영적으로) 작용하는 대칭군을 가지며, 이는 차수 2n−1 n!인 콕서터 군 W(Dn )과 동형이다. 초기하 방정식은 n = 3인 경우로, 차수 24인 군이 4개의 점에 대한 대칭군과 동형이며, 이는 쿠머 가 처음 설명했다. 대칭군의 등장은 우발적이며 3개 이상의 특이점에 대해서는 유비가 없으므로, 때로는 이 군을 3개의 점에 대한 대칭군 (3개의 특이점의 순열로 작용)에 클라인 4군 (그 원소가 짝수 개의 특이점에서 지수 차이의 부호를 변경)을 확장한 것으로 생각하는 것이 더 좋다. 쿠머의 24개 변환군은 해 F(a, b; c; z)를 다음 중 하나로 변환하는 세 가지 변환에 의해 생성된다.
(
1
−
z
)
−
a
F
(
a
,
c
−
b
;
c
;
z
z
−
1
)
F
(
a
,
b
;
1
+
a
+
b
−
c
;
1
−
z
)
(
1
−
z
)
−
b
F
(
c
−
a
,
b
;
c
;
z
z
−
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)^{-a}F\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\F(a,b;1+a+b-c;1-z)\\(1-z)^{-b}F\left(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\end{aligned}}}
이것들은 1, 2, 3, 4의 4개 점에 대한 대칭군과의 동형 아래에서 전위 (12), (23), (34)에 해당한다. (이 중 첫 번째와 세 번째는 실제로는 F(a, b; c; z)와 같으며, 두 번째는 미분 방정식의 독립적인 해이다.)
쿠머의 24 = 6×4 변환을 초기하 함수에 적용하면 위에서 설명한 6 = 2×3개의 해가 각 3개 특이점의 2가지 가능한 지수에 해당하며, 각각은 다음 항등식 때문에 4번 나타난다.
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
(
1
−
z
)
c
−
a
−
b
2
F
1
(
c
−
a
,
c
−
b
;
c
;
z
)
오일러 변환
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
(
1
−
z
)
−
a
2
F
1
(
a
,
c
−
b
;
c
;
z
z
−
1
)
파프 변환
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
(
1
−
z
)
−
b
2
F
1
(
c
−
a
,
b
;
c
;
z
z
−
1
)
파프 변환
{\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)&&{\text{오일러 변환}}\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-a}\,{}_{2}F_{1}(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}})&&{\text{파프 변환}}\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}})&&{\text{파프 변환}}\end{aligned}}}
초기하 미분 방정식은 u = wv로 치환하고 1차 미분 항을 제거하여 Q-형식으로 변환할 수 있다.
d
2
u
d
z
2
+
Q
(
z
)
u
(
z
)
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+Q(z)u(z)=0}
Q는 다음과 같다.
Q
=
z
2
[
1
−
(
a
−
b
)
2
]
+
z
[
2
c
(
a
+
b
−
1
)
−
4
a
b
]
+
c
(
2
−
c
)
4
z
2
(
1
−
z
)
2
{\displaystyle Q={\frac {z^{2}[1-(a-b)^{2}]+z[2c(a+b-1)-4ab]+c(2-c)}{4z^{2}(1-z)^{2}}}}
그리고 v는 다음 해로 주어진다.
d
d
z
log
v
(
z
)
=
−
c
−
z
(
a
+
b
+
1
)
2
z
(
1
−
z
)
=
−
c
2
z
−
1
+
a
+
b
−
c
2
(
z
−
1
)
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log v(z)=-{\frac {c-z(a+b+1)}{2z(1-z)}}=-{\frac {c}{2z}}-{\frac {1+a+b-c}{2(z-1)}}}
이것은
v
(
z
)
=
z
−
c
/
2
(
1
−
z
)
(
c
−
a
−
b
−
1
)
/
2
.
{\displaystyle v(z)=z^{-c/2}(1-z)^{(c-a-b-1)/2}.}
Q-형식은 슈바르치안 (Hille 1976 , 307–401쪽)과의 관계에서 중요하다.
