크로네커 정리

추상대수학에서 크로네커 정리(독일어: Satz von Kronecker) 또는 체 이론의 기본 정리(The fundamental theorem of field theory)란 다항식환에 대한 정리이다.

정의

체 $F$ 위의 다항식환 $F[x]$ 의 원소 $f(x)\in F[x]$ 가 주어졌다고 하고, $f(x)$ 는 상수가 아니라고 하자. 크로네커 정리에 따르면, $f(x)$ 가 영점을 갖는 $F$ 의 확대체 $K/F$ 가 항상 존재한다. 즉, 자연스러운 포함 준동형 $\iota \colon F[x]\hookrightarrow K[x]$ 에 대하여,

\iota (f(x))(a)=0

인 $a\in K$ 가 존재한다.

증명

이러한 확대체 $K$ 는 구체적으로 다음과 같다. $F$ 가 체이면, $f(x)$ 는 $F$ 상에서 기약인 다항식들의 곱으로 나타낼 수 있다. 이를,

f(x)=P_{1}(x)P_{2}(x)...P_{n}(x)

로 쓴다. 이들 중 임의로 하나를 뽑아서 $P_{i}(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{m}x$ 이라 하자. 그러면, $F[x]$ 는 주 아이디얼 정역이므로 이 위에서 $P_{i}(x)$ 에 의한 주 아이디얼 $\langle P_{i}(x)\rangle$ 는 극대 아이디얼이 된다. 이제 새로운 체를

K=F[x]/\langle P_{i}(x)\rangle

로 유도하면, $F$ 로부터 $K$ 로 가는 함수 $g(a)$ 를 다음과 같이 잡았을 때,

g(a)=a+\langle P_{i}(x)\rangle

$g(a)$ 가 단사 함수인 환 준동형이 되는 것은 쉽게 보일 수 있다. 이 $K$ 가 바로 구하려던 확대체이다.

실제로, 대입함수를 구성해서 $P_{i}(x)$ 가 해를 가짐을 보일 수 있다. $F[x]$ 에서 $K$ 로의 대입함수 $h_{A}$ 를 다음과 같이 구성하면;

A=x+\langle P_{i}(x)\rangle

에 대하여,

h_{A}

이 대입함수에 $P_{i}(x)$ 를 넣었을 때 $A$ 가 영점이 됨을 알 수 있다. 따라서 이것은 $f(x)$ 의 영점 역시 된다.

따름정리

크로네커 정리를 통해 바로 다음 따름정리가 유도된다:

체 $F$ 에 의해 생성된 $F[x]$ 상의 n차 다항식 $f(x)$ 을 $f(x)=a(x-c_{1})(x-c_{2})(x-c_{3})...(x-c_{n})$ 꼴로 인수분해할 수 있는 확대체 $K$ 가 항상 존재한다.

이 따름정리는 귀납법으로 쉽게 증명할 수 있다. 이것은 크로네커 정리의 일반화된 형태인데, 이것을 크로네커 정리 자체로 보기도 한다.

이 정리의 간단한 응용으로, 실계수의 임의 n차 다항식 $f(x)$ 에 대하여 이 다항식이 반드시 n개의 영점(중근 포함)을 갖도록 하는 실수 집합 $\mathbb {R}$ 의 확대체 $K$ 가 존재함을 알 수 있다. 실제로 대수학의 기본정리에 의하면, 이 확대체 중 하나는 복소수 집합 $\mathbb {C}$ 가 된다. 또 대수학의 기본정리와 크로네커 정리를 결합하면, 복소수의 모든 원소는 $\mathbb {C}$ 상에서 대수적이며 임의의 복소계수다항식이 차수만큼의 영점을 갖는 최소의 확대체는 $\mathbb {C}$ 자신이다. 따라서 $\mathbb {C}$ 에 포함되는 모든 체의 대수적 폐포는 $\mathbb {C}$ 임을 알 수 있다.

역사

독일의 수학자 레오폴트 크로네커가 발표하였다. 크로네커는 이 정리를 통해 임의의 체에 대한 분해체의 존재성을 구성적 기법으로 증명하였다.

같이 보기

참고 문헌

김주필, 『알기 쉬운 대수학』, 도서출판 대선, 2002