케일리 그래프

군론과 그래프 이론에서 케일리 그래프(영어: Cayley graph)는 군의 구조를 반영하는 그래프이다.

정의

군 $G$ 및 부분집합 $S\subset G$가 주어졌다고 하고, $S^{-1}=S$ 및 $1\not \in S$라고 하자. 케일리 그래프 $\Gamma (G,S)$는 다음과 같은 그래프이다.

• $V(\Gamma (G,S))=G$. 즉, $\Gamma (G,S)$의 꼭짓점은 $G$의 원소들이다.
• $(g,h)\in E(\Gamma (G,S))\iff gh^{-1}\in S$. 즉, 각 $g\in G$와 $s\in S$에 대하여, $g$와 $gs$ 사이에 변이 존재한다.

케일리 그래프는 $|S|/2$색의 자연스러운 변 색칠을 갖는다. 색의 집합은 $S/(x\sim x^{-1}\;\forall x\in G)$이며, 변 $gh\in E(\Gamma (G,S))$의 색은

$\{gh^{-1},hg^{-1}\}\in S/(x\sim x^{-1}\;\forall x\in G)$

이다. 또한, 케일리 그래프는 $G$의 자연스러운 작용을 가지며, 이는 그래프의 자기동형사상들로 이루어진다.

성질

자비두시 정리(영어: Sabidussi theorem)에 따르면, 그래프 $\Gamma$ 및 군 $G$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $\Gamma \cong \Gamma (G,S)$인 $S\subset G$가 존재한다.
• $\Gamma$ 위에는 $G$의 정추이적 작용이 존재하며, 이 작용은 $\Gamma$의 그래프 자기동형사상들로 이루어진다.

이는 오스트리아의 수학자 게르트 자비두시(독일어: Gert Sabidussi)가 증명하였다.

케일리 그래프 $\Gamma (G,S)$는 $|S|$-정규 그래프이다.

군 $G$ 및 $1\not \in S=S^{-1}\subset G$에 대하여, 다음이 서로 동치이다.

• $\Gamma (G,S)$는 국소 유한 그래프이다. (즉, 모든 꼭짓점의 차수가 유한하다.)
• $S$는 유한 집합이다.

군 $G$ 및 $1\not \in S=S^{-1}\subset G$에 대하여, 다음이 서로 동치이다.

• $\Gamma (G,S)$는 유한 그래프이다. (즉, 꼭짓점의 수가 유한하다.)
• $G$는 유한군이다.

군 $G$ 및 $1\not \in S=S^{-1}\subset G$에 대하여, 다음이 서로 동치이다.

• $\Gamma (G,S)$는 연결 그래프이다.
• $G=\langle S\rangle$이다. 즉, $S$는 $G$의 생성 집합이다.

$\Gamma (G,S)$의 연결 성분의 수는 부분군의 지표 $|G:\langle S\rangle |$이다.

예

자유군의 케일리 그래프 $\Gamma (\langle a,b\rangle ,\{a,b,a^{-1},b^{-1}\})$

무한 순환군 $\mathbb {Z}$의 케일리 그래프 $\Gamma (\mathbb {Z} ,\{\pm 1\})\cong P_{\infty }$는 무한 경로 그래프이다.

순환군의 케일리 그래프 $\Gamma (\mathbb {Z} /n,\{\pm 1\})\cong C_{n}$는 순환 그래프이다.

임의의 곱군 $G\times H$의 케일리 그래프는 각 성분의 케일리 그래프의 데카르트 곱 그래프이다.

$\Gamma (G\times H,S_{G}\times S_{H})\cong \Gamma (G,S_{G})\square \Gamma (H,S_{H})$

자유군 $\langle a,b\rangle$의 케일리 그래프 $\Gamma (\langle a,b\rangle ,\{a,b,a^{-1},b^{-1}\})$는 무한 4차 나무이다. 이 케일리 그래프는 바나흐-타르스키 역설의 증명에 등장한다.

역사

아서 케일리가 1878년에 도입하였다. 막스 덴이 1909년에 이를 재발견하였으며, "군 그림"(독일어: Gruppenbild 그루펜빌트^[*], 독일어: Gruppe 그루페^[*](군) + 독일어: Bild 빌트^[*](그림))이라고 이름붙였다.

같이 보기

• 대수적 그래프 이론

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cayley graph” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.