슈바르츠 삼각형 사상 또는 슈바르츠 s -함수 는 쌍의 해의 비율이다.
s
k
(
z
)
=
ϕ
k
(
1
)
(
z
)
ϕ
k
(
0
)
(
z
)
{\displaystyle s_{k}(z)={\frac {\phi _{k}^{(1)}(z)}{\phi _{k}^{(0)}(z)}}}
여기서 k는 점 0, 1, ∞ 중 하나이다. 다음 표기법
D
k
(
λ
,
μ
,
ν
;
z
)
=
s
k
(
z
)
{\displaystyle D_{k}(\lambda ,\mu ,\nu ;z)=s_{k}(z)}
도 때때로 사용된다. 연결 계수는 삼각형 사상에 대한 뫼비우스 변환 이 된다는 점에 유의하라.
각 삼각형 사상은 각각 z ∈ {0, 1, ∞}에서 정칙 이며,
s
0
(
z
)
=
z
λ
(
1
+
O
(
z
)
)
s
1
(
z
)
=
(
1
−
z
)
μ
(
1
+
O
(
1
−
z
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(z)&=z^{\lambda }(1+{\mathcal {O}}(z))\\s_{1}(z)&=(1-z)^{\mu }(1+{\mathcal {O}}(1-z))\end{aligned}}}
s
∞
(
z
)
=
z
ν
(
1
+
O
(
1
z
)
)
.
{\displaystyle s_{\infty }(z)=z^{\nu }(1+{\mathcal {O}}({\tfrac {1}{z}})).}
λ, μ, ν가 실수이고 0 ≤ λ,μ,ν < 1인 특수 경우에, s-사상은 원호로 둘러싸인 리만 구 위의 삼각형으로의 상반평면 H 의 등각 사상 이다. 이 사상은 원호가 있는 삼각형으로의 슈바르츠-크리스토펠 사상 의 일반화이다. 특이점 0, 1, ∞는 삼각형 꼭짓점으로 보내진다. 삼각형의 각도는 각각 πλ, πμ, πν이다.
더 나아가, λ=1/p, μ=1/q, ν=1/r (p, q, r은 정수)인 경우, 삼각형은 λ + μ + ν − 1이 양수, 0 또는 음수인지에 따라 구, 복소 평면 또는 상반 평면을 타일링하며, s-사상은 삼각군 <p, q, r> = Δ(p, q, r)에 대한 자동형 함수 의 역함수이다.
초기하 방정식의 모노드로미는 z 평면에서 동일한 지점으로 돌아오는 경로를 따라 해석적으로 계속될 때 기본 해가 어떻게 변하는지 설명한다.
즉, 2 F1 의 특이점 주위로 경로가 감길 때, 끝점에서의 해의 값은 시작점과 다를 것이다.
초기하 방정식의 두 기본 해는 선형 변환에 의해 서로 관련되어 있다. 따라서 모노드로미는 사상 (군 준동형):
π
1
(
C
∖
{
0
,
1
}
,
z
0
)
→
GL
(
2
,
C
)
{\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {C} \setminus \{0,1\},z_{0})\to {\text{GL}}(2,\mathbf {C} )}
여기서 π1 은 기본군 이다. 다시 말해, 모노드로미는 기본군의 2차원 선형 표현이다. 방정식의 모노드로미 군 은 이 사상의 이미지, 즉 모노드로미 행렬에 의해 생성된 군이다. 기본군의 모노드로미 표현은 특이점의 지수를 사용하여 명시적으로 계산할 수 있다.[ 2] 0 를 취할 때, 0과 1 주위의 루프는 다음 모노드로미 행렬을 갖는다.
