크로네커 기호

다른 뜻에 대해서는 크로네커 델타 문서를 참고하십시오.

수론에서, 크로네커 기호(영어: Kronecker symbol)는 야코비 기호를 임의의 정수로 확장한 함수이다. 기호는 $\left({\frac {a}{n}}\right)$ 또는 $(a|n)$.

정의

임의의 정수 $a\in \mathbb {Z}$가 주어졌다고 하자. 크로네커 기호

$\left({\frac {a}{\cdot }}\right)\colon \mathbb {Z} \to \{-1,0,1\}$

는 다음과 같다.

1. $\left({\frac {a}{0}}\right)={\begin{cases}1&a=\pm 1\\0&a\neq \pm 1\end{cases}}$
2. $\left({\frac {a}{-1}}\right)={\begin{cases}1&a\geq 0\\-1&a<0\end{cases}}$
3. $\left({\frac {a}{2}}\right)={\begin{cases}0&2\mid a\\1&a\equiv 1,7{\pmod {8}}\\-1&a\equiv 3,5{\pmod {8}}\end{cases}}$
4. 홀수 소수 $p$에 대하여, $\left({\frac {a}{p}}\right)$는 르장드르 기호와 같다.
5. 0이 아닌 정수 $n$에 대하여, 그 소인수 분해가 $n=u\prod _{p}p^{n_{p}}$라고 하였을 때 ($u\in \{-1,1\}$), $$\left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{u}}\right)\prod _{p}\left({\frac {a}{p}}\right)^{n_{p}}$$

일부 저자는 $a$가 $a\equiv 0,1\!\!\!{\pmod {4}}$인 제곱 인수가 없는 정수인 경우에만 크로네커 기호를 정의한다. 일부 저자는 $a$가 기본 판별식인 경우에만 크로네커 기호를 정의한다.

성질

디리클레 지표와의 관계

임의의 정수 $a\in \mathbb {Z}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $\left({\frac {a}{\cdot }}\right)$는 디리클레 지표이다.
• $a\not \equiv 3{\pmod {4}}$

만약 $a$가 기본 판별식이라면, $\left({\frac {a}{\cdot }}\right)$는 원시 $a$-디리클레 지표이다.

주기성

크로네커 기호는 다음과 같은 주기를 갖는다.

• 만약 $a\equiv 0,1{\pmod {4}}$라면, $\left({\frac {a}{\cdot }}\right)$는 주기 함수이며, 주기 $|a|$를 갖는다. (이는 최소 주기가 아닐 수 있다.)
• 만약 $a\equiv 2{\pmod {4}}$라면, $\left({\frac {a}{\cdot }}\right)$는 주기 함수이며, 주기 $4|a|$를 갖는다. (이는 최소 주기가 아닐 수 있다.)
• 만약 $a\equiv 3{\pmod {4}}$라면, $\left({\frac {a}{\cdot }}\right)$는 주기 함수가 아니지만,^{:365, Theorem 3.2} 퇴플리츠 열(영어: Toeplitz sequence)을 이룬다.^{:366, Remark 3.4}

이차 상호 법칙

임의의 두 0이 아닌 정수 $m,n\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다 (이차 상호 법칙).^{:364:43, Exercise 19}

$\left({\frac {m}{n}}\right)=\sigma (m,n)(-1)^{(m'-1)(n'-1)/4}\left({\frac {n}{m}}\right)$

여기서

• $\sigma (m,n)={\begin{cases}1&m>0\lor n>0\\-1&m,n<0\end{cases}}$
• $m'$과 $n'$은 각각 $m$과 $n$의 최대 홀수 양의 약수이다.

계산 복잡도

절댓값이 $n$ 이하인 두 정수의 크로네커 기호의 계산 복잡도는

$O(\ln ^{2}n)$

이다.^:31

외부 링크

• “Legendre–Jacobi–Kronecker symbol”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Kronecker symbol”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Kronecker symbol”. 《PlanetMath》 (영어).