텔레겐 정리

텔레겐 정리(Tellegen's theorem)는 네트워크 이론에서 가장 강력한 정리 중 하나이다. 네트워크 이론의 대부분의 에너지 분배 정리와 극점 원리는 이 정리에서 파생될 수 있다. 이 정리는 1952년 베르나르드 텔레겐에 의해 발표되었다. 근본적으로 텔레겐 정리는 전기 키르히호프의 전기회로 법칙을 만족하는 크기들 간의 간단한 관계를 제공한다.

텔레겐 정리는 다양한 네트워크 시스템에 적용할 수 있다. 시스템의 기본 가정은 세기 성질과 크기 성질의 흐름 보존(키르히호프의 전류 법칙, KCL)과 네트워크 노드에서의 전위의 고유성(키르히호프의 전압 법칙, KVL)이다. 텔레겐 정리는 전기 회로, 망생물학, 대사망, 파이프라인 수송 네트워크, 화학적 과정 네트워크를 포함한 복잡계 네트워크 시스템을 분석하는 데 유용한 도구를 제공한다.

정리

$b$개의 가지와 $n$개의 노드를 가진 임의의 집중 상수 모델 네트워크를 고려해보자. 전기 네트워크에서 가지는 2단자 부품이고 노드는 상호 연결 지점이다. 각 가지에 $k=1,2,\dots ,b$에 대해 임의로 가지 전위차 $W_{k}$와 가지 전류 $F_{k}$를 할당하고, 임의로 선택된 관련 기준 방향에 대해 측정된다고 가정한다. 만약 가지 전위차 $W_{1},W_{2},\dots ,W_{b}$가 KVL에 의해 부과된 모든 제약 조건을 만족하고 가지 전류 $F_{1},F_{2},\dots ,F_{b}$가 KCL에 의해 부과된 모든 제약 조건을 만족한다면,

$\sum _{k=1}^{b}W_{k}F_{k}=0.$

텔레겐 정리는 매우 일반적이다. 선형 또는 비선형, 수동 또는 능동, 시간 가변 또는 시간 불변의 모든 요소를 포함하는 모든 집중 네트워크에 유효하다. $W_{k}$와 $F_{k}$가 전위차 세트와 가지 전류 세트에 대한 선형 연산(각각)일 때 일반성은 확장되는데, 이는 선형 연산이 KVL과 KCL에 영향을 미치지 않기 때문이다. 예를 들어, 선형 연산은 평균 또는 라플라스 변환일 수 있다. 더 일반적으로, KVL을 보존하는 연산자를 키르히호프 전압 연산자라고 부르고, KCL을 보존하는 연산자를 키르히호프 전류 연산자라고 부르며, 둘 다 보존하는 연산자를 단순히 키르히호프 연산자라고 부른다. 이러한 연산자는 텔레겐 정리가 성립하기 위해 반드시 선형일 필요는 없다.

전류 세트는 KVL과 KCL이 모든 순간에 참이므로 전위차 세트와 다른 시간에 샘플링될 수도 있다. 또 다른 확장은 전위차 세트 $W_{k}$가 한 네트워크에서 온 것이고 전류 세트 $F_{k}$가 완전히 다른 네트워크에서 온 경우인데, 두 네트워크가 동일한 토폴로지(동일한 인접 행렬)를 가지는 한 텔레겐 정리는 참으로 유지된다. 텔레겐 정리의 이러한 확장은 2포트 네트워크와 관련된 많은 정리로 이어진다.

정의

간결한 증명을 제공하기 위해 몇 가지 필요한 네트워크 정의를 도입해야 한다.

인접 행렬: $n\times b$ 행렬 $\mathbf {A_{a}}$는 행렬 요소 $a_{ij}$에 대해 노드-가지 인접 행렬이라고 불린다.