g
0
=
(
e
2
π
i
α
0
0
e
2
π
i
α
′
)
g
1
=
(
μ
e
2
π
i
β
−
e
2
π
i
β
′
μ
−
1
μ
(
e
2
π
i
β
−
e
2
π
i
β
′
)
(
μ
−
1
)
2
e
2
π
i
β
′
−
e
2
π
i
β
μ
e
2
π
i
β
′
−
e
2
π
i
β
μ
−
1
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}g_{0}&={\begin{pmatrix}e^{2\pi i\alpha }&0\\0&e^{2\pi i\alpha ^{\prime }}\end{pmatrix}}\\g_{1}&={\begin{pmatrix}{\mu e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }} \over \mu -1}&{\mu (e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }}) \over (\mu -1)^{2}}\\e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta }&{\mu e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta } \over \mu -1}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}
여기서
μ
=
sin
π
(
α
+
β
′
+
γ
′
)
sin
π
(
α
′
+
β
+
γ
′
)
sin
π
(
α
′
+
β
′
+
γ
′
)
sin
π
(
α
+
β
+
γ
′
)
.
{\displaystyle \mu ={\sin \pi (\alpha +\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta +\gamma ^{\prime }) \over \sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha +\beta +\gamma ^{\prime })}.}
1 − a, c − a − b, a − b가 분모가 k, l, m인 비정수 유리수 인 경우, 모노드로미 군은
1
/
k
+
1
/
l
+
1
/
m
>
1
{\displaystyle 1/k+1/l+1/m>1}
슈바르츠 목록 또는 코바치치 알고리즘 을 참조하라.
B가 베타 함수 이면
B
(
b
,
c
−
b
)
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
∫
0
1
x
b
−
1
(
1
−
x
)
c
−
b
−
1
(
1
−
z
x
)
−
a
d
x
ℜ
(
c
)
>
ℜ
(
b
)
>
0
,
{\displaystyle \mathrm {B} (b,c-b){_{2}F_{1}}(a,b;c;z)=\int _{0}^{1}x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a}\,dx\qquad \Re (c)>\Re (b)>0,}
단, z는 1보다 크거나 같은 실수가 아니다. 이것은 (1 − zx)−a 를 이항 정리 를 사용하여 확장하고, 절댓값이 1보다 작은 z에 대해 항별로 적분한 다음, 다른 곳에서는 해석적 연속을 통해 증명할 수 있다. z가 1보다 크거나 같은 실수인 경우, 해석적 연속이 사용되어야 하는데, (1 − zx)가 적분의 지지점의 어느 지점에서 0이 되므로 적분 값이 제대로 정의되지 않을 수 있기 때문이다. 이것은 1748년 오일러에 의해 제시되었으며 오일러의 및 파프의 초기하 변환을 의미한다.
다른 주가지 에 해당하는 다른 표현은 동일한 피적분 함수를 취하지만 적분 경로를 다양한 순서로 특이점을 둘러싸는 닫힌 포흐하머 주기 로 취하여 주어진다. 이러한 경로는 모노드로미 작용에 해당한다.
반스는 유수 이론을 사용하여 반스 적분 을 평가했다.
1
2
π
i
∫
−
i
∞
i
∞
Γ
(
a
+
s
)
Γ
(
b
+
s
)
Γ
(
−
s
)
Γ
(
c
+
s
)
(
−
z
)
s
d
s
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}(-z)^{s}\,ds}
다음과 같이
Γ
(
a
)
Γ
(
b
)
Γ
(
c
)
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
,
{\displaystyle {\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (c)}}\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),}
여기서 등고선은 극점 0, 1, 2...를 극점 −a, −a − 1, ..., −b, −b − 1, ... 와 분리하도록 그려진다. 이것은 z가 음이 아닌 실수값이 아닌 한 유효하다.
가우스 초기하 함수는 존 변환 (Gelfand, Gindikin & Graev 2003 , 2.1.2)으로 쓸 수 있다.
여섯 가지 함수
2
F
1
(
a
±
1
,
b
;
c
;
z
)
,
2
F
1
(
a
,
b
±
1
;
c
;
z
)
,
2
F
1
(
a
,
b
;
c
±
1
;
z
)
{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a\pm 1,b;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b\pm 1;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b;c\pm 1;z)}
는 2 F1 (a, b; c; z)2 F1 (a, b; c; z)a, b, c , 그리고 z 의 유리 계수를 갖는 그 인접 함수 중 임의의 두 함수의 선형 조합으로 쓰일 수 있음을 보였다. 이는 다음을 제공한다.
(
6
2
)
=
15
{\displaystyle {\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}=15}
오른쪽의 두 줄을 식별함으로써 주어진 15개의 관계는 다음과 같다.
z
d
F
d
z
=
z
a
b
c
F
(
a
+
,
b
+
,
c
+
)
=
a
(
F
(
a
+
)
−
F
)
=
b
(
F
(
b
+
)
−
F
)
=
(
c
−
1
)
(
F
(
c
−
)
−
F
)
=
(
c
−
a
)
F
(
a
−
)
+
(
a
−
c
+
b
z
)
F
1
−
z
=
(
c
−
b
)
F
(
b
−
)
+
(
b
−
c
+
a
z
)
F
1
−
z
=
z
(
c
−
a
)
(
c
−
b
)
F
(
c
+
)
+
c
(
a
+
b
−
c
)
F
c
(
1
−
z
)
{\displaystyle {\begin{aligned}z{\frac {dF}{dz}}&=z{\frac {ab}{c}}F(a+,b+,c+)\\&=a(F(a+)-F)\\&=b(F(b+)-F)\\&=(c-1)(F(c-)-F)\\&={\frac {(c-a)F(a-)+(a-c+bz)F}{1-z}}\\&={\frac {(c-b)F(b-)+(b-c+az)F}{1-z}}\\&=z{\frac {(c-a)(c-b)F(c+)+c(a+b-c)F}{c(1-z)}}\end{aligned}}}
여기서 F = 2 F1 (a, b; c; z), F(a+) = 2F 1 (a + 1, b; c; z) , 등등이다. 이러한 관계를 반복적으로 적용하면 다음과 같은 형식의 임의의 세 함수 사이에 C (z)
2
F
1
(
a
+
m
,
b
+
n
;
c
+
l
;
z
)
,
{\displaystyle {_{2}F_{1}}(a+m,b+n;c+l;z),}
여기서 m, n, l은 정수이다.[ 3] [ 4]
가우스는 인접 관계를 이용하여 두 초기하 함수의 몫을 연분수로 쓰는 여러 가지 방법을 제시했다. 예를 들면 다음과 같다.
2
F
1
(
a
+
1
,
b
;
c
+
1
;
z
)
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
1
1
+
(
a
−
c
)
b
c
(
c
+
1
)
z
1
+
(
b
−
c
−
1
)
(
a
+
1
)
(
c
+
1
)
(
c
+
2
)
z
1
+
(
a
−
c
−
1
)
(
b
+
1
)
(
c
+
2
)
(
c
+
3
)
z
1
+
(
b
−
c
−
2
)
(
a
+
2
)
(
c
+
3
)
(
c
+
4
)
z
1
+
⋱
{\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}
변환 공식은 인자 z의 다른 값에서 두 초기하 함수를 관련시킨다.
오일러의 변환은 다음과 같다.
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
(
1
−
z
)
c
−
a
−
b
2
F
1
(
c
−
a
,
c
−
b
;
c
;
z
)
.
{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z).}
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
(
1
−
z
)
−
b
2
F
1
(
b
,
c
−
a
;
c
;
z
z
−
1
)
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
(
1
−
z
)
−
a
2
F
1
(
a
,
c
−
b
;
c
;
z
z
−
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-b}{}_{2}F_{1}\left(b,c-a;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-a}{}_{2}F_{1}\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\\end{aligned}}}
Rathie & Paris (2007) 및 Rakha & Rathie (2011) 을 참조하라.
또한 선형 결합으로 다음과 같이 쓸 수 있다.