$a_{ij}={\begin{cases}1,&{\text{가지 }}j{\text{의 전류가 노드 }}i{\text{를 떠날 때}}\\-1,&{\text{가지 }}j{\text{의 전류가 노드 }}i{\text{로 들어올 때}}\\0,&{\text{그 외}}\end{cases}}$

환경을 나타내고 모든 동적 노드와 터미널에 연결되는 기준 또는 기준 노드 $P_{0}$가 도입된다. 참조 노드 $P_{0}$의 요소 $a_{0j}$를 포함하는 행이 제거된 $(n-1)\times b$ 행렬 $\mathbf {A}$는 축소된 인접 행렬이라고 불린다.

벡터-행렬 형식의 보존 법칙(KCL):

$\mathbf {A} \mathbf {F} =\mathbf {0}$

벡터-행렬 형식의 전위 고유성 조건(KVL):

$\mathbf {W} =\mathbf {A^{T}} \mathbf {w}$

여기서 $w_{k}$는 기준 노드 $P_{0}$에 대한 노드들의 절대 전위이다.

증명

KVL을 사용하면:

${\begin{aligned}\mathbf {W^{T}} \mathbf {F} =\mathbf {(A^{T}w)^{T}} \mathbf {F} =\mathbf {(w^{T}A)} \mathbf {F} =\mathbf {w^{T}AF} =\mathbf {0} \end{aligned}}$

왜냐하면 KCL에 의해 $\mathbf {AF} =\mathbf {0}$이기 때문이다. 따라서:

$\sum _{k=1}^{b}W_{k}F_{k}=\mathbf {W^{T}} \mathbf {F} =0$

응용

다양한 물리 시스템에 대한 네트워크 아날로그가 구축되었으며, 동적 거동을 분석하는 데 매우 유용하다는 것이 입증되었다. 네트워크 이론과 텔레겐 정리의 고전적인 응용 분야는 전기 회로 이론이다. 주로 신호 처리 응용 분야에서 필터를 설계하는 데 사용된다.

텔레겐 정리의 더 최근 응용은 화학 및 생물학적 과정 분야이다. 전기 회로에 대한 가정(키르히호프 법칙)은 비가역적 열역학 법칙을 따르는 동적 시스템에 대해 일반화된다. 반응 네트워크(반응 메커니즘, 대사 네트워크)의 토폴로지와 구조는 텔레겐 정리를 사용하여 분석할 수 있다.

텔레겐 정리의 또 다른 응용은 화학 공장이나 석유 생산 시스템과 같은 복잡한 공정 시스템의 안정성과 최적성을 결정하는 것이다. 텔레겐 정리는 공정 노드, 터미널, 흐름 연결을 사용하고 광범위한 양의 생산 또는 파괴를 위한 흡수원과 공급원을 허용하여 공정 시스템에 대해 공식화할 수 있다.

공정 시스템에 대한 텔레겐 정리 공식화:

$\sum _{j=1}^{n_{P}}W_{j}{\frac {\operatorname {d} Z_{j}}{\operatorname {d} t}}=\sum _{k=1}^{b}W_{k}f_{k}+\sum _{j=1}^{n_{P}}w_{j}p_{j}+\sum _{j=1}^{n_{t}}w_{j}t_{j},\quad j=1,\dots ,n_{p}+n_{t}$

여기서 $p_{j}$는 생산 항, $t_{j}$는 터미널 연결, ${\frac {\operatorname {d} Z_{j}}{\operatorname {d} t}}$는 광범위한 변수에 대한 동적 저장 항이다.

각주

인라인 각주

일반 참고 자료

• Basic Circuit Theory by C.A. Desoer and E.S. Kuh, McGraw-Hill, New York, 1969
• "Tellegen's Theorem and Thermodynamic Inequalities", G.F. Oster and C.A. Desoer, J. Theor. Biol 32 (1971), 219–241
• "Network Methods in Models of Production", Donald Watson, Networks, 10 (1980), 1–15

외부 링크

• 텔레겐 정리 회로 예시
• G.F. Oster and C.A. Desoer, 텔레겐 정리와 열역학적 불평등
• 네트워크 열역학