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
Γ
(
c
)
Γ
(
c
−
a
−
b
)
Γ
(
c
−
a
)
Γ
(
c
−
b
)
2
F
1
(
a
,
b
;
a
+
b
+
1
−
c
;
1
−
z
)
+
Γ
(
c
)
Γ
(
a
+
b
−
c
)
Γ
(
a
)
Γ
(
b
)
(
1
−
z
)
c
−
a
−
b
2
F
1
(
c
−
a
,
c
−
b
;
1
+
c
−
a
−
b
;
1
−
z
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={}&{\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}{}_{2}F_{1}(a,b;a+b+1-c;1-z)\\[6pt]&{}+{\frac {\Gamma (c)\Gamma (a+b-c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z).\end{aligned}}}
숫자 1 − c, c − 1, a − b, b − a, a + b − c, c − a − b 중 두 개가 같거나 그 중 하나가 1/2이면, 초기하 함수에는 이차 방정식으로 관련된 z의 다른 값으로 연결되는 이차 변환 이 있다. 첫 번째 예시는 Kummer (1836) 에 의해 제시되었고, 완전한 목록은 Goursat (1881) 에 의해 제시되었다. 일반적인 예시는 다음과 같다.
2
F
1
(
a
,
b
;
2
b
;
z
)
=
(
1
−
z
)
−
a
2
2
F
1
(
1
2
a
,
b
−
1
2
a
;
b
+
1
2
;
z
2
4
z
−
4
)
{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;2b;z)=(1-z)^{-{\frac {a}{2}}}{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a,b-{\tfrac {1}{2}}a;b+{\tfrac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{4z-4}}\right)}
1−c, a−b, a+b−c가 부호만 다르거나 그 중 두 개가 1/3 또는 −1/3이면, 초기하 함수에는 3차 방정식으로 관련된 z의 다른 값으로 연결되는 3차 변환 이 있다. 첫 번째 예시는 Goursat (1881) 에 의해 제시되었다. 일반적인 예시는 다음과 같다.
2
F
1
(
3
2
a
,
1
2
(
3
a
−
1
)
;
a
+
1
2
;
−
z
2
3
)
=
(
1
+
z
)
1
−
3
a
2
F
1
(
a
−
1
3
,
a
;
2
a
;
2
z
(
3
+
z
2
)
(
1
+
z
)
−
3
)
{\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {3}{2}}a,{\tfrac {1}{2}}(3a-1);a+{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{3}}\right)=(1+z)^{1-3a}\,{}_{2}F_{1}\left(a-{\tfrac {1}{3}},a;2a;2z(3+z^{2})(1+z)^{-3}\right)}
4차 및 6차 변환도 일부 존재한다. 다른 차수의 변환은 a, b, c가 특정 유리수 인 경우에만 존재한다. (Vidunas 2005 ). 예를 들어,
2
F
1
(
1
4
,
3
8
;
7
8
;
z
)
(
z
4
−
60
z
3
+
134
z
2
−
60
z
+
1
)
1
/
16
=
2
F
1
(
1
48
,
17
48
;
7
8
;
−
432
z
(
z
−
1
)
2
(
z
+
1
)
8
(
z
4
−
60
z
3
+
134
z
2
−
60
z
+
1
)
3
)
.
{\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{8}};{\tfrac {7}{8}};z\right)(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{1/16}={}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{48}},{\tfrac {17}{48}};{\tfrac {7}{8}};{\tfrac {-432z(z-1)^{2}(z+1)^{8}}{(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{3}}}\right).}
특수점에서 합 공식 목록은 Slater (1966 , Appendix III)를 참조하고, 대부분은 Bailey (1935) 에도 나타난다. Gessel & Stanton (1982) 는 더 많은 지점에서의 추가 평가를 제공한다. Koepf (1995) 는 이 항등식들 대부분이 컴퓨터 알고리즘으로 어떻게 검증될 수 있는지 보여준다.
카를 프리드리히 가우스 의 이름을 딴 가우스 합산 정리는 항등식이다.
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
1
)
=
Γ
(
c
)
Γ
(
c
−
a
−
b
)
Γ
(
c
−
a
)
Γ
(
c
−
b
)
,
ℜ
(
c
)
>
ℜ
(
a
+
b
)
{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\qquad \Re (c)>\Re (a+b)}
이는 오일러의 적분 공식에서 z = 1을 대입하여 얻어진다. 여기에는 반데르몽드 항등식 이 특수 사례로 포함된다.
a
=
−
m
{\displaystyle a=-m}
2
F
1
(
−
m
,
b
;
c
;
1
)
=
(
c
−
b
)
m
(
c
)
m
{\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;1)={\frac {(c-b)_{m}}{(c)_{m}}}}
두갈의 공식 은 이를 z = 1에서의 쌍방 초기하 급수 로 일반화한다.
쿠머 의 이름을 딴 쿠머의 정리이다.
2
F
1
(
a
,
b
;
1
+
a
−
b
;
−
1
)
=
Γ
(
1
+
a
−
b
)
Γ
(
1
+
1
2
a
)
Γ
(
1
+
a
)
Γ
(
1
+
1
2
a
−
b
)
{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a-b)}}}
이는 쿠머의 이차 변환에서 비롯된다.
2
F
1
(
a
,
b
;
1
+
a
−
b
;
z
)
=
(
1
−
z
)
−
a
2
F
1
(
a
2
,
1
+
a
2
−
b
;
1
+
a
−
b
;
−
4
z
(
1
−
z
)
2
)
=
(
1
+
z
)
−
a
2
F
1
(
a
2
,
a
+
1
2
;
1
+
a
−
b
;
4
z
(
1
+
z
)
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;z)&=(1-z)^{-a}\;_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {1+a}{2}}-b;1+a-b;-{\frac {4z}{(1-z)^{2}}}\right)\\&=(1+z)^{-a}\,_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {a+1}{2}};1+a-b;{\frac {4z}{(1+z)^{2}}}\right)\end{aligned}}}
그리고 첫 번째 항등식에 z = −1을 대입하여 가우스의 정리를 적용한 결과이다. 쿠머의 합산의 일반화については Lavoie, Grondin & Rathie (1996) 을 참조하라.
가우스의 두 번째 합산 정리는 다음과 같다.
2
F
1
(
a
,
b
;
1
2
(
1
+
a
+
b
)
;
1
2
)
=
Γ
(
1
2
)
Γ
(
1
2
(
1
+
a
+
b
)
)
Γ
(
1
2
(
1
+
a
)
)
Γ
(
1
2
(
1
+
b
)
)
.
{\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.}
베일리의 정리는 다음과 같다.
2
F
1
(
a
,
1
−
a
;
c
;
1
2
)
=
Γ
(
1
2
c
)
Γ
(
1
2
(
1
+
c
)
)
Γ
(
1
2
(
c
+
a
)
)
Γ
(
1
2
(
1
+
c
−
a
)
)
.
{\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c-a\right))}}.}
가우스의 두 번째 합산 정리 및 베일리의 합산 정리의 일반화については Lavoie, Grondin & Rathie (1996) 을 참조하라.
초기하 함수를 매개변수의 특정 유리수 값에서 대수적 숫자로 제공하는 다른 많은 공식이 있으며, 그 중 일부는 Gessel & Stanton (1982) 및 Koepf (1995) 에 나열되어 있다. 몇 가지 전형적인 예는 다음과 같다.
2
F
1
(
a
,
−
a
;
1
2
;
x
2
4
(
x
−
1
)
)
=
(
1
−
x
)
a
+
(
1
−
x
)
−
a
2
,
{\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{4(x-1)}}\right)={\frac {(1-x)^{a}+(1-x)^{-a}}{2}},}
다음과 같이 다시 표현될 수 있다.
T
a
(
cos
x
)
=
2
F
1
(
a
,
−
a
;
1
2
;
1
2
(
1
−
cos
x
)
)
=
cos
(
a
x
)
{\displaystyle T_{a}(\cos x)={}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-\cos x)\right)=\cos(ax)}
−π < x < π이고 T가 (일반화된) 체비쇼프 다항식 인 경우.
↑ 이 표기법은 초기하 함수 이론에서 일반적이지만, 오름 및 내림 계승 에서 사용되는 표기법과는 반대이다.
Andrews, George E. ; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999). 《Special functions》. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 71 . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62321-6 MR 1688958 . Bailey, W.N. (1935). 《Generalized Hypergeometric Series》 (PDF) . Cambridge University Press. 2017년 6월 24일에 원본 문서 (PDF) 에서 보존된 문서. 2016년 7월 23일에 확인함 . 뵈커르스, 프리츠 (2002), Gauss' hypergeometric function . (기초, 삼각형 사상, 모노드로미를 검토하는 강의 노트)Olde Daalhuis, Adri B. (2010), 〈초기하함수〉 , Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (편집), 《NIST Handbook of Mathematical Functions 》, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 MR 2723248 Erdélyi, Arthur ; Magnus, Wilhelm ; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1953). 《Higher transcendental functions》 (PDF) I . New York – Toronto – London: McGraw–Hill Book Company, Inc. ISBN 978-0-89874-206-0 MR 0058756 . 2011년 8월 11일에 원본 문서 (PDF) 에서 보존된 문서. 2011년 7월 30일에 확인함 . 가스퍼, 조지 & 라흐만, 미잔 (2004). Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4 .Gauss, Carl Friedrich (1813). 《Disquisitiones generales circa seriem infinitam
1
+
α
β
1
⋅
γ
x
+
α
(
α
+
1
)
β
(
β
+
1
)
1
⋅
2
⋅
γ
(
γ
+
1
)
x
x
+
etc.
{\displaystyle 1+{\tfrac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}~x+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}~x~x+{\mbox{etc.}}}
(라틴어). 《Commentationes Societatis Regiae Scientarum Gottingensis Recentiores》 2 (Göttingen). Gelfand, I. M. ; Gindikin, S.G. ; Graev, M.I. (2003) [2000]. 《Selected topics in integral geometry》 . Translations of Mathematical Monographs 220 . Providence, R.I.: 미국 수학회 . ISBN 978-0-8218-2932-5 MR 2000133 . Gessel, Ira ; Stanton, Dennis (1982). 《Strange evaluations of hypergeometric series》. 《SIAM Journal on Mathematical Analysis》 13 . 295–308쪽. doi :10.1137/0513021 . ISSN 0036-1410 . MR 647127 . Goursat, Édouard (1881). 《Sur l'équation différentielle linéaire, qui admet pour intégrale la série hypergéométrique》 (프랑스어). 《Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure》 10 . 3–142쪽. doi :10.24033/asens.207 . 2008년 10월 16일에 확인함 . Heckman, Gerrit; Schlichtkrull, Henrik (1994). 《Harmonic Analysis and Special Functions on Symmetric Spaces》 . San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-336170-2 Hille, Einar (1976). 《Ordinary differential equations in the complex domain》 . Dover. ISBN 0-486-69620-0 Ince, E. L. (1944). 《Ordinary Differential Equations》 . Dover Publications. Klein, Felix (1981). 《Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion》 (독일어). Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 39 . Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-10455-1 MR 668700 . Koepf, Wolfram (1995). 《Algorithms for m-fold hypergeometric summation》. 《Journal of Symbolic Computation》 20 . 399–417쪽. doi :10.1006/jsco.1995.1056 . ISSN 0747-7171 . MR 1384455 . Kummer, Ernst Eduard (1836). 《Über die hypergeometrische Reihe
1
+
α
⋅
β
1
⋅
γ
x
+
α
(
α
+
1
)
β
(
β
+
1
)
1
⋅
2
⋅
γ
(
γ
+
1
)
x
2
+
α
(
α
+
1
)
(
α
+
2
)
β
(
β
+
1
)
(
β
+
2
)
1
⋅
2
⋅
3
⋅
γ
(
γ
+
1
)
(
γ
+
2
)
x
3
+
⋯
{\displaystyle 1+{\tfrac {\alpha \cdot \beta }{1\cdot \gamma }}~x+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}x^{2}+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)\beta (\beta +1)(\beta +2)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \gamma (\gamma +1)(\gamma +2)}}x^{3}+\cdots }
(독일어). 《순수 및 응용 수학 저널 》 15 . 39–83, 127–172쪽. ISSN 0075-4102 . Lavoie, J. L.; Grondin, F.; Rathie, A.K. (1996). 《Generalizations of Whipple's theorem on the sum of a 3 F2 》. 《J. Comput. Appl. Math.》 72 . 293–300쪽. doi :10.1016/0377-0427(95)00279-0 . Press, W.H.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T.; Flannery, B.P. (2007). 〈Section 6.13. Hypergeometric Functions〉 3판. 《Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing》. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8 Rakha, M.A.; Rathie, Arjun K. (2011). 《Extensions of Euler's type-II transformation and Saalschutz's theorem》. 《Bull. Korean Math. Soc.》 48 . 151–156쪽. doi :10.4134/BKMS.2011.48.1.151 . Rathie, Arjun K.; Paris, R.B. (2007). 《An extension of the Euler's-type transformation for the 3F2 series》. 《Far East J. Math. Sci.》 27 . 43–48쪽. Riemann, Bernhard (1857). 《Beiträge zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe F(α, β, γ, x) darstellbaren Functionen》 (독일어). 《Abhandlungen der Mathematischen Classe der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen》 7 (Göttingen: Verlag der Dieterichschen Buchhandlung). 3–22쪽. “리만의 모든 출판물” (PDF) . Slater, Lucy Joan (1960). 《Confluent hypergeometric functions》 . Cambridge, UK: Cambridge University Press. MR 0107026 . Slater, Lucy Joan (1966). 《Generalized hypergeometric functions》. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-06483-X MR 0201688 . ISBN 978-0-521-09061-2 가 포함된 2008년 페이퍼백이 있다)Vidunas, Raimundas (2005). 《Transformations of some Gauss hypergeometric functions》. 《Journal of Symbolic Computation》 178 . 473–487쪽. arXiv :math/0310436 . Bibcode :2005JCoAM.178..473V . doi :10.1016/j.cam.2004.09.053 . S2CID 119596800 . Wall, H.S. (1948). 《Analytic Theory of Continued Fractions》. D. Van Nostrand Company, Inc. Whittaker, E.T. ; Watson, G.N. (1927). 《현대 해석학 강좌 》. Cambridge, UK: Cambridge University Press. Yoshida, Masaaki (1997). 《Hypergeometric Functions, My Love: Modular Interpretations of Configuration Spaces》. Braunschweig – Wiesbaden: Friedr. Vieweg & Sohn. ISBN 3-528-06925-2 MR 1453580 .
_with_a%3D2_and_b%3D3_and_c%3D4_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2%2B2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg?lang=ko)
![{\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,1;2;-z\right)&={\frac {\ln(1+z)}{z}}\\_{2}F_{1}(a,b;b;z)&=(1-z)^{-a}\quad (b{\text{ 임의의}})\\_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};z^{2}\right)&={\frac {\arcsin(z)}{z}}\\\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}};{\frac {3}{2}};-{\frac {27x^{2}}{4}}\right)&={\frac {{\sqrt[{3}]{\frac {3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}}}}{x{\sqrt {3}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9712226d71619d526259581c03504bedf150ebf2)
![{\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}}-ab\,w=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e8e3756bb7c64f4d8d5bd0b3aea7b3890ec783)
![{\displaystyle Q={\frac {z^{2}[1-(a-b)^{2}]+z[2c(a+b-1)-4ab]+c(2-c)}{4z^{2}(1-z)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e778623e3a601cf8b1f06a87cd38adb1cd1225bd)
이 부분의 본문은 슈바르츠 삼각형 함수입니다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={}&{\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}{}_{2}F_{1}(a,b;a+b+1-c;1-z)\\[6pt]&{}+{\frac {\Gamma (c)\Gamma (a+b-c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9036dee88ebd40782cf7a0d67ada5319e8566751)
